2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--全书综合测评(一)

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
全书综合测评(一)
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知函数f(x)=alnx+2,f'(e)=2,则a的值为(　　)
A.2e B.1 C.0 D.e2
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S7=21,a2=5,则公差为(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),a1·a5+2a3·a5+a2·a8=25,且a3与a5的等比中项为2,在数列{bn}中,bn=log2an,其前n项和为Sn,则当+…+最大时,n=(　　)
A.8 B.8或9 C.16或17 D.17
4.如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该三次函数的解析式为　(　　)
A.y=x2-2x B.y=x2-3x
C.y=x3-x D.y=x2-x
5.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,且(3n+2)Tn=(2n+1)·Sn,则=(　　)
A. B. C. D.
6.如图,已知最底层正方体的棱长为a,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,若图中的正方体有无数个,则所有这些正方体的体积之和将趋近于(　　)
A.a3 B.2a3 C.(2+)a3 D.a3
7.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则实数a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
8.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),当a>3时,不等式f(-k-sinθ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,则θ的可能取值是(　　)
A.- B. C.- D.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.若数列{an}满足a1=2,an+an+1=3n(n∈N*),其前n项和为Sn,则下列结论正确的有(　　)
A.a2022=3031 B.a2n-1=3n-1 C.an+1-an=1 D.S2n=3n2
10.关于函数f(x)=+lnx,下列说法正确的是(　　)
A.f(1)是f(x)的极大值
B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点
C.f(x)在(0,1)上单调递减
D.设g(x)=xf(x),则g)
11.定义:在区间I上,若函数y=f(x)单调递减,且y=xf(x)单调递增,则称y=f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得(　　)
A.f(x)=在(0,+∞)上是“弱减函数”
B.f(x)=在(1,2)上是“弱减函数”
C.若f(x)=在(m,+∞)上是“弱减函数”,则m≥e
D.若f(x)=cosx+kx2在上是“弱减函数”,则≤k≤
12.已知数列{an}满足a1=1,a1++…+,令bn=·,则(　　)
A.a10=100
B.数列{bn}是等差数列
C.b2021为整数
D.数列的前2022项和为4044
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=an-,则a21=　　　　.
14.若x2≥a2+2ln(a>0)恒成立,则a=　　　　.
15.已知数列{an}满足: n∈N*,有an∈,且a1=.f(an+1)=,其中f(x)=tanx,若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,则T120=　　　　.
16.已知f(x)=x2+bx+c有极小值点-1,设bn=,若对于任意的n∈N*,都有bn≥b4成立,则实数c的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(12分)已知函数f(x)=x+lnx.
(1)求曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程;
(2)若曲线f(x)在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点,求a的值.
19.(12分)在①a1=1且an+1=Sn+1,Sn为数列{an}的前n项和;②a1=1且=an(8an-2an+1)这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知正项数列{an}满足　　　　,bn=.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足cn=,且{cn}的前n项和为Tn,求证:n≤Tn注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答给分.
20.(12分)已知函数f(x)=ax2+(a-1)x+1,a为实数.
(1)当a≤2时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间[1,5]上单调递减,求a的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)=ex,曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线为y=g(x).
(1)证明: x∈R,f(x)≥g(x);
(2)当x≥0时,f(x)≥1+恒成立,求实数a的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=e2x-2(e+1)ex+2ex.
(1)若函数g(x)=f(x)-a有三个零点,求a的取值范围;
(2)若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x10.
答案全解全析
1.A 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D
7.D 8.D 9.ABD 10.BCD 11.BCD 12.ABD
1.A　易知f'(x)=,所以f'(e)==2,故a=2e.故选A.
2.B　由S7=a1+a2+…+a7=7a4=21,得a4=3,所以公差为=-1.
故选B.
3.B　∵a1·a5+2a3·a5+a2·a8=25,∴+2a3·a5+=25,即(a3+a5)2=25,又an>0,∴a3+a5=5,又q∈(0,1),∴a3>a5,
由等比中项的性质得a3·a5=4,∴a3=4,a5=1,
∴q=,
∴当n≤8时,>0,当n=9时,=0,当n>9时,<0,
∴当+…+最大时,n的值为8或9.故选B.
4.D　由题中函数图象知,该三次函数图象在点(0,0)处与直线y=-x相切,在点(2,0)处与直线y=3x-6相切.
A中,y'=x2+x-2,y'|x=0=-2,与该三次函数图象在点(0,0)处的切线斜率为-1矛盾,故A不符合题意;
B中,y'=x2+x-3,y'|x=0=-3,与该三次函数图象在点(0,0)处的切线斜率为-1矛盾,故B不符合题意;
C中,y'=x2-1,y'|x=0=-1,y'|x=2=2,与该三次函数图象在点(2,0)处的切线斜率为3矛盾,故C不符合题意;
D中,y'=x2-x-1,y'|x=0=-1,y'|x=2=3,故D符合题意.
