2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--专题强化练2　等比数列的综合运用

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
专题强化练2　等比数列的综合运用
1.(2023江苏盐城阜宁中学期中)设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q≠-1,且S8=3S4,则=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.(2023天津红桥期末)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第六个单音的频率为(　　)
A.f　　　B.f　　　C.f　　　D.f
3.(2023重庆南开中学期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n+1+b-1,则4a+2b的最小值为(　　)
A.3　　　　　B. C.2　　　　　D.
4.(2023湖北恩施州高中教育联盟期末)已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=a2=1,an=2an-1+3an-2(n≥3),则下列结论正确的是(　　)
A.数列{an-an+1}为等比数列
B.数列{an+1+2an}为等比数列
C.S40=(320-1)
D.an=
5.(2023吉林东北师大附中期末)已知数列{an}中,a1=1,anan+1=22n-1(n∈N*),{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列结论正确的是(　　)
A.a3=2　 　B.=4(n≥2) C.Sn=2n-1　　　　　D.T2n=2n(2n-1)
6.(2022重庆主城区七校期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=Sn+2an+1,数列的前n项和为Tn,则下列选项正确的是(　　)
A.数列{an+1}是等比数列 B.数列{an}的通项公式为an=2n-1
C.Sn=2n-n D.Tn<1
7.(2023黑龙江哈尔滨三中一模)设Sn是数列{an}的前n项和,Sn=2an+n-3,令bn=log4(an-1),则=　　　　.
8.(2023湖南常德临澧一中开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列是首项为,公差为的等差数列,则{an}的通项公式为　　　　;若[x]表示不超过x的最大整数,如[0.5]=0,[lg499]=2,则数列{[lgan]}的前2000项的和为　　　　.
9.(2023广东广州六区期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,Sn+1=3Sn+9(n∈N*).
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)若bn=log3an,cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　等比数列的综合运用
1.A 2.B 3.C 4.D 5.BCD 6.ABD
1.A　当q=1时,S8=8a1≠3S4=12a1,不成立;
当q≠1且q≠-1时,由S8=3S4,得,解得q4=2,
故.故选A.
2.B　由题意得,十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列,设该等比数列为{an},则第六个单音的频率为a6=f·(f.故选B.
3.C　根据题意得a1=S1=4a+b-1,a2=S2-S1=4a,a3=S3-S2=8a,
则有(4a)2=(4a+b-1)×8a,变形可得2a+b=1,
则4a+2b=4a+21-2a=4a+≥2,
当且仅当2a=b时等号成立,即4a+2b的最小值为2,故选C.
4.D　对于A,an=2an-1+3an-2(n≥3),
则an-1-an=-(an-1+3an-2)(n≥3),
∴数列{an-an+1}不是等比数列,故A错误;
对于B,an=2an-1+3an-2(n≥3),
an+2an-1=3an-2+4an-1,
∴数列{an+1+2an}不是等比数列,故B错误;
对于D,an=2an-1+3an-2(n≥3),
则an-3an-1=-(an-1-3an-2),an+an-1=3(an-1+an-2),
∵a1=a2=1,∴a2-3a1=-2,a2+a1=2,
∴数列{an+1-3an}是首项为-2,公比为-1的等比数列,数列{an+1+an}是以2为首项,3为公比的等比数列,∴an+1-3an=-2×(-1)n-1,an+1+an=2×3n-1,
∴an=,故D正确;
对于C,S40=a1+a2+…+a40
=+…+(340-1),故C错误.故选D.
知识拓展　对an+2=pan+1+qan类型的二阶线性递推公式,可以用特征根法来求通项.
第一步,构造特征方程x2=px+q,并求出特征方程的根;
第二步,若方程有2个不同的实根α和β,则an=Aαn+Bβn,再利用a1和a2来求出系数A和B;若方程有2个相同的实根α,则an=(An+B)αn,再利用a1和a2来求出系数A和B.
5.BCD　由题意得,当n≥2时,=4,即=4,B正确;
∵a1=1,∴a2=2,则数列{an}的奇数项是首项为1,公比为4的等比数列,偶数项是首项为2,公比为4的等比数列,当n为奇数时,an==2n-1,当n为偶数时,an=2×=2n-1,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,故数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,
则a3=22=4,A错误;Sn==2n-1,C正确;
T2n=20·21·22·…·22n-1=20+1+2+…+(2n-1)==2n(2n-1),D正确.故选BCD.
6.ABD　由Sn+1=Sn+2an+1,可得an+1=2an+1,
两边同时加1,可得an+1+1=2an+1+1=2(an+1),
∵a1+1=1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1,n∈N*,故A、B正确;
Sn=a1+a2+…+an=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2,故C错误;
∵,
∴Tn=+…+
=+…+
=<1,故D正确.
故选ABD.
解题技巧　常见的裂项方法:
(1)an=;
an=;
an=.
(2)an=);
an=;
an=.
(3)an=
=1+.
(4)an=(a≠1).
(5)an=.
(6)an=.
(7)an=.
(8)an=(-1)n·
=(-1)n.
7.答案　31
解析　由题可得an=Sn-Sn-1=2an+n-3-2an-1-(n-1)+3,即an=2an-1-1,即an-1=2(an-1-1),
又a1=2a1-2,所以a1-1=1,
所以数列{an-1}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an-1=2n-1,
则bn=log4(an-1)=(n-1),
则=31.
8.答案　an=;3782
解析　由题意得,
∴Sn=,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,
又∵a1=S1=,满足上式,∴an=,
∴[lgan]=,
当-1≤lgan<0时,n=1,
当0≤lgan<1时,n=2,3,…,19,
当1≤lgan<2时,n=20,21,…,199,
当2≤lgan<3时,n=200,201,…,1999,
当lgan=3时,n=2000,
∴数列{[lgan]}的前2000项的和为[lga1]+[lga2]+[lga3]+…+[lga2000]=-1×1+0×18+1×180+2×1800+3×1=3782.
9.解析　(1)证明:由题意可设Sn+1-t=3(Sn-t),
则Sn+1-t=3(Sn-t)=3Sn-3t,即Sn+1=3Sn-2t,
由Sn+1=3Sn+9,可得-2t=9,即t=-,
∴Sn+1+,
∵S1+,
∴数列是以为首项,3为公比的等比数列,
∴Sn+·3n-1=,n∈N*.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1==3n+1,
∵当n=1时,a1=9也满足上式,
∴an=3n+1=9·3n-1,n∈N*,
∴数列{an}是以9为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)可得bn=log3an=log33n+1=n+1,
cn=anbn=(n+1)·3n+1,
则Tn=c1+c2+…+cn=2·32+3·33+4·34+…+(n+1)·3n+1,
3Tn=2·33+3·34+…+n·3n+1+(n+1)·3n+2,
两式相减,可得-2Tn=2·32+33+34+…+3n+1-(n+1)·3n+2=2·32+-(n+1)·3n+2=-·3n+2+·3n+2-.
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