2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--第六章　计数原理

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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第六章　计数原理
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.计算++=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等,则含x10项的系数是(　　)
A.-8　　B.8　　C.4　　D.-4
3.将6名优秀教师分配到5所不同的学校进行教学交流,每名优秀教师只分配到1所学校,每所学校至少分配1名优秀教师,则不同的分配方案共有(　　)
A.2 400种　　　　B.1 800种　　
C.1 200种　　　　D.1 600种
4.已知(1+x)5=a0+a1(1+2x)+a2(1+2x)2+…+a5(1+2x)5,则a1=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.5
5.某学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既会弹吉他又会打鼓,现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案有(　　)
A.36种　　　　B.78种　　
C.87种　　　　D.90种
6.的展开式中各项系数和为2,则该展开式中的常数项为(　　)
A.-40　　　　B.-20　　
C.20　　　　D.40
7.现用5种不同的颜色对如图所示的4个部分进行涂色,要求有公共边的两块不能涂同一种颜色,则不同的涂色方法种数为　(　　)
A.180　　　　B.200　　
C.240　　　　D.260
8.若一个四位数的各位数字相加和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2 017”,则用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”有(　　)
A.71个　　　　B.66个
C.59个　　　　D.53个
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列结论正确的是(　　)
A.若=,则m=k
B.若=10×9×…×4,则m=7
C.+m=
D.m=n
10.已知(+3x2)n的展开式中,各项系数之和比各二项式系数之和大992,则下列结论正确的是(　　)
A.展开式中的有理项是第2项和第5项
B.展开式中没有常数项
C.展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项
D.展开式中系数最大的项是第5项
11.已知(2x-5)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a9(x-2)9,则下列结论成立的是(　　)
A.a0+a1+a2+a3+…+a9=1
B.a3=672
C.a0-a1+a2-a3+…-a9=39
D.a1+2a2+3a3+…+9a9=18
12.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某暑期志愿者服务活动,有翻译、导购、收银、仓库管理四项工作可供选择,每人至多从事一项工作,则下列说法正确的是(　　)
A.若每人可任选一项工作,则有54种不同的选法
B.若安排甲、乙分别从事翻译、收银工作,其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作,则有12种不同的选法
C.若仓库管理工作必须安排2人,其余工作各安排1人,则有60种不同的选法
D.若每项工作至少安排1人,每人均需参加一项工作,其中甲、乙不能从事翻译工作,则有126种不同的选法
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.若(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10,则a3等于　　　　.
14.672 023-8除以17所得的余数为　　　　.
15.四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的气球数依次为1,2,3,4,每枪只能打破一只气球,而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球,则将这些气球都打破的不同打法种数是　　　　.
16.某集团派遣5位监事会成员去集团下属的3家子公司进行行政监察,已知3家子公司每家至少派遣1位监事会成员,每位监事会成员必去且只能去一家子公司,则共有　　　　种不同的派遣方案;若监事会成员A和B不去同一家子公司,则共有　　　　种不同的派遣方案.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (10分)(1)已知7=20,x∈N*,x>1,求x的值;
(2)求满足+2+3+…+n<2 020的正整数n的最大值.
18. (12分)已知(n∈N*).
(1)若其展开式中后三项的二项式系数的和等于67,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若n为满足819.(12分)已知有3名男生和4名女生.
(1)若全体站成一排,3名男生不相邻,4名女生也不相邻,则有多少种排队方法
(2)若全体站成一排,男生甲不站在两端,女生乙不站在中间,则有多少种排队方法
(3)若排成前后两排,前排3人,后排4人,且同一排的学生性别不全相同,则有多少种排队方法
20.(12分)从下列两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答问题.
①第4项的系数与倒数第4项的系数之比为1∶2;
②展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大.
已知的展开式中,　　　　.
(1)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和;
(2)将展开式中所有项重新排列,求有理项不相邻的概率.
21.(12分)已知在(n∈N*)的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.求:
(1)展开式中的所有有理项;
(2)展开式中系数绝对值最大的项;
(3)n+9+81+…+9n-1的值.
22.(12分)在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.
(1)当4个舞蹈节目接在一起时,有多少种不同的安排顺序
(2)当每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的安排顺序
(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗歌朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的安排顺序
答案全解全析
1.A　++=++=+==,故选A.
2.D　由条件可知=,所以n=12,的展开式的通项为Tr+1=x12-r·=x12-2r,r=0,1,…,12,令12-2r=10,得r=1,所以含x10项的系数是×=-4,故选D.
3.B　不同的分配方案共有=1 800(种),故选B.
4.B　令1+2x=t,则1+x=1+=,所以=a0+a1t+a2t2+…+a5t5,所以a1=×=,故选B.
5.B　①若吉他手只会弹吉他,鼓手只会打鼓,则有·=36种组合方案;②若吉他手和鼓手中有1人既会弹吉他又会打鼓,则有+=42种组合方案.所以不同的组合方案有36+42=78(种).