故选D.
5.A　因为(3n+2)Tn=(2n+1)Sn,所以可设Sn=An(3n+2),Tn=An(2n+1),其中A为非零常数.
对于Sn=An(3n+2)=3An2+2An,
当n=1时,a1=S1=5A;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3An2+2An)-[3A(n-1)2+2A(n-1)]=6An-A,
n=1时上式仍成立,故an=6An-A.
同理,bn=4An-A.
所以.故选A.
6.D　由题意可知,最底层正方体上面第一个正方体的棱长为a,其体积为,
上面第二个正方体的棱长为a,其体积为,
上面第三个正方体的棱长为a,其体积为,
……
所以这些正方体的体积构成首项为a3,公比为的等比数列,
设其前n项和为Sn,则Sn=a3,当n→+∞时,→0,
所以所有这些正方体的体积之和将趋近于a3.故选D.
7.D　令g(x)=ex(2x-1),则g'(x)=ex(2x+1).
令g'(x)>0,得x>-,令g'(x)<0,得x<-,
故函数g(x)在上单调递减,在上单调递增.
又当x<时,g(x)<0,当x>时,g(x)>0,所以函数g(x)的大致图象如图所示.
易知直线y=ax-a过点(1,0).
若a≤0,则f(x)<0的整数解有无穷多个,因此只能a>0.
结合函数图象可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,则x0只能是0,故实数a应满足即解得≤a<1.
故实数a的取值范围是.
8.D　由f(x)=-x(x-a)2,得f'(x)=-(3x-a)(x-a),
令f'(x)=0,得x=或x=a,当a>3时,所以f(x)在,[a,+∞)上单调递减,在上单调递增,
又当a>3时,>1,所以f(x)在(-∞,1]上单调递减.
又k∈[-1,0],sinθ∈[-1,1],所以-2≤-k-sinθ-1≤1,-1≤k2-sin2θ≤1,
由不等式f(-k-sinθ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,得-k-sinθ-1≤k2-sin2θ,即sin2θ-sinθ-1≤k2+k=对任意的k∈[-1,0]恒成立,
所以sin2θ-sinθ-1≤-恒成立,
所以-≤sinθ≤1,
结合选项知,θ的可能取值是.故选D.
9.ABD　因为an+an+1=3n①,所以当n≥2,n∈N*时,有an-1+an=3(n-1)②,①-②,得an+1-an-1=3,
因为a1=2,a1+a2=3,所以a2=1,
由an+1-an-1=3可知该数列的奇数项是以2为首项,3为公差的等差数列,该数列的偶数项是以1为首项,3为公差的等差数列,
故a2022=a2×1011=1+(1011-1)×3=3031,故A正确;
a2n-1=2+×3=3n-1,故B正确;
a2-a1=-1,故C不正确;
S2n==3n2,故D正确.
故选ABD.
10.BCD　函数f(x)=+lnx的定义域为(0,+∞),f'(x)=-,
当0当x>1时,f'(x)>0,则函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,为f(1)=1,故A错误,C正确;
对于B,函数y=f(x)-x=+lnx-x,其定义域为(0,+∞),
则y'=-<0,
故函数y=f(x)-x在(0,+∞)上单调递减,
又当x=1时,f(1)-1=0,
所以函数y=f(x)-x有且只有1个零点,故B正确;
对于D,g(x)=xf(x)=1+xlnx,其定义域为(0,+∞),
则g'(x)=lnx+1,令g'(x)=0,得x=,
当0当x>时,g'(x)>0,则函数g(x)在上单调递增,
所以当x=时,函数g(x)取得极小值,也是最小值,为g,
所以g),故D正确.
故选BCD.
11.BCD　对于A,f(x)=在(0,+∞)上单调递减,y=xf(x)=1,是常数函数,不具有单调性,故A错误.
对于B,f(x)=,则f'(x)=,易知当x∈(1,2)时,f'(x)<0,
∴函数f(x)在(1,2)上单调递减,
y=xf(x)=,则y'=,易知当x∈(1,2)时,y'=>0,∴y=xf(x)在(1,2)上单调递增,故B正确.
对于C,易知f(x)=在(m,+∞)上单调递减,f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e,∴m≥e,又y=xf(x)=lnx在(e,+∞)上单调递增,满足题意,故C正确.
对于D,由已知得f(x)=cosx+kx2在上单调递减,
∴f'(x)=-sinx+2kx≤0在x∈上恒成立,即2k≤在上恒成立,即2k≤,x∈.
