2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--5.3.1　函数的单调性

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
基础过关练
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.(2023安徽亳州第一中学月考)函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(-2,1)上单调递增
B.f(x)在区间(1,2)上单调递增
C.f(x)在区间(4,5)上单调递增
D.f(x)在区间(-3,-2)上单调递增
2.(2023河北石家庄二十五中期中)设f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
3.(2023福建厦门双十中学月考)设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
题组二　利用导数确定函数的单调性与单调区间
4.(2023江苏扬州江都中学期末)函数f(x)=x3-3x+1的单调递减区间是(　　)
A.(1,2)　　　　　B.(-1,1)
C.(-∞,-1)　　　　　D.(-∞,-1),(1,+∞)
5.(2023山西阳泉期末)函数y=x2-lnx+2的单调递增区间为(　　)
A.(-1,1)　　　B.(0,1)　　　C.(1,+∞)　　　D.(0,+∞)
6.(2023四川达州外国语学校期中)函数f(x)=的大致图象为(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
7.求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x3-2x2+3;
(2)f(x)=ln(2x+3)+x2;
(3)f(x)=.
题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
8.(2023四川成都蓉城高中联盟期中)已知函数f(x)=lnx+x2+bx的单调递减区间为,则实数b的值为(　　)
A.3　　　B.-6　　　C.6　　　D.-3
9.(2023重庆南开中学期末)已知函数f(x)=2x--alnx在(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.[4,5]　　　　　B.(5,+∞)
C.[4,+∞)　　　　　D.[5,+∞)
10.(2022辽宁重点高中期中)若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,3)∪(3,+∞)　　　　　B.[3,+∞)
C.(0,3]　　　　　D.(0,3)
11.(2023陕西榆林横山中学期中)若函数f(x)=alnx-x+1在[e,e2]内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(e,+∞)　　　　　B.(-∞,e)
C.(e2,+∞)　　　　　D.(-∞,e2)
12.已知函数f(x)=,若f(x)为R上的单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,2]　　　B.(0,2]　　　C.[0,2)　　　D.[2,+∞)
13.(2022四川高县中学月考)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R),若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,则a的取值范围为　　　　　　　　.
14.(2022山西新绛中学月考)已知函数f(x)=x3+ax2+1,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间内单调递减,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)的单调递减区间是,求实数a的值.
15.(2022陕西咸阳武功二模)已知函数f(x)=(ax2-x-1)ex(a∈R且a≠0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调区间.
能力提升练
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.(2022江西南昌实验中学月考)给出下列选项,其中是某三次函数及其导函数在同一坐标系中的图象的是(　　)
2.已知f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
3.(2022河南平顶山期末)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,且f'(x)是f(x)的导函数,则(　　)
A.f'(-1)=f'(-2)<0B.0>f'(2)>f'(1)>f'(-1)=f'(-2)
C.f'(2)D.f'(2)题组二　利用导数研究函数的单调性及其应用
4.(2021陕西西安中学期末)设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)-f'(x)<1,f(0)=2021,则不等式f(x)>2020·ex+1(e为自然对数的底数)的解集为(　　)
A.(-∞,0)∪(0,+∞)
B.(2020,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-∞,0)∪(2020,+∞)
5.(2023江苏常州第一中学期末)已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0.若a=20.2·f(20.2),b=ln2·f(ln2),c=log2·f,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c　　　　　B.b>a>c
C.c>a>b　　　　　D.a>c>b
6.(2023湖北云学新高考联盟联考)已知函数f(x)=x(x-3)2,若f(a)=f(b)=f(c)(其中a>b>c),则下列结论正确的是(　　)
A.1C.a+b+c=6　　　　　D.abc∈(0,4)
7.(2022江苏南通一模)若函数f(x)=的值域为[2,+∞),则下列结论正确的是(　　)
A.f(3)>f(2)　　　　　B.m≥2
C.flog(m+1)(m+2)
8.(2022江苏七校联考)如果定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),那么称函数f(x)为“H函数”.给出下列函数:
①y=ex+1;②y=3x-2(sinx-cosx);
③y=x3+3x2+3x+1;④y=
其中是“H函数”的是　　　　.(填序号)
9.若对任意的x1,x2∈[-2,0),x1题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
10.(2023广东信宜二中月考)若函数f(x)=x2-9lnx在区间[m-1,m+1]上单调,则实数m的取值范围可以是(　　)
A.m≥4　　　　　B.m≤2
C.111.(2023山东聊城高唐一中月考)已知函数f(x)=ax2-4ax-lnx,则f(x)在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件是(　　)
A.a>-　　　B.0C.a>或-
12.(2023山东菏泽明德学校月考)已知函数f(x)=ex+x2-ax+2(a>0),其中e是自然对数的底数.若函数f(x)与函数f(f(x))的单调区间相同,则实数a的取值范围为　　　　.
