2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--5.2.2　导数的四则运算法则

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第五章　一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
5.2.2　导数的四则运算法则
基础过关练
题组一　导数的四则运算法则
1.已知f(x)=tanx,则f'(x)=(　　)
A.　　　B.　　　C.-　　　D.-
2.(2023湖北十堰重点高中联考)若f(x)=x2-2x-4lnx,则f'(x)>0的解集为(　　)
A.(0,+∞)　　　　　B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)　　　　　D.(-1,0)
3.(2023陕西商洛洛南期末)已知f(x)=ex-x2,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(a)=f(a),则a=(　　)
A.0　　　B.-1　　　C.2　　　D.0或2
4.(2023河北沧州东光等三地联考)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=x2-x·f'(3),则f(1)=(　　)
A.-1　　　B.-2　　　C.2　　　D.3
5.(2023江苏南京师范大学附属中学期末)函数f(x)=,则f'=　　　　.
6.求下列函数的导数.
(1)y=x-2+x2;(2)y=3xex-2x+e;
(3)y=;(4)y=x2-4sincos.
题组二　求导法则的综合应用
7.(2023陕西渭南大荔阶段性检测)若曲线y=lnx+x2的一条切线的斜率为3,则该切线的方程可能为(　　)
A.3x-y-1=0　　　　　B.3x-y+1=0
C.3x-y-2=0　　　　　D.3x-y-1-ln2=0
8.(2023广东东莞海德实验学校月考)已知f(x)=,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的大致图象是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
9.(2023湖北七市联考)已知m>0,n>0,直线y=x+m+1与曲线y=lnx-n+2相切,则的最小值是(　　)
A.16　　　　　B.12　　　C.8　　　　　D.4
10.(2023江苏连云港赣马高级中学月考)已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为T(t)=+15,其中T(t)为蜥蜴的体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).当t=10min时,蜥蜴体温的瞬时变化率为　　　　℃/min.
11.(2023湖北荆州沙市中学月考)在平面直角坐标系中,P是曲线x2=4y上的一个动点,则点P到直线x+y+4=0的距离的最小值是　　　　.
能力提升练
题组　导数的四则运算法则及其应用
1.(2022广东深圳盐田高级中学期中)设点P是函数f(x)=2ex-f'(0)x+1的图象上任意一点,f(x)的图象在点P处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是(　　)
A.　　　　　B.∪
C.　　　　　D.∪
2.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=ex(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=1,则(　　)
A.f(x)=ex(x+1)　　　　　B.f(x)=ex(x-1)
C.f(x)=ex(x+1)2　　　　　D.f(x)=ex(x-1)2
3.(2023河南焦作期末)定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)=1,则y=f(x)的图象可能为(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
4.(2023湖北部分优质重点高中联考)若直线x+y+m=0是曲线y=x3+nx-52与y=x2-3lnx的公切线,则m-n=(　　)
A.-30　　　B.-25　　　C.26　　　D.28
5.(2023山东乳山银滩高级中学月考)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的人,在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),在(a,b)上f″(x)>0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凹函数”.则下列函数在(0,2π)上是“凹函数”的是(　　)
A.f(x)=x-sinx　　　　　B.f(x)=x2+sinx
C.f(x)=x+lnx　　　　　D.f(x)=ex-xlnx
6.(2023湖北武汉四十九中月考)已知h(x)=(x-a)2+(a∈R),则h(x)的最小值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
7.(2023河南洛阳宜阳月考)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0),给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数的图象都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=,则f(x)的拐点为　　　　,f+…+f=　　　　.
8.(2023陕西宝鸡月考)已知f(x)=x3+bx2+cx(b,c∈R),f'(1)=0,x∈[-1,3]时,曲线y=f(x)的切线斜率的最小值为-1,求b,c的值.
答案与分层梯度式解析
第五章　一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
5.2.2　导数的四则运算法则
基础过关练
1.B 2.C 3.D 4.B 7.C 8.A 9.D
1.B　f'(x)=(tanx)'=.
故选B.
2.C　由题意得f'(x)=2x-2-,x>0,由f'(x)>0,得x>2,故选C.
3.D　由题意得f'(x)=ex-ex,则由f'(a)=f(a)得ea-ea=ea-a2,解得a=0或a=2.
4.B　因为f(x)=x2-x·f'(3),所以f'(x)=2x-f'(3),令x=3,得f'(3)=6-f'(3),所以f'(3)=3,所以f(x)=x2-3x,则f(1)=-2.故选B.
5.答案　
解析　由题意得,
f'(x)=
=,∴f'.
6.解析　(1)y'=2x-2x-3.
(2)y'=(ln3+1)(3e)x-2xln2.
(3)y'=.
(4)∵y=x2-4sincos=x2-2sinx,
∴y'=2x-2cosx.
