2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--全书综合测评(二)

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
全书综合测评(二)
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.过曲线y=cosx上一点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的方程为(　　)
A.2x-=0 B.-1=0
C.2x-=0 D.+1=0
2.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且4a1,2a3,a5成等差数列,则a1=(　　)
A.5-5 B.5+5 C.5 D.5
3.《九章算术》是我国重要的数学典书,曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一,其中的“竹九节”问题的题意是:有一根竹子,共九节,各节的容积成等差数列,已知较粗的下3节共容4升,较细的上4节共容3升,则各节容积的总和是(　　)
A. B. C. D.
4.已知函数f(x)=x2+alnx的图象在点(1,f(1))处的切线经过坐标原点,则函数f(x)的最小值为(　　)
A.ln2 B.+ln2 C.ln2 D.1
5.已知f(x)=x2+lnx+mx-1在区间(1,2)上单调递增,则实数m的取值范围是(　　)
A.m≥-4 B.m>-4 C.m>-3 D.m≥-3
6.线性分形又称为自相似分形,其图形的结构在几何变换下具有不变性,通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如图所示,若图1中正六边形的边长为1,周长与面积分别记为a1,S1,图2中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为a2,S2,……,以此类推,图n中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为an,Sn,其中图n中每个正六边形的边长是图(n-1)中每个正六边形边长的,则下列说法正确的是(　　)
A.图4中共有294个正六边形 B.a3=
C.Sn= D.存在正数m,使得an≤m恒成立
7.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且3f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.f(1)e3f(0) D.f(1)>e2f(0)
8.已知数列{an}满足a1=,an=1+lnan+1(n∈N*),记Tn为数列{an}的前n项积,则(　　)
A.T9∈ B.T9∈ C.T9∈ D.T9∈
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知数列{an}是等比数列,则下列结论中正确的是(　　)
A.数列{}是等比数列
B.若a3=2,a7=32,则a5=±8
C.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1
D.若a110.已知数列{an}的首项为4,且满足2(n+1)an-nan+1=0(n∈N*),则(　　)
A.为等差数列 B.{an}为递增数列
C.{an}的前n项和Sn=(n-1)×2n+1+4 D.的前n项和Tn=
11.关于函数f(x)=ex+sinx,x∈(-π,+∞),下列结论正确的有(　　)
A.f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.f(x)存在唯一的极小值点
C.f(x)在(-π,+∞)上有一个零点
D.f(x)在(-π,+∞)上有两个零点
12.已知函数f(x)=x(ex+1),g(x)=(x+1)lnx,则(　　)
A.函数f(x)在R上无极值
B.函数g(x)在(0,+∞)上存在唯一极值点
C.若对任意x>0,不等式f(ax)≥f(lnx2)恒成立,则实数a的最大值为
D.若f(x1)=g(x2)=t(t>0),则的最大值为
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x)=x3-mx2+mx+9在R上无极值,则实数m的取值范围为　　　　.
14.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,,1,…,其中第一项是1,接下来的两项依次是,1,再接下来的三项依次是,1,……,依此类推,若该数列的前n项和大于46,求满足条件的正整数n的最小值.那么该款软件的激活码是　　　　.
15.已知f(x)=ex-e-x-sin2x,单调递增的等差数列{an}满足f(a2-3)≤0,f(4a1)+f(7-a2)≥0,则a3的取值范围是　　　　.
16.若函数f(x)=x4-6x3+rx2-6x+1在(0,3]上有且仅有三个零点,则实数r的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设函数f(x)=ex(ax2+bx-3),且f()=0,f'(0)=-3.
(1)求实数a+b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
18.(12分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足ai,证明:bn≤1,1++…+≤n.
19.(12分)已知函数f(x)=x3-3x+a,g(x)=sinx-x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若 x1≥0,x2≥0,f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.
20.(12分)已知数列{an}中,a1=1,an>0,其前n项和为Sn,且an=(n∈N*,且n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记cn=an·,求数列{cn}的前n项和Tn.
21.(12分)已知函数f(x)=xex,g(x)=kx2.
(1)求函数f(x)的值域;
(2)设F(x)=f(x)-g(x),当x>0时,函数F(x)有两个零点,求实数k的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)满足f(x)=e2x-2+x2-2f(0)x,g(x)=fx2+(1-a)x+a,其中a∈R.
(1)讨论函数g(x)的单调性;
(2)若实数x,y,m满足|x-m|≤|y-m|,则称x比y更接近m,当a≥2且x≥1时,试比较和ex-1+a哪个更接近lnx,并说明理由.
答案全解全析
1.A 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C
7.A 8.C 9.AD 10.BD 11.ABD 12.AD
1.A　y'=-sinx,故曲线在点P处的切线斜率为y'=-sin,∴与切线垂直的直线的斜率为,∴所求的直线方程为y-,即2x-=0.故选A.