令h(x)=,则h'(x)=,令φ(x)=xcosx-sinx,
则φ'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0,x∈,
∴φ(x)在上单调递减,∴φ(x)<φ(0)=0,
∴h'(x)<0,∴h(x)在上单调递减,
∴h(x)>h,∴2k≤,∴k≤.
令g(x)=xf(x)=xcosx+kx3,则g(x)在上单调递增,
∴g'(x)=cosx-xsinx+3kx2≥0在x∈上恒成立,
即3k≥在上恒成立,
即3k≥,x∈,
令F(x)=,则F'(x)=,易知当x∈时,F'(x)>0,
∴F(x)在上单调递增,∴F(x)∴3k≥,∴k≥,
综上,k的取值范围是,故D正确.
故选BCD.
12.ABD　因为a1++…+,
所以当n=1时,a1==1,故a2=4,
当n≥2时,由a1++…+,得a1++…+,
所以,整理得,所以,
所以当n≥2时,··…·×…×,
所以当n≥2时,an=n2,又a1=1满足an=n2,所以an=n2,所以a10=100,A正确;
bn=,所以bn+1-bn=,所以{bn}为等差数列,B正确;
b2021=,不是整数,C错误;
bn+2cos2=bn+1+cos+1+cos,
设数列的前n项和为Sn,
则S2022=×(0+1+2+…+2021)+2022+cos+cos+…+cos=4044+cos+cos+…+cos,
因为cosα+cos(π-α)=0,
所以cos+cos+…+cos=0,故S2022=4044,D正确.
故选ABD.
13.答案　-69
解析　当n≥2时,a2-a1=-,……,an-an-1=-,累加可得an-a1=--…-,所以an=a1-,n≥2,
经检验,上式对n=1也成立.
∴an=1-=-69.
14.答案　1
解析　令f(x)=x2-a2-2ln,x>0,a>0,则f'(x)=2,x>0,
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)≥f(1)=1-a2+2lna,即1-a2+2lna≥0在a∈(0,+∞)上恒成立,
令g(a)=1-a2+2lna,则g'(a)=2,
当a∈(0,1)时,g'(a)>0,g(a)单调递增;当a∈(1,+∞)时,g'(a)<0,g(a)单调递减,
所以g(a)≤g(1)=0 1-a2+2lna≤0.
综上,1-a2+2lna=0 a=1.
15.答案　10
解析　由f(x)=tanx,得f'(x)==1+tan2x,
又f(an+1)=,
所以f2(an+1)=f'(an),即tan2an+1=1+tan2an tan2an+1-tan2an=1.
又a1=,所以tana1=1,所以数列{tan2an}是以1为首项,1为公差的等差数列,
所以tan2an=n,tanan=(负值舍去).
所以bn=).
所以T120=b1+b2+b3+…+b120
=-()+…+()
=-1+11=10.
16.答案　[12,20]
解析　因为f(x)=x2+bx+c有极小值点-1,所以-=-1,解得b=2,故bn=+2,令g(x)=x++2(x≥1),则g'(x)=1-,当c≤1时,g'(x)≥0,函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,此时{bn}是递增数列,不满足题意,故c>1.当1时,g'(x)>0,即函数g(x)在(1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,即数列{bn}先减后增,因为对于任意的n∈N*,都有bn≥b4成立,所以只需b3≥b4且b4≤b5,即解得12≤c≤20.
故c的取值范围为[12,20].
17.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0).
由题意得 (2分)
解得a1=d=2,所以an=2+(n-1)×2=2n.(4分)
(2)由(1)得bn=,(7分)
所以Tn=
=.(10分)
18.解析　(1)f'(x)=1+,则f'(1)=1+=2,(3分)
所以曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(5分)
(2)当a=0时,曲线y=ax2+(2a+3)x+1的方程为y=3x+1,
由得故直线2x-y-1=0与直线y=3x+1只有一个交点,符合题意;(8分)
当a≠0时,由得ax2+(2a+1)x+2=0,
要想曲线f(x)在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点,
只需Δ=(2a+1)2-8a=0,所以a=.(11分)
综上所述,a的值为0或.(12分)
19.解析　(1)若选①:因为an+1=Sn+1,所以Sn+1-Sn=Sn+1,所以1+Sn+1=2(1+Sn),又1+S1=1+a1=2,
所以数列{1+Sn}是首项为2,公比为2的等比数列,(2分)
所以1+Sn=2n,所以Sn=2n-1.
