2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--5.2.3　简单复合函数的导数

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第五章　一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
5.2.3　简单复合函数的导数
基础过关练
题组一　复合函数的求导法则
1.(2023河南信阳高级中学月考)函数y=sin(2x2+x)的导数是y'=(　　)
A.cos(2x2+x)　　　　　　B.2xsin(2x2+x)
C.(4x+1)cos(2x2+x)　　　　　　D.4cos(2x2+x)
2.设f(x)=,若f'(x0)=1,则x0=(　　)
A.　　　B.0　　　C.1　　　D.
3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.1
4.(2023湖北武汉四十九中月考)下列求导正确的是(　　)
A.[ln(2x+1)]'= B.(e5x-4)'=e5x-4
C.( D.
5.(2023山东潍坊月考)设函数f(x)=(2x2-ex)·cos(e为自然对数的底数)的导函数为f'(x),则f'(0)=　　　　.
6.求下列函数的导数.
(1)y=;(2)y=esin(ax+b);
(3)y=sin2;(4)y=5log2(2x+1).
题组二　复合函数求导的综合应用
7.(2023江西赣州九校质检)已知f(x)=sin2x+tanx+1,则曲线y=f(x)在点处的切线方程为(　　)
A.2x+y+6-π=0　　　　　B.2x-y+3-π=0
C.4x-2y+6-π=0　　　　　D.4x-2y+6+π=0
8.(2023山东枣庄三中月考)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.e2　　　　　B.4e2　　　C.2e2　　　　　D.e2
9.(2023重庆巴蜀中学期末)定义在R上的函数f(x),g(x)的导函数分别为f'(x),g'(x),则下列说法正确的是(　　)
A.若f'(x)=g'(x),则f(x)=g(x)
B.若f(x)=g(x),则f'(x)=g'(x)
C.若函数f(x)是奇函数,则导函数f'(x)一定是偶函数
D.若函数g(x)是偶函数,则导函数g'(x)一定是奇函数
10.(2023吉林通化第五中学阶段性检测)若直线y=kx与曲线y=lnx和曲线y=eax都相切,则a=　　　　.
11.已知函数f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为　　　　.
12.已知曲线y=esinx在点(0,1)处的切线与直线l平行,且此切线与直线l间的距离为,则直线l的方程为　　　　　　　.
能力提升练
题组　复合函数的导数及其应用
1.(2023河南郑州第十九中学月考)已知函数f(x)=e-x,则曲线y=f(x)上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.　　　　　B. C.　　　　　D.
2.(2023河北部分重点高中学业水平诊断)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著的经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0·,其中P0为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时,衰变所需时间为(　　)
A.20天　　　B.30天　　　C.45天　　　D.60天
3.(2022广东惠州三调)关于双曲正弦函数sinhx=和双曲余弦函数coshx=,下列结论正确的是(　　)
A.sinh(-x)=-sinhx B.(coshx)'=-sinhx
C.cosh(-1)4.(2023山东青岛胶州月考)已知A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2)是函数f(x)=ln|x|图象上的两个不同点,且曲线f(x)在A,B两点处的切线互相垂直,则x1-x2的取值范围为(　　)
A.(0,+∞)　　　　　B.(0,2) C.[1,+∞)　　　　　D.[2,+∞)
5.(2023安徽亳州一中月考)若函数y1=sin2x1+,y2=x2+3,则的最小值为(　　)
A.π+　　　　　B. C.　　　　　D.
6.(2023湖北众望高中开学考试)定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cosx(x∈(0,π))的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a7.设函数f(x)=sin(x+φ)(0<φ<π),若y=f(x)+f'(x)是偶函数,则φ=　　　　.
8.已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f',求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.
答案与分层梯度式解析
第五章　一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
5.2.3　简单复合函数的导数
基础过关练
1.C 2.B 3.B 4.ACD 7.C 8.D 9.BCD
1.C　设y=sinu,u=2x2+x,
则y'x=y'u·u'x=cosu·(4x+1)=(4x+1)cos(2x2+x).故选C.
2.B　f'(x)=,由f'(x0)=1,得=1,解得x0=0.故选B.
3.B　由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=,
由f'(2)=2,可得=2,解得a=.故选B.
4.ACD　[ln(2x+1)]'=,A正确;
(e5x-4)'=5e5x-4,B错误;
(··(2x-1)'=,C正确;
,D正确.故选ACD.
5.答案　
解析　f'(x)=(4x-ex)cos-2(2x2-ex)·sin,∴f'(0)=-.
6.解析　(1)设y=,u=1-2x2,
则y'x=y'u·u'x=(·(-4x)=-.
(2)设y=eu,u=sinv,v=ax+b,
则y'x=y'u·u'v·v'x=eu·cosv·a
=acos(ax+b)·esin(ax+b).
(3)设y=u2,u=sinv,v=2x+,
则y'x=y'u·u'v·v'x=2u·cosv·2=4sinvcosv=2sin2v=2sin.
(4)设y=5log2u,u=2x+1,则y'x=y'u·u'x=(5log2u)'·(2x+1)'=.
7.C　f'(x)=2cos2x+,
∴f'=2cos=2,
又f=sin+1=3,
∴所求切线方程为y-3=2,即4x-2y+6-π=0.故选C.