2.A　设等比数列{an}的公比为q,则q>0,an>0,
由题意可得即
所以故选A.
3.A　记竹子每节的容积从下到上构成等差数列{an},公差为d,其前n项和为Sn,其中n≤9,n∈N*,则即解得所以S9=9×.
4.C　由f(x)=x2+alnx,得f'(x)=2x+,∴f'(1)=2+a,
又f(1)=1,∴函数f(x)=x2+alnx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=(2+a)·(x-1),
把(0,0)代入,可得-1=-2-a,解得a=-1.
∴f(x)=x2-lnx,f'(x)=2x-,
易知f(x)的定义域为(0,+∞).
当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,
∴f(x)在上单调递减,在上单调递增,
∴f(x)min=fln2.故选C.
5.D　由题意得f'(x)=2x++m≥0在区间(1,2)上恒成立,
即m≥-在区间(1,2)上恒成立.
设h(x)=-,x∈(1,2),则h'(x)=-2+<0,所以函数h(x)在(1,2)上单调递减,所以h(x)6.C　对于A,易知图1至图n中正六边形的个数构成以1为首项,7为公比的等比数列,故图4中共有73=343个正六边形,A不正确;
对于B,易知图n中每个正六边形的边长为,所以an=6×,则a3=,B不正确;
对于C,由图n中每个正六边形的边长为,可得图n中每个正六边形的面积为,所以Sn=,C正确;
对于D,易知数列{an}是公比大于1的递增数列,所以不存在正数m,使得an≤m恒成立,D不正确.
故选C.
7.A　构造函数g(x)=,则g'(x)=.
因为3f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,所以g'(x)<0在R上恒成立,
所以函数g(x)在R上单调递减,所以g(1)即f(1)8.C　因为an=1+lnan+1,所以an+1=.
下面用数学归纳法证明n∈N*时,0当n=1时,a1=,结论成立;
假设n=k(k∈N*,k≥1)时,结论成立,即0那么当n=k+1时,ak+1=,ak+1>0显然成立,
因为0所以当n=k+1时,结论也成立.
综上所述,0记函数f(x)=lnx-(x-1)(0因为00,所以f(x)在(0,1)上单调递增,
所以f(x)所以数列{an}为递增数列,所以≤an<1.
记g(x)=lnx-(0则g'(x)=>0,
所以g(x)在(0,1)上单调递增,所以g(x)即lnx<在(0,1)上恒成立,
所以an-1=lnan+1<,所以,
所以>1,则>1,……,>1,由累加法得>(n-1)×1,将a1=代入,得>n+3,所以an>1-,
所以T9=a1×a2×…×a9>×…×,即T9>.
记h(x)=lnx-(0h(1)=0,即lnx>在(0,1)上恒成立.
所以an-1=lnan+1>,所以1-an<,
所以an+1<,
所以T9=a1×a2×…×a9<×…×=2(1-a9)2,
因为an>,所以综上所述,.故选C.
9.AD　设等比数列{an}的公比为q,则=q2,为常数,故A正确.
由题意得=q4=16,即q2=4,所以a5=a3q2=2×4=8,故B错误.
易得a1=S1=1+r,a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2,a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6,因为a1,a2,a3成等比数列,所以=a1a3,即4=6(1+r),解得r=-,故C错误.
若01,数列{an}是递增数列;
若a110.BD　由2(n+1)an-nan+1=0得,所以是以=4为首项,2为公比的等比数列,故A错误;
易得=4×2n-1=2n+1,所以an=n×2n+1,显然{an}为递增数列,故B正确;
易得Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1,2Sn=1×23+2×24+…+(n-1)×2n+1+n×2n+2,
所以-Sn=22+23+…+2n+1-n×2n+2=-n×2n+2=(1-n)·2n+2-4,故Sn=(n-1)×2n+2+4,故C错误;
因为=n,所以的前n项和Tn=,故D正确.故选BD.
11.ABD　由f(x)=ex+sinx,得f'(x)=ex+cosx,
当x>0时,ex>1,故f'(x)>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增,故A正确.
当x∈(-π,+∞)时,在同一平面直角坐标系中作出y=ex和y=-cosx的图象,如图所示:
由图易知存在x0∈,使得=-cosx0,
故当x∈(-π,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)存在唯一的极小值点,故B正确.
当x>0时,ex>1,-1≤sinx≤1,故f(x)>0,
当x=0时,f(0)=1+0=1,
当-π易知函数y=ex和y=-sinx的图象在(-π,0)上有两个交点,
故f(x)在(-π,+∞)上有两个零点,故C错误,D正确.故选ABD.
