2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--第五章　一元函数的导数及其应用复习提升

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第五章　一元函数的导数及其应用
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对导数的定义理解不够准确致错
1.(2023江苏连云港期末)对于可导函数f(x),若f'(x0)=2,则=　　　　.
2.已知函数f(x)=ax2+lnx满足=2,则曲线y=f(x)在点处的切线斜率为　　　　.
易错点2　混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错
3.已知函数f(x)=x3+2x-8,则曲线y=f(x)在点(0,-8)处的切线l1的方程为　　　　　;若曲线y=f(x)的某一切线l2与直线l3:y=-x+1垂直,则切点坐标为　　　　　　　　.
4.(2023广东深圳耀华实验学校月考)已知曲线y=f(x)=2(x+1)3+1,则过点P(0,3)的曲线y=f(x)的切线方程为　　　　　　　　　　.
易错点3　对复合函数的求导法则理解不透致错
5.已知函数f(x)在R上可导,F(x)=f(x3-1)+f(1-x3),则F'(1)=　　　　.
6.(2022湖南益阳箴言中学开学考试)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为　　　　.
易错点4　条件的等价转换不准确致错
7.(2023湖北随州曾都第一中学月考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是(　　)
A.a+b=0 B.a+b=-7
C.f(x)一定有两个极值点 D.f(x)一定存在单调递减区间
8.已知函数f(x)=x2+2x-2alnx在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
易错点5　利用导数研究函数时忽视定义域致错
9.已知某公司生产一种品牌服装的年固定成本为10万元,且每生产1万件,需要另投入1.9万元.设R(x)(单位:万元)为年销售收入,根据市场调查知R(x)=其中x(单位:万件)是年产量.
(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x的函数解析式;
(2)当年产量为多少时,该公司所获年利润最大
10.(2022山西太原期末)已知函数f(x)=lnx-x2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤(a-2)x恒成立,求实数a的取值范围.
易错点6　混淆极值与最值致错
11.(2022黑龙江双鸭山期末)已知曲线y=f(x)=在点(1,f(1))处的切线的斜率为3,且当x=3时,函数f(x)取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[0,3]上的极值和最小值.
思想方法练
一、分类讨论思想在利用导数解决函数问题中的应用
1.(2022江西吉安期末)已知函数f(x)=-2a2lnx+x2+ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
2.(2023湖南怀化期末)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
二、转化与化归思想在利用导数解决函数问题中的应用
3.(2023浙江舟山中学期末)若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2]　　　　　B. C.　　　　　D.(-2,+∞)
4.(2023湖南邵阳一中期末)若不等式ex+a≥lnx-a恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,+∞)　　　　　B.[-1,+∞) C.　　　　　D.[-e,+∞)
5.(2022河南名校联盟顶尖计划考试)已知函数f(x)=x+aex-1(a∈R),g(x)=xex-2x-2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)的极大值为-2,求证:f(lnx)≤g(x).
三、数形结合思想在利用导数解决函数问题中的应用
6.(2023湖南长沙雅礼中学月考)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且对任意的实数x都有f'(x)=e-x(2x+3)-f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=1,若关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是(　　)
A.[-e,0)　　　　　B.[-e2,0)
C.(-e,0]　　　　　D.(-e2,0]
7.已知函数f(x)=mxlnx,m∈R,且f(x)的最小值为-.
(1)求实数m的值;
(2)若a∈R,讨论关于x的方程f(x)-ax2=0的解的个数.
答案与分层梯度式解析
第五章　一元函数的导数及其应用
本章复习提升
易混易错练
1.答案　4
解析　由已知得
=2=2f'(x0)=4.
易错警示　利用导数的定义求函数的导数时,要注意定义的形式,Δy是函数值的差,Δx是相应自变量的差,要保证Δx,Δy中变量的对应.
2.答案　3
解析　由=2,
可得=3,则f'(1)=3,
由已知得f'(x)=2ax+,
所以f'(1)=2a+1=3,解得a=1,
所以f'(x)=2x+,则f'=3.
易错警示　利用导数的定义求函数的导数,要注意定义的形式,本题中并不是f'(1),需要转化为才符合导数的定义.
