2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--5.3.2　函数的极值与最大(小)值（2）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第2课时　函数的最大(小)值
基础过关练
题组一　函数最大(小)值的求解
1.(2023广东信宜二中月考)函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
2.(2022广东南海中学月考)下列关于函数f(x)=的说法正确的是(　　)
A.f(x)没有最小值,有最大值
B.f(x)有最小值,没有最大值
C.f(x)有最小值,也有最大值
D.f(x)没有最小值,也没有最大值
3.(2022浙江嘉兴第五高级中学月考)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(a为常数)在区间[-2,2]上有最大值20,那么函数f(x)在该区间上的最小值为(　　)
A.-37　　　B.-7　　　C.-5　　　D.-11
4.(2022浙江宁波期中)已知函数f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2.
(1)求m的值;
(2)求函数f(x)在区间[-2,2]内的最值.
题组二　函数最大(小)值的应用
5.(2023湖北武汉武昌月考)若函数f(x)=在(-2,a)上有最小值,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1,+∞)　　　　　B.[-1,+∞)
C.(0,+∞)　　　　　D.[0,+∞)
6.已知函数f(x)=x2-2lnx,若在定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m≤0成立,则实数m的最小值为(　　)
A.2　　　B.-2　　　C.1　　　D.-1
7.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m的取值范围是(　　)
A.(0,3)　　　　　B.(-3,0)
C.(-∞,-3)　　　　　D.(3,+∞)
8.(2022广东汕头期末)已知函数f(x)=ex+x3+(a-3)x+1在区间(0,1)上有最小值,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-e,2)　　　　　B.(-e,1-e)
C.(1,2)　　　　　D.(-∞,1-e)
9.(2023天津武清三校联考)已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1在区间(k,2]上的最大值为28,则实数k的值可以是(　　)
A.-4　　　B.-3　　　C.-2　　　D.-1
10.若函数f(x)=2x3-ax2+b在[0,1]上的最小值为-1,最大值为1,则a+b的值为　　　　.
11.(2023陕西咸阳乾县一中期末)已知函数f(x)=.
(1)求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)证明:当x∈[0,π]时,f(x)≤x.
12.(2023安徽师大附中月考)已知函数f(x)=lnx+(t∈R).
(1)讨论f(x)的极值;
(2)若t>0,求f(x)在[e,e2]上的最大值g(t).
题组三　利用导数解决优化问题
13.(2022江苏常熟、昆山、太仓三校联考)某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定到某商场对某商品进行市场销售量调研,通过调研得知,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:百元/千克)近似满足关系式y=+2(x-7)2,其中4A.10百元　　　　　B.12百元
C.14百元　　　　　D.16百元
14.(2022江苏镇江实验高级中学期中)做一个无盖的圆柱形水桶,其体积是27π,则当圆柱底面圆的半径r=　　　　时,用料最省.
15.某工厂加工一批零件,加工过程中会产生次品,根据经验可知,其次品率p与日产量x(万件)之间满足函数关系式p=已知每生产1万件合格品可获利2万元,但生产1万件次品将亏损1万元.(次品率=次品数/生产量)
(1)试写出加工这批零件的日盈利额y(万元)与日产量x的函数关系式;
(2)当日产量为多少时,日盈利额最大 最大日盈利额为多少
能力提升练
题组一　函数最大(小)值的求解
1.已知函数f(x)=2lnx+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)在上的最大值为(　　)
A.-　　　　　B.2ln3-
C.-1　　　　　D.2ln2-4
2.(2022河南平顶山调研)设函数f(x)=2x2-2的图象在点(a,f(a))(0A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.(2023河南名校联考)函数f(x)=e|x|+cosx+1在区间[-π,π]上的最大值、最小值分别为(　　)
A.+1,3　　　　　B.eπ,3
C.+1,2　　　　　D.eπ,2
4.(2023福建龙岩期末)已知函数f(x)=2|sinx|+cosx,则f(x)的最小值为(　　)
A.-　　　B.-2　　　C.-1　　　D.0
5.(2023山东新高考联合质量测评)已知函数f(x)=e2x,g(x)=x-1,对任意x1∈R,存在x2∈(0,+∞),使f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为　(　　)
A.1　　　　　B.