12.AD　f'(x)=ex(x+1)+1,易得f'(x)>0,所以函数f(x)在R上单调递增,无极值,A正确.
g'(x)=lnx++1,令h(x)=lnx++1(x>0),则h'(x)=(x>0),
当01时,h'(x)>0,h(x)单调递增,即g'(x)单调递增,故g'(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,则g'(x)≥g'(1)=2>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点,B错误.
因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以原不等式可转化为ax≥lnx2(x>0)恒成立,即a≥在(0,+∞)上恒成立.令φ(x)=(x>0),则φ'(x)=.当x∈(0,e)时,φ'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,φ'(x)<0,所以当x=e时,φ(x)取得极大值,也是最大值,即φ(x)max=φ(e)=,所以a≥,故实数a的最小值为,C错误.
f(x1)=g(x2)=t(t>0) f(x1)=f(lnx2)=t(t>0),因为函数f(x)在R上单调递增,所以x1=lnx2,故,易得,D正确.故选AD.
13.答案　[0,1]
解析　由题意得f'(x)=x2-2mx+m在R上无变号零点,所以Δ=4m2-4m≤0,解得0≤m≤1.
14.答案　83
解析　由题意得该数列的前1+2+…+k=项和S=1++…++…+,令>46,易得当k=12时,=45,则k≥13,
因为>1,
所以满足条件的最小正整数n=+5=83.
故该款软件的激活码为83.
15.答案　
解析　易得f'(x)=ex+e-x-2cos2x≥2-2cos2x≥0,所以f(x)在R上单调递增,又f(0)=0,所以f(a2-3)≤0,等价于f(a2-3)≤f(0),所以a2-3≤0,解得a2≤3,所以a1+a3≤6.①
易知f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex+sin2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,
所以f(4a1)+f(7-a2)≥0,即f(4a1)≥f(a2-7),所以4a1≥a2-7.
所以8a1≥a1+a3-14,即7a1≥a3-14.②
由①②得42+7a1≥7a1+7a3+a3-14,解得a3≤7.
因为{an}是单调递增数列,所以a3>a2>a1,所以4a2>4a1≥a2-7,所以a2>-,所以a3>a2>-,所以a3的取值范围是.
16.答案　
解析　令f(x)=0,得-rx2=x4-6x3-6x+1,即-r=x2-6x-.令t=x+,则t2=x2++2,故-r=t2-6t-2.
当x∈(0,3]时,t∈[2,+∞),且当2时,每个t对应一个x.
令g(t)=t2-6t+r-2.
若t1∈,t2=2为g(t)的零点,则g(2)=4-12+r-2=0,解得r=10,所以g(t)=t2-6t+8=(t-2)(t-4),此时t1=4 ;
若t1∈,t2∈为g(t)的零点,注意到g(t)的图象的对称轴方程为t=3<,故t1≠,因为若t1=,则t2=6- ,不符合,
故t1∈,t2∈,所以g(2)=r-10>0,且g<0,所以10综上,实数r的取值范围为.
17.解析　(1)易得f'(x)=ex[ax2+(b+2a)x+b-3].(2分)
由题意得解得(4分)
所以a+b=1.(5分)
(2)由(1)得f(x)=ex(x2-3),所以f'(x)=ex(x2+2x-3).(6分)
令f'(x)>0,得x<-3或x>1;令f'(x)<0,得-3所以f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,(8分)
所以当x=-3时,f(x)取得极大值,为f(-3)=;当x=1时,f(x)取得极小值,为f(1)=-2e.(10分)
18.解析　(1)由题意得an≠0,所以由an+1=,得,即=1,又a1=1,所以=1,所以数列是以=1为首项,1为公差的等差数列.(2分)
所以=1+(n-1)×1=n,即an=.(4分)
(2)证明:由ai可知,
b1+b2+…+bn=a1+a2+…++…+,(6分)
所以b1+b2+…+bn-1=a1+a2+…++…+(n≥2),(8分)
两式相减,得bn=+…++…+=1.(10分)
当n=1时,b1=1,所以bn≤1.1++…+=b1+b2+…+bn≤1+1+1+…+1=n.(12分)
19.解析　(1)f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
令f'(x)>0,解得x>1或x<-1,令f'(x)<0,解得-1当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可知,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).(4分)
(2)依题意有f(x)min≥g(x)max,(5分)
由(1)知当x≥0时,f(x)在[0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(1)=a-2.(7分)
由g(x)=sinx-x,得g'(x)=cosx-1≤0,故g(x)在[0,+∞)上单调递减,
所以当x≥0时,g(x)max=g(0)=0.(9分)
∴a-2≥0,解得a≥2.故实数a的取值范围为[2,+∞).(12分)
20.解析　(1)在数列{an}中,易知an=Sn-Sn-1(n≥2)①,
∵an=(n≥2)②,且an>0,
∴由①②得=1(n≥2),
∴数列{}是以=1为首项,1为公差的等差数列,(2分)
∴=1+(n-1)×1=n,∴Sn=n2.(3分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,a1=1,也满足上式,(5分)
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*.(6分)
(2)由(1)知an=2n-1,∴cn=(2n-1)·22n-1,
则Tn=1×2+3×23+5×25+…+(2n-3)×22n-3+(2n-1)×22n-1,
4Tn=1×23+3×25+5×27+…+(2n-3)×22n-1+(2n-1)×22n+1,(8分)
∴-3Tn=2+2×(23+25+…+22n-1)-(2n-1)×22n+1
=2+2×·22n+1,(10分)
∴Tn=.(12分)
21.解析　(1)易得f'(x)=(1+x)·ex.