当n=1时,a1=S1=2-1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,经检验,a1=1也符合该式,
所以an=2n-1.(4分)
所以bn=.(5分)
若选②:由=an(8an-2an+1),得=0,an>0,
所以-8=0,所以=2或=-4(舍去).(2分)
又a1=1,所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
所以an=1×2n-1=2n-1,(4分)
所以bn=.(5分)
(2)证明:由(1)得cn=,(6分)
因为当n∈N*时,≥,所以cn=≥=1,
所以Tn=c1+c2+…+cn≥1+1+…+1=n.(8分)
当n=1时,T1=c1=1<1+,
当n≥2时,因为cn=··,
所以Tn=c1+c2+c3+…+cn<1+1++…+1+.
所以对于任意的n∈N*,Tn综上,对于任意的n∈N*,n≤Tn20.解析　(1)f'(x)=x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],(1分)
当a-1=1,即a=2时,f'(x)=(x-1)2≥0,f(x)在R上单调递增,(3分)
当a-1<1,即a<2时,令f'(x)>0,得x>1或x令f'(x)<0,得a-1∴f(x)在(-∞,a-1),(1,+∞)上单调递增,在(a-1,1)上单调递减.(5分)
综上所述,当a=2时,f(x)在R上单调递增;当a<2时,f(x)在(-∞,a-1),(1,+∞)上单调递增,在(a-1,1)上单调递减.(6分)
(2)由已知得f'(x)=x2-ax+a-1≤0在区间[1,5]上恒成立,
∴a(x-1)≥x2-1在区间[1,5]上恒成立,(8分)
当x=1时,a∈R;
当1而y=x+1在x∈(1,5]上单调递增,∴x=5时,ymax=6,则a≥6.
综上,a≥6.(12分)
21.解析　(1)证明:易得f'(x)=ex,∴f'(x0)=,
又y0=,
∴切线方程为y-(x-x0),即y=,即g(x)=.(2分)
设F(x)=f(x)-g(x)=ex-,则F'(x)=ex-,
当x∈(-∞,x0)时,F'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,F'(x)>0,
∴F(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
∴F(x)min=F(x0)=0,即F(x)≥0,
∴ x∈R,f(x)≥g(x).(5分)
(2)当x≥0时,f(x)≥1+恒成立,即(1+x)f(x)-(1+x)-ax≥0恒成立.
令h(x)=(1+x)f(x)-(1+x)-ax=(1+x)ex-(1+x)-ax,x≥0,
则h'(x)=(x+2)ex-1-a,令φ(x)=h'(x),x≥0,则φ'(x)=(x+3)ex>0,
∴h'(x)在[0,+∞)上单调递增,∴h'(x)≥h'(0)=1-a.(8分)
①当1-a≥0,即a≤1时,h'(x)≥0,∴h(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥1+在[0,+∞)上恒成立.
②当1-a<0,即a>1时,h'(0)<0,x→+∞时,h'(x)>0,
∴ m∈(0,+∞),使得h'(m)=0,(10分)
∴当x∈(0,m)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,h(x)综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1].(12分)
22.解析　(1)令ex=t,则x=lnt,记h(t)=t2-2(e+1)t+2elnt,t>0.
则h'(t)=2t-2(e+1)+,令h'(t)=0,得t=1或t=e.(2分)
当00;当1e时,h'(t)>0,
所以当t=1时,h(t)取得极大值,为h(1)=-2e-1,当t=e时,h(t)取得极小值,为h(e)=-e2,(4分)
因为函数g(x)=f(x)-a有三个零点,所以曲线y=h(t)与直线y=a有三个交点,
所以-e2(2)证明:记m(t)=h(t)-h=t2-2(e+1)t+2elnt--2eln=t2-2(e+1)t+4elnt-,
则m'(t)=2t-2(e+1)+
=,(6分)
记n(t)=2t4-2(e+1)t3+4et2-2(e+1)t+2,
则n'(t)=8t3-6(e+1)t2+8et-2(e+1),
记s(t)=8t3-6(e+1)t2+8et-2(e+1),
则s'(t)=24t2-12(e+1)t+8e.
易知s'(t)在区间(1,e)上单调递增,所以s'(t)>s'(1)=12-4e>0,
所以s(t)在区间(1,e)上单调递增,所以s(t)>s(1)=0,
所以n(t)在区间(1,e)上单调递增,所以n(t)>n(1)=0,
所以m(t)在区间(1,e)上单调递增,(8分)
记=t3,
因为f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1由(1)可知,0所以m(t2)=h(t2)-h>m(1)=0,即h(t2)>h.
又h(t1)=h(t2),所以h(t1)>h,因为1由(1)知h(t)在区间(0,1)上单调递增,所以t1>,即t1t2>1,即>1,所以x1+x2>0.(12分)
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