3.答案　y=2x-8;(1,-5)或(-1,-11)
解析　由题意得f'(x)=3x2+2,当x=0时,f'(0)=2,所以切线l1的斜率k=2,由点斜式方程可求得切线l1的方程为y-(-8)=2(x-0),整理得y=2x-8.
由直线l3的斜率为-,得切线l2的斜率为5,令f'(x)=3x2+2=5,解得x=±1,易求得f(1)=-5,f(-1)=-11,故切点坐标为(1,-5)或(-1,-11).
4.答案　6x-y+3=0或3x-2y+6=0
解析　设切点坐标为(x0,2(x0+1)3+1).
易得f'(x)=6(x+1)2,
∴切线斜率k=f'(x0)=6(x0+1)2,
∴切线方程为y-[2(x0+1)3+1]=6(x0+1)2(x-x0).
∵切线过点P(0,3),∴3-[2(x0+1)3+1]=6(x0+1)2·(-x0),即(x0+1)3-3x0(x0+1)2=1,即-2=0,∴x0=0或x0=-,
∴过点P(0,3)的曲线y=f(x)的切线方程为6x-y+3=0或3x-2y+6=0.
易错警示　求曲线的切线方程时,要看清是求“曲线在某点处的切线方程”,还是求“曲线过某点的切线方程”,前者所求得的切线有且只有一条,此点恰好为切点,而后者所求得的切线有一条或多条,此点可能是切点,也可能不是切点.
5.答案　0
解析　由已知得F(x)=f(x3-1)+f(1-x3)在R上可导,
所以F'(x)=3x2f'(x3-1)-3x2f'(1-x3),则F'(1)=3f'(0)-3f'(0)=0.
易错警示　求复合函数的导数时,要注意看函数是由哪些基本初等函数复合而成的,再利用复合函数的求导法则进行计算.
6.答案　
解析　依题意得y'=e-2x×(-2)=-2e-2x,
当x=0时,y'=-2e-2×0=-2,
故曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.
在平面直角坐标系中画出直线y=-2x+2和y=x,如图所示,
易知直线y=-2x+2与y=x的交点A的坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点B的坐标是(1,0),
故直线y=0,y=x和y=-2x+2所围成的三角形AOB的面积等于.
7.BCD　易得f'(x)=3x2+2ax+b.
由题意得即
解得或
当时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,当且仅当x=1时取“=”,此时函数f(x)在R上单调递增,无极值,不符合题意;
当时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),当x<-或x>1时,f'(x)>0,当-所以a+b=-7,故A不正确,B正确.显然f(x)一定有两个极值点,一定存在单调递减区间,故C,D正确.故选BCD.
易错警示　若f'(x0)存在,则“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.可导函数的极值点一定是导数为零的点,而在某点处导数为零仅是该点为极值点的必要条件,其充要条件是该点两侧附近的导数异号.
8.答案　(-∞,0]
解析　由题意得,f'(x)=x+2-≥0在(0,+∞)上恒成立,即2a≤x2+2x在(0,+∞)上恒成立.当x>0时,x2+2x>0,
∴2a≤0,解得a≤0,故实数a的取值范围为(-∞,0].
易错警示　设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,(1)若f'(x)>0,则f(x)在此区间内单调递增,若函数f(x)在此区间内单调递增,则f'(x)≥0;(2)若f'(x)<0,则f(x)在此区间内单调递减,若函数f(x)在此区间单调递减,则f'(x)≤0.
9.解析　(1)依题意得,
W=
(2)设f(x)=-x3+8.1x-10,0≤x≤10,则f'(x)=-x2+8.1.
令f'(x)=0,得x=9或x=-9(舍去).
当0≤x<9时,f'(x)>0;当9故当x=9时,f(x)取得最大值,为38.6.
当x>10时,<38.6.
综上可知,当年产量为9万件时,该公司所获年利润最大.
易错警示　利用导数解决实际问题时,不能忽视实际问题中函数的定义域.
10.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(x>0),
令f'(x)>0,得1-2x2>0,所以0令f'(x)<0,得1-2x2<0,所以x>,则f(x)的单调递减区间为.