C.2+ln2　　　　　D.ln2
题组二　函数最值的应用
6.(2023河南驻马店确山月考)已知函数f(x)=-x3+x在区间(a2-6,a)上有最小值,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1,2]　　　　　B.(-1,]
C.(-2,2]　　　　　D.(-1,1]
7.(2022江苏苏州调研)若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a=(　　)
A.　　　B.　　　C.+1　　　D.-1
8.(2023河北沧州一中月考)已知函数f(x)=ex-ax2的定义域为,且 x1,x2∈,x1≠x2,A.　　　　　B.[-1,+∞)
C.　　　　　D.
9.(2022山西大同期末)已知函数f(x)=-m(x>0,m∈R),若函数y=f(f(x))与y=f(x)有相同的最小值,则实数m的最小值为　　　　.
10.(2023山东聊城一中期中)若函数g(x)在区间D上有定义,且 a,b,c∈D,g(a),g(b),g(c)均可作为一个三角形的三边长,则称g(x)在区间D上为“M函数”.已知函数f(x)=-lnx+k在区间上为“M函数”,则实数k的取值范围为　　　　.
11.(2022江苏苏州外国语学校期中)设函数f(x)=已知x112.(2023江苏连云港赣马高级中学期末)已知函数f(x)=2lnx-x2,g(x)=x+,f(x)与g(x)有相同的极值点.
(1)求实数a的值;
(2)若 x1,x2∈,不等式≤1恒成立,求实数k的取值范围.
13.(2022山东淄博期中)已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,且对任意x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围;
(3)当x>y>e-1时,求证:ex-y>.
题组三　利用导数解决优化问题
14.如图所示,在等腰梯形ABDE中,|AE|=|ED|=|BD|=a,当等腰梯形ABDE的面积最大时,θ=(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
15.(2023上海松江月考)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低
答案与分层梯度式解析
第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第2课时　函数的最大(小)值
基础过关练
1.B 2.A 3.B 5.A 6.C 7.A 8.A 9.A
13.A
1.B　易得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),∴当-10,当0方法总结　当函数f(x)在区间内有唯一极值时,该极值也是函数f(x)的最值.
2.A　易知函数f(x)的定义域为R,f'(x)=,当x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,f(x)取得极大值,也是最大值,f(x)没有最小值.故选A.
3.B　f'(x)=-3x2+6x+9,令f'(x)=0,解得x=-1或x=3(舍去).
当-20,f(x)单调递增,
所以当x=-1时,f(x)取得极小值,即最小值,为f(-1)=-5+a,又f(2)=22+a>f(-2)=2+a,
所以最大值为22+a=20,所以a=-2,
所以函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为f(-1)=-7.故选B.
4.解析　(1)f'(x)=6x2-2mx-12.
因为f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2,
所以f'(2)=6×22-2m×2-12=0,解得m=3.
(2)由(1)得f(x)=2x3-3x2-12x+6,f'(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),x∈[-2,2].
令f'(x)<0,得-10,得-2所以f(x)在(-2,-1)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,
所以函数f(x)在x=-1处取得极大值,也是最大值,为f(-1)=13,又f(-2)=2,f(2)=-14,所以函数f(x)在区间[-2,2]内的最小值为-14.
5.A　易得f'(x)=,
令f'(x)>0,得x>-1,令f'(x)<0,得x<-1,
故f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,
所以若f(x)在(-2,a)上有最小值,则a>-1.故选A.
6.C　由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-.令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去).当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以当x=1时,f(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为f(1)=1.
由题意知m≥1,因此实数m的最小值为1.
7.A　由题意得f'(x)=-3x2+2mx,令f'(x)=0,得x=或x=0,因为f(x)在区间(0,2)内的极大值为最大值,所以0<<2,所以08.A　由题意得f'(x)=ex+3x2+a-3,易知f'(x)在区间(0,1)上单调递增,若f(x)在区间(0,1)上有最小值,则即解得-e这时存在x0∈(0,1),使得f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增,
即函数f(x)在(0,1)上有极小值,也是最小值,
所以a的取值范围是(-e,2).故选A.
9.A　易得f'(x)=3x2+6x-9.
令f'(x)=3x2+6x-9=0,得x=-3或x=1,
所以当x∈(-∞,-3)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-3,1)时,f'(x)<0,
所以函数f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增,在(-3,1)上单调递减.
所以当x∈(-∞,1)时,f(x)max=f(-3)=28;当x∈[1,2]时,f(x)max=f(2)=3.