6.D　令x=1,得展开式中各项系数和为1+a,所以1+a=2,解得a=1,所以=.的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r=(-1)r25-rx5-2r,r=0,1,2,3,4,5.令5-2r=1,得r=2;令5-2r=-1,得r=3.所以展开式中的常数项为8-4=40.故选D.
7.D　先涂Ⅰ,有5种涂法,然后涂Ⅱ,Ⅳ,最后涂Ⅲ.
①当Ⅱ,Ⅳ涂色相同时,有4种涂法,则Ⅲ有4种涂法,故不同的涂色方法种数为5×4×1×4=80;②当Ⅱ,Ⅳ涂色不同时,Ⅱ有4种涂法,Ⅳ有3种涂法,则Ⅲ有3种涂法,故不同的涂色方法种数为5×4×3×3=180.综上所述,不同的涂色方法种数为80+180=260.
8.A　根据题意,四个无重复数字且相加和为10的情况有①0,1,3,6,②0,1,4,5,③0,1,2,7,④0,2,3,5,⑤1,2,3,4,共5种,则分5种情况讨论:①当四个数字为0,1,3,6时,千位数字可以为3或6,有2种情况,将其余3个数字全排列,依次安排在百位、十位、个位上,有=6种情况,此时有2×6=12个“完美四位数”;②当四个数字为0,1,4,5时,千位数字可以为4或5,有2种情况,将其余3个数字全排列,依次安排在百位、十位、个位上,有=6种情况,此时有2×6=12个“完美四位数”;③当四个数字为0,1,2,7时,若千位数字为7,则将其余3个数字全排列,依次安排在百位、十位、个位上,有=6种情况,若千位数字为2,则有2 071,2 107,2 170,2 701,2 710,共5种情况,此时有6+5=11个“完美四位数”;④当四个数字为0,2,3,5时,千位数字可以为2或3或5,有3种情况,将其余3个数字全排列,依次安排在百位、十位、个位上,有=6种情况,此时有3×6=18个“完美四位数”;⑤当四个数字为1,2,3,4时,千位数字可以为2或3或4,有3种情况,将其余3个数字全排列,依次安排在百位、十位、个位上,有=6种情况,此时有3×6=18个“完美四位数”.
综上,一共有12+12+11+18+18=71个“完美四位数”,故选A.
9.BCD　
10.BCD　由题意得4n-2n=992,所以2n=32或2n=-31(舍去),所以n=5,所以(+3x2)n=(+3x2)5,其展开式的通项为Tr+1=()5-r(3x2)r=·3r·(r=0,1,2,3,4,5).
对于A,当r=2或r=5时,是整数,所以展开式中的有理项是第3项和第6项,故A错误.
对于B,令=0,得r=- Z,所以展开式中没有常数项,故B正确.
对于C,易知展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项,故C正确.
对于D,由展开式的通项知展开式中各项的系数依次为1,15,90,270,405,243,所以展开式中第5项的系数最大,故D正确.故选BCD.
11.ABD　对于A,令x=3,得a0+a1+a2+a3+…+a9=(2×3-5)9=1,故A正确;
对于B,(2x-5)9=[-1+2(x-2)]9=a0+a1(x-2)++a3(x-2)3+…+a9(x-2)9,[-1+2(x-2)]9的展开式的通项为Tr+1=(-1)9-r·[2(x-2)]r=·2r·(x-2)r,r=0,1,…,9,所以T4=8·(x-2)3,所以a3=8=672,故B正确;
对于C,令x=1,得a0-a1+a2-a3+…-a9=-39,故C错误;
对于D,对(2x-5)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3·(x-2)3+…+a9(x-2)9的两边同时求导,得18(2x-5)8=a1+2a2(x-2)+3a3(x-2)2+…+9a9(x-2)8,令x=3,得a1+2a2+3a3+…+9a9=18,故D正确.故选ABD.
12.CD　对于A,易知每人有4种选法,所以有45种不同的选法,故A错误.对于B,安排甲、乙分别从事翻译、收银工作,有1种选法,其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作,有=6种选法,所以共有1×6=6种选法,故B错误.对于C,有=60种不同的选法,故C正确.对于D,①从除甲、乙外的三人中任选一人从事翻译工作,有=3种选法,则甲、乙和剩下的2人从事其余的三项工作,有·=36种选法,所以共有3×36=108种选法;②从除甲、乙外的三人中任选2人从事翻译工作,有=3种选法,则甲、乙和剩下的1人从事其余的三项工作,有=6种选法,所以共有3×6=18种选法.所以共有108+18=126种不同的选法,故D正确.故选CD.
13.答案　-1 560
解析　(x2-3x+2)5=(x-1)5(x-2)5,其展开式中含x3的项是x3(-1)2·(-2)5+x2(-1)3·x(-2)4+x(-1)4·x2(-2)3+(-1)5·x3·(-2)2=-1 560x3,所以a3=-1 560.