13.(2022陕西绥德中学月考)已知函数f(x)=x-1-alnx.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)已知函数g(x)=,若当a<0时,对任意x1,x2∈(0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤|g(x1)-g(x2)|成立,求实数a的取值范围.
14.(2021吉林松原实验高级中学月考)已知函数f(x)=lnx+ax2-(a+2)x+2(a为常数).
(1)若曲线f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求实数a的值;
(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性;
(3)若a为正整数,且函数f(x)恰有两个零点,求实数a的值.
答案与分层梯度式解析
第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
基础过关练
1.BC 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 8.D 9.D
10.D 11.A 12.A
1.BC　由题图知,当x∈(1,2)和(4,5)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(1,2),(4,5)上单调递增,故B、C正确;
当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,1)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,故A错误;
当x∈(-3,-2)时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(-3,-2)上单调递减,故D错误.
故选BC.
2.B　由f(x)的图象可得,在y轴左侧,图象下降,即f(x)单调递减,所以f'(x)<0,故排除C,D;
在y轴右侧,图象先下降,再上升,最后下降,即f(x)先单调递减,再单调递增,最后单调递减,所以f'(x)先小于0,再大于0,最后小于0,故A不符合,B符合.故选B.
3.C　由导函数的图象可得,当x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当02时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故C中图象符合.故选C.
4.B　易得f'(x)=3x2-3,令3x2-3<0,得-1所以f(x)的单调递减区间是(-1,1).故选B.
5.C　易得函数y=x2-lnx+2的定义域为{x|x>0},y'=x-,令y'>0,得x<-1(舍去)或x>1,
所以函数的单调递增区间为(1,+∞).故选C.
易错警示　要注意函数的单调区间是其定义域的子区间,故利用导数求函数的单调区间时,要先确定其定义域.
6.B　易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=.
当x<0时,f'(x)<0,所以函数f(x)单调递减;当x>0时,令f'(x)>0,得x>1,令f'(x)<0,得07.解析　(1)易知函数f(x)的定义域为R.f'(x)=2x2-4x=2x(x-2),令f'(x)=0,得x=0或x=2,列表如下:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 3 ↘ ↗
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2).
(2)易知函数f(x)的定义域为.
f'(x)=.
令f'(x)=0,得x=-或x=-1.列表如下:
x -,-1 -1 -1,- - -,+∞
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 1 ↘ ln2+ ↗
所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(3)f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1},
f'(x)=
=.
令f'(x)=0,得x=1+或x=1-,列表如下:
x (-∞, 1-) 1- (1-, 1) (1, 1+) 1+ (1+, +∞)
f'(x) + 0 - - 0 +
f(x) ↗ 2-2 ↘ ↘ 2 +2 ↗
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1-,+∞),单调递减区间是(1-).
8.D　易得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.
因为函数f(x)的单调递减区间为,所以的解集为,即2x2+bx+1<0的解集为,所以-,解得b=-3.