令f'(x)=0,得x=-1,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增.(2分)
所以f(x)min=f(-1)=-e-1=-,f(x)的值域为.(4分)
(2)由题意得F(x)=xex-kx2=x(ex-kx),x>0.
令h(x)=ex-kx,x>0,则F(x)有两个零点等价于h(x)有两个零点.(5分)
易得h'(x)=ex-k.
当k∈(-∞,1]时,h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(0)=1,所以h(x)在(0,+∞)上没有零点,即F(x)在(0,+∞)上没有零点,不符合题意.(7分)
当k∈(1,+∞)时,令h'(x)=0,得x=lnk,当x∈(0,lnk)时,h'(x)<0,当x∈(lnk,+∞)时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,lnk)上单调递减,在(lnk,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(lnk)=k-k·lnk.
因为h(x)在(0,+∞)上有两个零点,所以h(lnk)=k-k·lnk<0,所以k>e.(9分)
易得h(0)=1>0,h(lnk2)=k2-k·lnk2=k(k-2lnk),
对于函数y=x-2lnx,y'=1-,
当x∈(0,2)时,y'<0,函数y=x-2lnx单调递减;
当x∈(2,+∞)时,y'>0,函数y=x-2lnx单调递增,
所以y=x-2lnx≥2-2ln2=lne2-ln4>0,所以h(lnk2)=k(k-2lnk)>0.
所以存在x1∈(0,lnk),x2∈(lnk,lnk2),使h(x1)=h(x2)=0,
所以当k>e时,h(x)在(0,+∞)上有两个零点,即F(x)有两个零点.(11分)
综上,实数k的取值范围是(e,+∞).(12分)
22.解析　(1)对于f(x)=e2x-2+x2-2f(0)x,令x=0,得f(0)=·e-2①,
易得f'(x)=f'(1)e2x-2+2x-2f(0),令x=1,得f'(1)=f'(1)+2-2f(0)②.
联立①②,得f(0)=1,f'(1)=2e2,所以f(x)=e2x+x2-2x.(2分)
所以g(x)=fx2+(1-a)x+a=ex-ax+a,所以g'(x)=ex-a.
当a≤0时,g'(x)>0,g(x)在R上单调递增;
当a>0时,g'(x)>0 x>lna,g'(x)<0 x所以g(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.(4分)
(2)设u(x)=-lnx(x≥1),则u'(x)=-<0,所以u(x)在[1,+∞)上单调递减,
又u(e)=0,所以当1≤x0;当x≥e时,u(x)≤0.(5分)
设v(x)=ex-1+2-lnx(x≥1),则v'(x)=ex-1-,令h(x)=ex-1-,则h'(x)=ex-1+>0,所以v'(x)在[1,+∞)上单调递增,又v'(1)=0,所以v'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,所以v(x)在[1,+∞)上单调递增.
结合v(1)=3>0可得v(x)>0恒成立,因为a≥2,所以ex-1+a-lnx≥ex-1+2-lnx=v(x)>0.(7分)
当1≤x设φ(x)=-ex-1-a(1≤x因为φ(1)=e-1-a≤e-3<0,所以φ(x)<0,即-|ex-1+a-lnx|<0,故<|ex-1+a-lnx|.(9分)
当x≥e时,-|ex-1+a-lnx|=-+lnx-ex-1-a+lnx=--ex-1+2lnx-a.
设r(x)=--ex-1+2lnx-a(x≥e),则r'(x)=,令s(x)=,则s'(x)=-<0,
所以r'(x)在[e,+∞)上单调递减,又r'(e)=-ee-1<0,所以r'(x)<0在[e,+∞)上恒成立,所以r(x)在[e,+∞)上单调递减,因为r(e)=-1-ee-1+2-a=1-a-ee-1<0,所以r(x)<0在[e,+∞)上恒成立,即-|ex-1+a-lnx|<0,所以<|ex-1+a-lnx|.(11分)
综上,当a≥2且x≥1时,恒有<|ex-1+a-lnx|,所以比ex-1+a更接近lnx.(12分)
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