所以若f(x)在区间(k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为k<-3.故选A.
10.答案　-1或5
解析　f'(x)=6x2-2ax=6x.
令f'(x)=0,得x=0或x=.
①当a≤0时,易知函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以解得满足题意.
②当0所以f(x)在[0,1]上的最小值为f+b,最大值为f(0)=b或f(1)=2-a+b.
若-+b=-1,b=1,则a=3,与0若-+b=-1,2-a+b=1,则a=3或a=-3或a=0,与0③当a≥3时,≥1,f(x)在[0,1]上单调递减,
所以解得满足题意.
综上,当或时,函数f(x)在[0,1]上的最小值为-1,最大值为1,所以a+b的值为-1或5.
11.解析　(1)易得f(0)=0,f'(x)=,所以切线的斜率为f'(0)==1,所以所求切线的方程为x-y=0.
(2)证明:要证f(x)≤x(x∈[0,π]),即证≤x(x∈[0,π]),即证xex-sinx≥0(x∈[0,π]).
令g(x)=xex-sinx,x∈[0,π],
则g'(x)=ex+xex-cosx,x∈[0,π].
令h(x)=ex+xex-cosx,x∈[0,π],则h'(x)=2ex+xex+sinx>0在x∈[0,π]上恒成立,
所以h(x)在[0,π]上单调递增,所以h(x)≥h(0)=0,即g'(x)≥0在x∈[0,π]上恒成立,
所以g(x)在[0,π]上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,即xex-sinx≥0(x∈[0,π]),
所以当x∈[0,π]时,f(x)≤x.
12.解析　(1)易得f'(x)=.
当t≤0时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;
当t>0时,令f'(x)=0,得x=t,所以当x∈(0,t)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(t,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)有极小值,为f(t)=lnt+1.
综上,当t≤0时,f(x)无极值;当t>0时,f(x)有极小值lnt+1.
(2)由(1)知,当t>0时,f(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增,
所以当0当e令f(e)=f(e2),则1+,得t=.
当e当≤t当t≥e2时,g(t)=f(e)=1+.
综上,g(t)=
13.A　由题意知3=+2,故a=2,则y=+2(x-7)2,4设该商场每日销售该商品所获利润为f(x)百元,
则f(x)=y(x-4)=2+2(x-7)2(x-4),
f'(x)=2[(2x-14)(x-4)+(x-7)2]=6(x-7)(x-5),
则f(x)在(4,5)上单调递增,在(5,7)上单调递减,
故f(x)max=f(5)=2+2×4=10,即最大利润为10百元.
故选A.
14.答案　3
解析　设圆柱的高为h,则πr2h=27π,所以h=,
所以水桶的表面积S=πr2+2πrh=πr2+2πr·.
令f(r)=S,则f'(r)=2πr-,
令f'(r)>0,得r>3,令f'(r)<0,得0∴f(r)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故f(r)在r=3时取得极小值,也是最小值,
故当r=3时,无盖的圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.
15.解析　(1)当1≤x<4时,y=2x-x·,
当x≥4时,y=2x,
所以日盈利额y(万元)与日产量x的函数关系式为y=
(2)当1≤x<4时,y=2x-(x-2)2+2,
所以当x=2时,y取得最大值2;
当x≥4时,y=9-x-<0,
所以函数在[4,+∞)上单调递减,
所以当x=4时,y取得最大值,
又>2,所以当日产量为4万件时日盈利额最大,最大日盈利额为万元.
能力提升练
1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.A 7.D 8.A
14.B
1.B　因为f(x)=2lnx+ax2-3x,
所以f'(x)=+2ax-3,
由题意可得f'(2)=4a-2=0,解得a=,则f(x)=2lnx+x2-3x,f'(x)=,
令f'(x)=0,得x=1或x=2,列表如下:
x ,1 1 (1,2) 2 (2,3]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的极大值为f(1)=-.
易得f(3)=2ln3-,因为f(3)-f(1)=2ln3-=2ln3-2=2×(ln3-1)>0,所以f(1)2.C　由题设知f'(x)=4x,则f'(a)=4a,
又f(a)=2a2-2,
所以切线l的方程为y-2a2+2=4a(x-a),
当x=0时,y=-2a2-2,当y=0时,x=,
所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积S(a)=,0则S'(a)=,令S'(a)=0,得a=(负值舍去).