经检验,满足题意.故选D.
9.D　由题意得f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=2+≤0在(1,2)上恒成立,即a≥2x+在(1,2)上恒成立.
设h(x)=2x+(x>0),
则h'(x)=2-,x>0,
当x∈(1,2)时,h'(x)>0,所以h(x)在(1,2)上单调递增,所以h(x)10.D　f'(x)=3ax2+6x+1(a>0).
∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,
∴f'(x)有两个不同的零点,∴Δ=36-12a>0,∴0∴实数a的取值范围是(0,3).故选D.
11.A　f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,所以函数f(x)在[e,e2]上单调递减,与题意不符,舍去.
当a>0时,令f'(x)>0,得0a,所以函数f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减.
因为函数f(x)在[e,e2]内存在单调递增区间,所以a>e,即实数a的取值范围是(e,+∞).故选A.
12.A　由函数f(x)的定义域为R知a≥0.
①当a=0时,f(x)=,是R上的单调递增函数,满足条件;
②当a>0时,f'(x)=,要使f(x)为R上的单调函数,需满足f'(x)≥0恒成立,即ax2-2ax+2≥0恒成立,
即Δ=(-2a)2-8a=4a(a-2)≤0,所以0综上所述,a∈[0,2].故选A.
13.答案　∪
解析　易得f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
令f'(x)=0,得x=a或x=-.
当a=-,即a=-时,f'(x)≥0,不符合题意,故a≠-,∵f(x)在区间(-1,1)上不单调,
∴a∈(-1,1)或-∈(-1,1),
解得-514.解析　(1)由题意知,f'(x)=3x2+2ax=3x.
①当a=0时,f'(x)=3x2≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞).
②当a>0时,令f'(x)>0,得x<-或x>0,令f'(x)<0,得-③当a<0时,令f'(x)>0,得x<0或x>-,令f'(x)<0,得0(2)由(1)知,若f(x)在内单调递减,则-≤-,解得a≥1,即a的取值范围是[1,+∞).
(3)由(1)知,若f(x)的单调递减区间是,则-,解得a=1.
15.解析　(1)由题可得f'(x)=(2ax-1)ex+(ax2-x-1)·ex=[ax2+(2a-1)x-2]ex,∴f'(0)=-2,
又f(0)=-1,∴所求切线方程为y+1=-2x,即2x+y+1=0.
(2)易知函数f(x)的定义域为R,f'(x)=[ax2+(2a-1)x-2]ex=(ax-1)(x+2)ex.
①当a>0时,令f'(x)>0,得x<-2或x>;
令f'(x)<0,得-2故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),,单调递减区间为.
②当-0,得-2.
故f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,(-2,+∞).
③当a=-时,f'(x)≤0.
故f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间.
④当a<-时,>-2,令f'(x)>0,得-2令f'(x)<0,得x>或x<-2.
故f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(-∞,-2),.
综上,当a<-时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(-∞,-2),;
当a=-时,函数f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间;
当-当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),,单调递减区间为.
能力提升练
1.D 2.D 3.C 4.C 5.C 6.BCD 7.ABD 10.AC
11.D
1.D　对于A、B,二次函数的函数值符号是先正后负再正,原函数应先增后减再增,故A、B错误;
对于C、D,易知导数值变号的点是原函数单调性发生变化的点,故C错误、D正确.故选D.
2.D　由题图可知在(a,b)内,f'(x)>0,且在内,f'(x)单调递增,在内,f'(x)单调递减,所以函数f(x)在(a,b)内单调递增,且其图象在内越来越陡峭,在内越来越平缓.故选D.
3.C　由题中函数f(x)的图象可知当x≤0时,f(x)匀速递增,故f'(x)是一个大于0的常数,
当x>0时,f(x)单调递减,且递减幅度越来越大,故f'(x)<0,且f'(x)单调递减,
故f'(2)4.C　令g(x)=,则g'(x)=,
因为f(x)-f'(x)<1,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.