7.C　y'=+2x,设切点坐标为(x0,y0),x0>0,
则y'+2x0=3,所以x0=或x0=1,所以切点坐标为或(1,1),故切线方程为y-或y-1=3(x-1),即3x-y--ln2=0或3x-y-2=0.故选C.
8.A　f(x)=x2+cosx,则f'(x)=x-sinx,x∈R,∵f'(-x)=x+sinx=-f'(x),∴f'(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故B,D错误;
易得f'<0,故C错误.故选A.
9.D　由y=lnx-n+2得y'=,令y'=,得x=e,则·e+m+1=lne-n+2,即m+n=1,所以≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选D.
10.答案　-
解析　易得T'(t)=,则T'(10)=-,
∴当t=10min时,蜥蜴体温的瞬时变化率为-℃/min.
11.答案　
解析　设直线l与直线x+y+4=0平行且与曲线y=x2相切,切点为(x0,y0),
由y=x2,得y'=x,所以y'x0=-1,
则x0=-2,故切点坐标为(-2,1),
所以点P到直线x+y+4=0的距离的最小值即为(-2,1)到直线x+y+4=0的距离,即.
能力提升练
1.B 2.D 3.ACD 4.C 5.B 6.C
1.B　f'(x)=2ex-f'(0),∴f'(0)=2-f'(0),解得f'(0)=1,故f'(x)=2ex-1>-1,
∴tanα>-1,∵α∈[0,π),∴α∈∪.故选B.
2.D　由f'(x)=ex(2x-2)+f(x),
得=2x-2,即'=2x-2,
所以=x2-2x+c(c为常数),
所以f(x)=ex(x2-2x+c),
又因为f(0)=1,所以c=1,
所以f(x)=ex(x-1)2.故选D.
易错警示　已知原函数可求出唯一的导函数,已知导函数求原函数时,结果不唯一,如本题中由y'=2x-2可以得到y=x2-2x+c(c为常数),解题时容易将c遗漏导致解题错误.
3.ACD　当x=0时,由xf'(x)-f(x)=1可得f(0)=-1,排除B;
当x≠0时,可得,则,
所以+c(c为常数),所以f(x)=cx-1,
当c>0时,f(x)的图象可能为A,当c<0时,f(x)的图象可能为C,当c=0时,f(x)的图象可能为D.
故选ACD.
4.C　设直线x+y+m=0与曲线y=x3+nx-52相切于点(a,-a-m),与曲线y=x2-3lnx相切于点(b,-b-m).
对于函数y=x2-3lnx,y'=2x-,则2b-=-1,解得b=1或b=-(舍去),所以1-3ln1=-1-m,即m=-2.
对于函数y=x3+nx-52,y'=3x2+n,则3a2+n=-1,
所以a3-(3a2+1)a-52=-a+2,整理得a3=-27,解得a=-3,所以n=-3a2-1=-28,故m-n=26.故选C.
5.B　对于A,f'(x)=1-cosx,f″(x)=sinx,当x∈(π,2π)时,f″(x)<0,不符合题意;
对于B,f'(x)=2x+cosx,f″(x)=2-sinx>0在(0,2π)上恒成立,符合题意;
对于C,f'(x)=1+,f″(x)=-<0,不符合题意;
对于D,f'(x)=ex-lnx-1,f″(x)=ex-,则f″-e<0,不符合题意.故选B.
6.C　(x-a)2+可以看作点与点(a,a+1)之间距离的平方.
易知点在函数f(x)=的图象上,点(a,a+1)在直线l:y=x+1上,则h(x)的最小值即曲线f(x)上的点到直线l距离的平方的最小值.
易得f'(x)=,设曲线f(x)=在点M(x0,y0)处的切线l1与l平行,则l1的斜率为1,可得f'(x0)==1,整理得+x0-1=0,
令g(x)=ex+x-1,易知g(x)在R上单调递增,且g(0)=0,
∴方程+x0-1=0有且仅有一个解x0=0,
则M(0,0),故h(x)的最小值为点M(0,0)到直线l:x-y+1=0的距离的平方,为.故选C.
7.答案　;2022
解析　f'(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,令f″(x)=0,解得x=,又f=1,
故f(x)的拐点为,即函数f(x)图象的对称中心是,
∴f(1-x)+f(x)=2.
∴f+…+f
=f+…+f=×(2×2022)=2022.
8.解析　f'(x)=x2+2bx+c=(x+b)2+c-b2,
则f'(1)=1+2b+c=0①.
若-b≤-1,即b≥1,则f'(x)在[-1,3]上单调递增,所以f'(x)min=f'(-1)=1-2b+c=-1②,
由①②可得b=,不满足b≥1,故舍去.
若-1<-b<3,即-3由①③可得b=-2,c=3或b=0,c=-1.
若-b≥3,即b≤-3,则f'(x)在[-1,3]上单调递减,所以f'(x)min=f'(3)=9+6b+c=-1④,
由①④可得b=-,不满足b≤-3,故舍去.
综上可知,b=-2,c=3或b=0,c=-1.
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