当a∈时,S'(a)<0,当a∈时,S'(a)>0,
所以S(a)在上单调递减,在上单调递增,所以S(a)min=S.故选C.
3.B　易知函数f(x)为偶函数,故f(x)在区间[-π,π]上的最值也就是其在区间[0,π]上的最值.
当0≤x≤π时,f(x)=ex+cosx+1,则f'(x)=ex-sinx>0,
所以f(x)在[0,π]上单调递增,
所以f(x)max=f(π)=eπ,f(x)min=f(0)=3,故选B.
4.C　易知函数f(x)的最小正周期为2π,定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=2|sin(-x)|+cos(-x)=2|sinx|+cosx=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
当x∈[0,π]时,f(x)=2sinx+cosx,则f'(x)=2cosx-sinx,
令f'(x)=0,得sinx=2cosx,结合图象可知,存在唯一的x0∈(0,π),使sinx0=2cosx0,且当x∈[0,x0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x0,π]时,f'(x)<0,f(x)单调递减,又f(0)=1,f(π)=-1,所以f(x)min=f(π)=-1.
当x∈[π,2π]时,同理可得f(x)min=f(π)=-1.
综上,f(x)min=-1.故选C.
5.D　令f(x1)=g(x2)=m>0,则=m,x2-1=m,
所以x1=lnm,x2=m+1,则x2-x1=m+1-lnm,
令h(m)=m+1-lnm(m>0),则h'(m)=1-,
令h'(m)=0,得m=,
所以当m∈时,h'(m)<0,h(m)单调递减;
当m∈时,h'(m)>0,h(m)单调递增,
所以当m=时,h(m)取得极小值,也是最小值,为ln2,即x2-x1的最小值为ln2.故选D.
6.A　易得f'(x)=-x2+1,令f'(x)=0,得x=±1,所以当x<-1或x>1时,f'(x)<0,当-10,所以x=-1是函数f(x)的极小值点,
要使函数f(x)=-x3+x在区间(a2-6,a)上有最小值,只需满足a2-6<-17.D　由题意得f'(x)=.
若a>1,则当x>时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当10,f(x)单调递增,
故当x=时,f(x)取得极大值,也是最大值,为,解得a=<1,不符合题意;
若a=1,则当x∈[1,+∞)时,f'(x)≤0,且不恒为0,故f(x)在[1,+∞)上单调递减,f(x)max=f(1)=,不符合题意;
若08.A　不妨设x1>x2,则由构造F(x)=f(x)-x2=ex-ax2-x2,则F(x1)所以F'(x)=ex-2(a+1)x≤0在上恒成立,即≤2(a+1)在上恒成立.
令h(x)=,x∈,则h'(x)=,
令h'(x)=0,得x=1,所以当x∈时,h'(x)<0,当x∈(1,2)时,h'(x)>0,
所以h(x)在上单调递减,在(1,2)上单调递增,
又h,且2,
所以h(x)所以≤2(a+1),解得a≥-1.故选A.
9.答案　e-1
解析　由题可得f'(x)=,x>0,
令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0则函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(1)=e-m.
对于函数y=f(f(x)),设t=f(x),则f(f(x))=f(t),
则当t=1时,f(t)取得最小值e-m,
所以1=-m有解,即m=-1有解,
令g(x)=-1,x>0,则g'(x)=,
则函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,为g(1)=e-1,因为m=g(x)有解,所以m≥e-1.故m的最小值为e-1.
10.答案　(2e-4,+∞)
解析　根据题意可知,若g(x)在区间D上为“M函数”,则2g(x)min>g(x)max,且g(x)min>0.
因为f(x)在区间上为“M函数”,
所以2f(x)min>f(x)max,且f(x)min>0.
因为f(x)=-lnx+k=1--lnx+k,所以f'(x)=,
令f'(x)<0,得10,得≤x<1,
所以f(x)在上单调递增,在(1,e]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=k.
易知f+k=2+k-e,f(e)=1--lne+k=k-,
则f<0,即f所以解得k>2e-4,所以实数k的取值范围为(2e-4,+∞).
11.答案　2
解析　由题易知f(x)在(-∞,0],(0,+∞)上均单调递增,设f(x1)=f(x2)=t,
则t≤-a,x1-a=t,lnx2=t,则x1=t+a,x2=et,
故x2-x1=et-(t+a),t≤-a.