因为f(0)=2021,所以g(0)==2020.
不等式f(x)>2020·ex+1可转化为>2020,即g(x)>g(0).
由函数g(x)是R上的增函数知x>0.故选C.
5.C　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,
所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称,
所以函数f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x).
构造函数g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x).
因为当x∈(-∞,0)时,g'(x)=f(x)+xf'(x)<0,
所以函数g(x)在(-∞,0)上单调递减.
易知g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为a=20.2·f(20.2)=g(20.2),b=ln2·f(ln2)=g(ln2),c=log2·f=-2f(-2)=2f(2)=g(2),2>20.2>1>ln2>0,
所以g(2)>g(20.2)>g(ln2),即c>a>b.故选C.
6.BCD　易得f'(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1).
令f'(x)>0,得x>3或x<1;令f'(x)<0,得1所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞),单调递减区间为(1,3),画出f(x)的大致图象,如图所示.
设f(a)=f(b)=f(c)=t,则0又f(x)-t=(x-a)(x-b)(x-c),所以x(x-3)2-t=(x-a)(x-b)(x-c),
即x3-6x2+9x-t=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc,
所以故C正确.
abc=t∈(0,4),故D正确.
因为37.ABD　当x≥1时,f(x)=x+1-lnx,则f'(x)=1-≥0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=2,且f(3)>f(2),故A正确.
当x<1时,f(x)=-x3-x+2+m,则f'(x)=-3x2-1<0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以f(x)>-13-1+2+m=m.故当x≥1时,f(x)≥2,当x<1时,f(x)>m,因为f(x)的值域是[2,+∞),所以m≥2,故B正确.
令g(x)=,则g'(x)=,当00,所以g(x)单调递增,
所以g(2)又<1,f(x)在(-∞,1)上单调递减,
所以f,故C错误.
令h(x)=,则h'(x)=,x>0且x≠1,
令H(x)=xlnx,易知H'(x)=lnx+1>0在x>1时恒成立,所以H(x)在(1,+∞)上单调递增,
因此x>1时,xlnx<(x+1)ln(x+1),所以当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)在(1,+∞)上单调递减,
因为m≥2,所以h(m)>h(m+1),即,即logm(m+1)>log(m+1)(m+2),故D正确.故选ABD.
8.答案　①②③
解析　x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)可化为[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,
所以函数f(x)为R上的增函数,所以“H函数”即为增函数.
对于①,y=ex+1显然是增函数,故①符合.
对于②,y'=3-2cosx-2sinx=3-2≥3-2>0,所以函数y=3x-2(sinx-cosx)为R上的增函数,故②符合.
对于③,y'=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,所以函数y=x3+3x2+3x+1为R上的增函数,故③符合.
对于④,当x>0时,y=ln|x|=lnx,在(0,+∞)上单调递增;当x<0时,y=ln|x|=ln(-x),在(-∞,0)上单调递减,所以y=不是R上的增函数,故④不符合.
9.答案　-
解析　因为x1a(x1-x2),即x2+ax1.
因为x1x2>0,所以.
构造函数f(x)=,则函数f(x)在[-2,0)上单调递减,所以f'(x)=≤0在[-2,0)上恒成立,所以ex(x-1)≤a在[-2,0)上恒成立.
令g(x)=ex(x-1),则g'(x)=ex(x-1)+ex=xex<0在[-2,0)上恒成立,
所以g(x)=ex(x-1)在[-2,0)上单调递减,所以g(x)≤g(-2)=-,所以a≥-,故实数a的最小值为-.
10.AC　易知f'(x)=x-,x∈(0,+∞).
令f'(x)>0,得x>3;令f'(x)<0,得0因为f(x)在区间[m-1,m+1]上单调,
所以或m-1≥3,解得1故选AC.
11.D　易得f'(x)=2ax-4a-.