8.D　y'=,故y'x=4=e2,
故曲线在点(4,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-4),
当x=0时,y=-e2,当y=0时,x=2,
故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×2×e2=e2.故选D.
9.BCD　对于A,令f(x)=x,g(x)=x+1,则f'(x)=g'(x)=1,但f(x)≠g(x),故A错误;
B显然正确;
对于C,若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),两边同时求导得-f'(-x)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),故f'(x)是偶函数,故C正确;
对于D,若g(x)是偶函数,则g(-x)=g(x),两边同时求导得-g'(-x)=g'(x),所以g'(x)是奇函数,故D正确.故选BCD.
规律总结　若可导函数f(x)为偶函数,则f'(x)为奇函数,若可导函数f(x)为奇函数,则f'(x)为偶函数,这个结论在解小题时可以直接应用.
10.答案　
解析　设直线y=kx与曲线y=lnx相切于点(x1,lnx1),与曲线y=eax相切于点(x2,),
y=lnx的导函数为y'=,y=eax的导函数为y'=aeax,所以切线的斜率k=,
又切点(x1,lnx1),(x2,)均在切线y=kx上,
所以
解得所以k==ae,所以a=.
11.答案　y=2x-1
解析　设x>0,则-x<0,∴f(-x)=ex-2+x,
∵f(x)为偶函数,∴x>0时,f(x)=ex-2+x,
则f'(x)=ex-2+1,∴f'(2)=2,
又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1.
12.答案　x-y-1=0或x-y+3=0
解析　∵y=esinx,∴y'=esinxcosx,∴y'x=0=1.
∴曲线y=esinx在点(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.
∵直线l与直线x-y+1=0平行,
∴直线l的方程可设为x-y+m=0(m≠1).
则,解得m=-1或m=3.
∴直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0.
能力提升练
1.C 2.D 3.AC 4.D 5.D 6.C
1.C　f'(x)=(ex+3e-x)≥,当且仅当ex=3e-x,即x=ln3时等号成立,∴tanα≥,又0≤α<π,∴≤α<,即倾斜角α的取值范围是.故选C.
2.D　P'(t)=-·P0·ln2,则P'(15)=-,解得P0=18,则P(t)=18·,令P(t)=4.5,则18·=4.5,即,所以-=-2,解得t=60.故选D.
3.AC　sinh(-x)==-sinhx,
∴A中结论正确;
(coshx)'==sinhx≠-sinhx,
∴B中结论错误;
cosh2-cosh(-1)=>0,∴cosh2>cosh(-1),∴C中结论正确;
sinh2x-cosh2x==-1,
∴D中结论错误.
故选AC.
4.D　当x>0时,f(x)=lnx,f'(x)=,
当x<0时,f(x)=ln(-x),f'(x)=-,
因为曲线f(x)在A,B两点处的切线互相垂直,
所以f'(x1)·f'(x2)=·=-1,即x1x2=-1,
又x1>x2,所以x1>0>x2,
因此x1-x2=x1+≥2=2,
当且仅当x1=,即x1=1时,等号成立,
所以x1-x2的取值范围为[2,+∞).
故选D.
5.D　(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值即点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离的平方的最小值.
由题可得y'1=2cos2x1,令y'1=1,则cos2x1=,
又x1∈,所以x1=,所以y1=,
故函数y1=sin2x1+的图象在点处的切线与直线y2=x2+3平行.
易得切点到直线y2=x2+3的距离为,
易知的最小值为点到直线y2=x2+3的距离的平方,
所以的最小值为.
故选D.
6.C　由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,
令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.
由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=,x>-2,
设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-,
易知F(x)在(-2,+∞)上单调递增,
又F(-1)=-1<0,F(0)=ln2-=ln-ln>0,
故F(x)在(-1,0)上存在唯一的零点,
故-1由φ(x)=cosx(x∈(0,π))可得φ'(x)=-sinx,
令cosx=-sinx,得sinx+cosx=0,
即=0,
又x∈(0,π),所以x+=π,得x=,即c=.
综上可知,b7.答案　
解析　∵f(x)=sin(x+φ),
∴f'(x)=x+φ),
∴f(x)+f'(x)=sin(x+φ),
令g(x)=sin(x+φ),
∴g(x)=2sin,
∵y=g(x)为偶函数,∴φ+,k∈Z,
即φ=+kπ,k∈Z.
又0<φ<π,∴φ=.
8.解析　由f(x)=3x+cos2x+sin2x,
得f'(x)=3-2sin2x+2cos2x,
则a=f'=3-2sin+2cos=1.
由y=x3得y'=3x2.
∵点P在曲线y=x3上,
∴b=a3=1,
∴点P的坐标为(1,1).
设切点坐标为(x0,),
则切线的斜率为3,
∴切线方程为y-(x-x0).
又P(1,1)在切线上,∴1-(1-x0),
∴2+1=0,
∴(x0-1)2(2x0+1)=0,∴x0=-或x0=1,
∴切点的坐标为或(1,1),
∴满足题意的切线方程为y+或y-1=3(x-1),即3x-4y+1=0或3x-y-2=0.
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