(2)f(x)≤(a-2)x恒成立等价于a-2≥恒成立,设h(x)=,则h'(x)=,
设m(x)=1-x2-lnx,则m'(x)=-2x-(x>0),易知m'(x)<0,
∴m(x)在(0,+∞)上单调递减,
又∵m(1)=0,∴当x∈(0,1)时,m(x)>0,即h'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,m(x)<0,即h'(x)<0,
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴h(x)在x=1处取得极大值,也是最大值,
∴h(x)≤h(1)=-1,∴a-2≥-1,∴a≥1,故a的取值范围是[1,+∞).
易错警示　利用导数求函数f(x)的单调区间,要先求函数的定义域D,再求导数f'(x),进而解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)得到解集P,定义域与不等式解集的交集D∩P才是函数的单调递增(减)区间.
11.解析　(1)f'(x)=x2+2ax+b,
结合题意可得
解得故f(x)=.
(2)由(1)知f'(x)=x2-.
令f'(x)>0,解得x>3或x<,
令f'(x)<0,解得故f(x)在上单调递增,在上单调递减,
故f(x)在[0,3]上有极大值,无极小值,且f(x)极大值=f,又f(0)=,f(3)=,故f(x)在[0,3]上的最小值是.
易错警示　求函数的最大(小)值时,要将函数的各极值与端点处的函数值进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.函数没有极小值时不一定没有最小值,解题时要正确区分极值与最值.
思想方法练
3.D 4.B 6.C
1.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-.
令f'(x)=0,得x=a或x=-2a.
方程f'(x)=0的解含有参数,应考虑解是否在函数的定义域内,需要对解与0的大小关系进行分类讨论.
当a=0时,f'(x)=x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,令f'(x)>0,得x>a,令f'(x)<0,得0当a<0时,令f'(x)>0,得x>-2a,令f'(x)<0,得0(2)当a=0时,f(x)=x2>0,所以a=0符合题意;
当a>0时,由(1)知f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
要使f(x)≥0恒成立,则f(x)min=f(a)=-2a2lna+a2+a2≥0,解得0当a<0时,由(1)知f(x)在(0,-2a)上单调递减,在(-2a,+∞)上单调递增,
要使f(x)≥0恒成立,则f(x)min=f(-2a)=-2a2·ln(-2a)+(-2a)2-2a2≥0,解得-≤a<0.
综上所述,实数a的取值范围是.
2.解析　(1)易得f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)·(2ex+1).
结合(aex-1)(2ex+1)=0是否有解对a进行分类讨论.
①若a≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
②若a>0,令f'(x)=0,得x=-lna.
当x∈(-∞,-lna)时,f'(x)<0;当x∈(-lna,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.
(2)若a≤0,由(1)知f(x)至多有一个零点.
若a>0,由(1)知当x=-lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(-lna)=1-+lna.
结合函数f(x)的大致图象,根据f(-lna)=1-+lna与0的关系进行分类讨论.
当a=1时,f(-lna)=0,故f(x)只有一个零点.
当a∈(1,+∞)时,f(-lna)>0,故f(x)没有零点.
当a∈(0,1)时,f(-lna)<0,又f(-2)=ae-4+(a-2)·e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x)在(-∞,-lna)上有一个零点.设正整数n0>ln,则f(n0)=-n0>0.由于ln>-lna,所以f(x)在(-lna,+∞)上有一个零点.故f(x)在R上有两个零点,满足题意.
综上,实数a的取值范围为(0,1).
思想方法　利用分类讨论思想解题的一般步骤:(1)确定分类标准;(2)恰当分类;(3)逐类讨论;(4)归纳总结.在本章中,求单调区间、参数的取值范围、极值、最值以及解决恒成立(或有解)的问题时,往往需要用到分类讨论思想.
3.D　将函数f(x)在区间内存在单调递增区间转化为其导函数大于0在上有解.
由题意得f'(x)=+2ax>0在区间上有解,即2a>-在区间上有解,
令g(x)=-,x∈,易知函数g(x)在上单调递增,所以g(x)>g=-4,
所以2a>-4,解得a>-2.故选D.
4.B　由ex+a≥lnx-a,得ex+a+a+x≥lnx+x,即ex+a+a+x≥elnx+lnx.