令g(t)=et-t-a,t≤-a,则g'(t)=et-1,
①当-a≤0,即a≥0时,g'(t)=et-1≤0在(-∞,-a]上恒成立,且仅在个别点处取“=”,故g(t)在(-∞,-a]上单调递减,
则g(t)min=g(-a)=e-a=,解得a=2,符合题意;
②当-a>0,即a<0时,若t<0,则g'(t)<0,若00,
则函数g(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,-a]上单调递增,
所以g(t)min=g(0)=1-a=,得a=1-(舍去).
综上,a=2.
12.解析　(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,
令f'(x)>0,得01,
所以当x∈(0,1)时,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减,
所以当x=1时,函数f(x)取得唯一的极大值,所以x=1也是g(x)的极值点.
易知g'(x)=1-,由g'(1)=1-a=0,得a=1,经检验,x=1是g(x)的极小值点,故a=1.
(2)由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
又f,f(1)=-1,f(3)=2ln3-9,所以x∈时,f(x)min=2ln3-9,f(x)max=-1.
当a=1时,g(x)=x+,显然g(x)在上单调递减,在[1,3]上单调递增,
又g,
所以当x∈时,g(x)min=2,g(x)max=.
①当k-1>0,即k>1时,≤1恒成立等价于f(x1)-g(x2)≤k-1恒成立,
所以k≥f(x1)-g(x2)+1恒成立,
即k≥+1,
因为f(x1)-g(x2)+1≤-1-2+1=-2,所以k≥-2,所以k>1.
②当k-1<0,即k<1时,≤1恒成立等价于f(x1)-g(x2)≥k-1恒成立,
所以k≤f(x1)-g(x2)+1恒成立,
即k≤+1,
因为f(x1)-g(x2)+1≥2ln3-9-+1=2ln3-,
∴k≤2ln3-.
综上,实数k的取值范围为∪(1,+∞).
13.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=a-,
当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,没有极值点;
当a>0时,令f'(x)<0,得0令f'(x)>0,得x>,
∴f(x)在上单调递减,在上单调递增,即f(x)在x=处取得极小值,无极大值.
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上没有极值点,当a>0时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.
(2)∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴f'(1)=0,
∴a=1,∴f(x)=x-1-lnx,f'(x)=,
∴f(x)≥bx-2 1+≥b,
令g(x)=1+,
则g'(x)=-,
令g'(x)=0,得x=e2,
∴当0e2时,g'(x)>0,
故g(x)在(0,e2]上单调递减,在[e2,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(e2)=1-,∴b≤1-.
(3)证明:当x>y>e-1时,不等式ex-y>等价于,
令H(x)=,x>e-1,则只需证明H(x)在(e-1,+∞)上单调递增即可.
易得H'(x)=,
令h(x)=ln(x+1)-,x>e-1,易知h(x)在(e-1,+∞)上单调递增,
∴h(x)>1->0,∴H'(x)>0,
∴H(x)在(e-1,+∞)上单调递增,
∴当x>y>e-1时,,即ex-y>.
14.B　如图,过点D作DC⊥AB于点C,
设等腰梯形ABDE的面积为S,
则S=(|AB|+|ED|)·|CD|,
易得|AB|=a+2acosθ,|CD|=asinθ,
所以S=[(a+2acosθ)+a]·asinθ=a2sinθ(1+cosθ),则S'=a2·(2cos2θ+cosθ-1),
令S'=0,得cosθ=或cosθ=-1,
由于0<θ<,所以cosθ≠-1,
所以cosθ=,此时θ=.
当θ∈时,S'>0,当θ∈时,S'<0,故当θ=时,S取得最大值.故选B.
15.解析　(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.
由条件知,当O'B=40时,
BB1=-×403+6×40=160,则AA1=160.
由O'A2=160,得O'A=80.
所以AB=O'A+O'B=80+40=120.
所以桥AB的长度为120米.
(2)以O为原点,OO'所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图所示).
设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-x3+6x,
EF=160-y2=160+x3-6x.
因为CE=80,所以O'C=80-x.
设D(x-80,y1),则y1=(80-x)2,
所以CD=160-y1=160-x2+4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x)万元,
则f(x)=k
=k(0f'(x)=kx(x-20),
令f'(x)=0,得x=20.
x (0,20) 20 (20,40)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x=20时,f(x)取得极小值,也是最小值.
故当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)