令g(x)=2ax2-4ax-1,易知其图象的对称轴方程为x=1,
由题意可得函数g(x)在区间(1,4)上有零点.
当a=0时,显然不成立;
当a≠0时,
只需或
解得a>或a<-.故选D.
12.答案　(0,e+2]
解析　易得f'(x)=ex+2x-a.
设h(x)=ex+2x-a,则h'(x)=ex+2>0,所以f'(x)单调递增,
又f'(-1)=-2-a<0,f'(a)=ea+a>0,
所以存在x0∈(-1,a),f'(x0)=+2x0-a=0,即a+2x0.
当x>x0时,f'(x)>0,f(x)在(x0,+∞)上单调递增,
当x设g(x)=f(f(x)),因为函数f(x)与函数f(f(x))的单调区间相同,
所以函数g(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
又g'(x)=f'(f(x))·f'(x),所以f'(f(x))≥0对任意x∈R恒成立,即f(x)≥x0恒成立.
因为f(x)min=f(x0)=-ax0+2,所以-ax0+2≥x0,
将a=+2x0代入上式,整理,得(x0-1)(+x0+2)≤0.
因为a=+2x0>0,所以+2>0,所以x0≤1,又h(x)=ex+2x-a在(-∞,1]上单调递增,所以e1+2-a≥+2x0-a=0,所以a≤e+2,又a>0,所以实数a的取值范围为(0,e+2].
13.解析　(1)f'(x)=1-(x>0),
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,令f'(x)=0,得x=a,
当0当x>a时,f'(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.
(2)当a<0时,f'(x)=1->0在(0,1]上恒成立,则f(x)在(0,1]上单调递增,
g'(x)=-<0在(0,1]上恒成立,则g(x)在(0,1]上单调递减,
不妨设x1≤x2,因为对任意x1,x2∈(0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤|g(x1)-g(x2)|成立,
所以f(x2)-f(x1)≤g(x1)-g(x2)在(0,1]上恒成立,即f(x2)+g(x2)≤f(x1)+g(x1)在(0,1]上恒成立,令F(x)=f(x)+g(x)=x-1-alnx+,则F(x)在(0,1]上单调递减,
所以F'(x)=1-≤0在(0,1]上恒成立,
即a≥x-在(0,1]上恒成立,
令h(x)=x-,易知h(x)在(0,1]上单调递增,
所以h(x)max=h(1)=-3,所以a≥-3.
故实数a的取值范围是[-3,0).
14.解析　(1)由题意知x>0,f'(x)=,则f'(1)=a-1.
由于函数y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,所以f'(1)×=-1,
所以f'(1)=a-1=3,解得a=4.
(2)由(1)知f'(x)=.
∵a>0,∴>0.
①若0时,f'(x)>0;
当时,f'(x)<0,所以f(x)在和上单调递增,在上单调递减.
②若a=2,则, x>0,f'(x)≥0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③若a>2,则0<,当0时,f'(x)>0;
当时,f'(x)<0,
所以f(x)在和上单调递增,在上单调递减.
综上,当02时,f(x)在和上单调递增,在上单调递减.
(3)因为a为正整数,
所以若0由(2)知f(x)在和(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,
又f(1)=0,所以f(x)在区间内仅有一个零点,f>f(1)=0,又f(e-2)=e-4-3e-2=e-2(e-2-3)<0,所以f(x)在区间内仅有一个零点.
此时f(x)在区间(0,+∞)内恰有两个零点.
若a=2,则y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,至多有一个零点.
若a>2,则f=ln-(a+2)·+2=ln+1,令t=,则00,
所以y由(2)知f(x)在上单调递减,在和上单调递增,所以f<0,所以f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点.
综上,a=1.
解题模板　含参函数单调性问题的解决,常常要对参数的取值进行分类讨论,分类时主要考虑三点:一是导函数有没有零点;二是导函数的零点是否在定义域内;三是导函数的零点间的大小关系.
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