构造函数,将问题转化为求函数的最值问题.
构造f(x)=ex+x,易知f(x)在R上单调递增,∴x+a≥lnx,∴a≥lnx-x.
令g(x)=lnx-x(x>0),则g'(x)=,
令g'(x)>0,得01,此时函数g(x)单调递减,
∴g(x)max=g(1)=-1,∴a≥-1.故选B.
5.解析　(1)由f(x)=x+aex-1,得f'(x)=1+aex.
当a≥0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增;
当a<0时,令f'(x)>0,得x<-ln(-a),令f'(x)<0,得x>-ln(-a),
所以函数f(x)在(-∞,-ln(-a))上单调递增,在(-ln(-a),+∞)上单调递减.
综上可知,当a≥0时,f(x)在R上单调递增;
当a<0时,f(x)在(-∞,-ln(-a))上单调递增,在(-ln(-a),+∞)上单调递减.
(2)证明:由(1)及题意知a<0,且当x=-ln(-a)时,f(x)取得极大值-2,
所以f(-ln(-a))=-ln(-a)+ae-ln(-a)-1=-2,解得a=-1,则f(x)=x-ex-1.
要证f(lnx)≤g(x),即证xex-x-lnx-1≥0.
通过构造函数,将证明不等式成立的问题转化为求函数的单调性与最值问题.
令F(x)=xex-x-lnx-1,则F'(x)=(x+1)ex-,x>0.
令G(x)=(x+1)(x>0),
易知G(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为G(1)=2(e-1)>0,G-2)<0,
所以 x0∈,使得G(x0)=0,即,
所以当x∈(0,x0)时,G(x)<0,即F'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,G(x)>0,即F'(x)>0,
所以F(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以F(x)min=F(x0)=x0-x0-lnx0-1,
又因为,即x0=-lnx0,
所以F(x)min=1-x0+x0-1=0,
所以F(x)≥0,即xex-x-lnx-1≥0,
所以f(lnx)≤g(x).
思想方法　转化与化归思想在用导数解决函数问题中常见的运用:将含参问题转化为不含参问题,将函数的单调性问题转化为不等式恒(能)成立问题,将不等式恒(能)成立及方程问题转化为函数的最值问题等.
6.C　由f'(x)=-f(x),得ex[f'(x)+f(x)]=2x+3,得[exf(x)]'=2x+3,
所以exf(x)=x2+3x+c,所以f(x)=.
因为f(0)=1,所以f(0)==c=1,所以f(x)=,
所以f'(x)=.
令f'(x)>0,得-2令f'(x)<0,得x<-2或x>1,此时f(x)单调递减,
所以当x=1时,f(x)取得极大值,为f(1)=,
当x=-2时,f(x)取得极小值,为f(-2)=-e2<0,
又f(-1)=-e<0,f(0)=1>0,f(-3)=e3>0,且x>1时,f(x)>0,
所以f(x)的图象如图所示.
将f(x)-m<0的解集中恰有两个整数转化为f(x)=
的图象在直线y=m下方的部分只有2个横坐标为整数的点,结合图象列关系式求解.
结合函数图象可得f(-1)故实数m的取值范围是(-e,0].故选C.
7.解析　(1)设g(x)=xlnx,则g'(x)=lnx+1.
令g'(x)=0,得x=,
当x∈时,g'(x)<0,当x∈时,g'(x)>0,所以函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以g(x)min=g,所以m=1.
(2)由(1)知f(x)=xlnx,f(x)-ax2=0,即xlnx=ax2,因为x>0,所以=a,
设h(x)=,则h'(x)=,
令h'(x)=0,得x=e,
当x∈(0,e)时,h'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,所以函数h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(e)=,由h(1)=0,且当x>1时,h(x)>0,当x→+∞时,h(x)→0,可画出函数y=h(x)的图象,如图,
利用导数研究函数h(x)的性质,从而得到h(x)的图象,借助图象直观求解.
所以当a>时,原方程无解;当a=或a≤0时,原方程有1个解;当0思想方法　在本章中,利用导数的几何意义解题、研究函数的单调性与极值、求函数的零点或方程的根的个数问题等,往往都会利用数形结合思想,借助相应函数的图象直观求解.
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