14.答案　8
解析　672 023-8=(68-1)2 023-8
=682 023-×682 022+…+×68-1-8
=682 023-×682 022+…+×68-9
=(682 023-×682 022+…+×68-17)+8,
因为682 023-×682 022+…+×68-17能被17整除,所以672 023-8除以17所得的余数为8.
15.答案　12 600
解析　问题等价于编号为1,2,3,…,10的10只气球进行排列,其中2,3号,4,5,6号,7,8,9,10号的排列顺序是固定的,据此可得,将这些气球都打破的不同打法种数是=12 600.
16.答案　150;114
解析　将5位监事会成员分成3组,有两类分法:①“3,1,1”,此时有=10种分法;②“1,2,2”,此时有=15种分法.将这3组分配到3家子公司,有=6种分法,所以共有(10+15)×6=150种不同的派遣方案.
当监事会成员A和B去同一家子公司时,有两类分法:①“3,1,1”,此时共有=18种分法;②“2,2,1”,此时共有=18种分法.所以监事会成员A和B不去同一家子公司时,共有150-18-18=114种不同的派遣方案.
17.解析　(1)由已知得7×=20×,
化简得x2-15x+36=0,解得x=3或x=12,(3分)
易知x≤6,所以x=3.(5分)
(2)解法一:因为m=n,所以+2+3+…+n=n+n+n+…+n<2 020,
即n(+++…+)<2 020,(7分)
所以n·2n-1<2 020,
结合n∈N*可得n≤8.(9分)
所以正整数n的最大值为8.(10分)
解法二:由二项式定理可得(1+x)n=+x+x2+x3+…+xn,两边同时对x求导,得n(1+x)n-1=+2x+3x2+…+nxn-1,(7分)
令x=1,得n×2n-1<2 020,结合n∈N*可得n≤8.(9分)
所以正整数n的最大值为8.(10分)
18.解析　(1)由已知得++=++=+n+1=67,整理得n2+n-132=0,即(n+12)·(n-11)=0,解得n=11或n=-12(舍去),(3分)
则=,其展开式中二项式系数最大的项为第6项和第7项,即第6项为·(2)5=××25=231,(5分)
第7项为(2)6=××26x-5+3=924x-2.(6分)
(2)的展开式的通项为Tr+1=·(2)r=·2rx-(n-r)=22r-n(r=0,1,…,n).(7分)
令=0,得n=r,因为8当r=6时,n=9;当r=7时,n=(不合题意,舍去).所以当n=9时,展开式中有常数项,常数项为T7=×23=672.(12分)
19.解析　(1)先排4名女生,再将3名男生插入中间的3个空中,则有=144种排队方法.(4分)
(2)若男生甲站在中间,则有种排队方法;
若男生甲不站在中间,则有种排队方法.
所以共有+=3 120种排队方法.(8分)
(3)将7名学生排成前后两排,有种排队方法.
“同一排的学生性别不全相同”的对立事件是“同一排的学生性别全相同”,即前排3名男生,后排4名女生,有种排队方法.所以有-=5 040-144=4 896种排队方法.(12分)
20.解析　(1)选①:的展开式的通项为Tr+1=(x2)n-r(2)r=·2r,r=0,1,2,…,n.(2分)
由题意得=,即=,解得n=7.(5分)
所以=.
令x=1,得展开式中所有项的系数和为37=2 187.(6分)
展开式中所有项的二项式系数和为27=128.(7分)
选②:由题意得n=7.(5分)
以下解法同选①.(7分)
(2)易知展开式共有8项,当14-为整数,即r=0,2,4,6时,为有理项,共4项,(10分)
所以有理项不相邻的概率为=.(12分)
21.解析　(1)由(-2)4∶(-2)2=56∶3,解得n=10(n=-5舍去),所以=,其展开式的通项为Tr+1==(-2)r·(r=0,1,2,…,10),(2分)
当5-为整数时,r可取0,6,所以展开式中的有理项为T1=(-2)0×x5=x5和T7=(-2)6×x0=13 440.(4分)
(2)设第(k+1)项系数的绝对值最大,
则解得≤k≤,又k∈N,所以k=7.所以展开式中系数绝对值最大的项为T8=(-2)7×=-15 360.(8分)
(3)10+9+81+…+910-1
=
=
==.(12分)
22.解析　(1)分两步:第一步,将4个舞蹈节目捆绑,与6个演唱节目全排列,有=5 040种方法;(2分)
第二步,将4个舞蹈节目全排列,有=24种方法.
根据分步乘法计数原理,共有5 040×24=120 960种不同的安排顺序.(4分)
(2)分两步:第一步,将6个演唱节目排成一排(如图中的“□”),一共有=720种方法;
×□×□×□×□×□×□×(6分)
第二步,将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置),相当于7个“×”选4个来排,一共有=840种方法.
根据分步乘法计数原理,共有720×840=604 800种不同的安排顺序.(8分)
(3)若所有节目没有顺序要求,全排列,则有种排法,但原来的节目已定好顺序,所以共有=132种不同的安排顺序.(12分)
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