2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--第六章 计数原理复习提升
文档属性
| 名称 | 2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--第六章 计数原理复习提升 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1008.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-16 13:43:38 | ||
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文档简介
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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第六章 计数原理
本章复习提升
易混易错练
易错点1 计数时重复或遗漏致错
1.(2023陕西咸阳旬邑中学期中)从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线方程Ax+By=0的系数,则最多可得到不同的直线的条数为( )
A.18 B.20 C.25 D.10
2.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有 种不同的选法.
易错点2 对特殊元素或特殊位置考虑不周致错
3.(2022河南郑州中学月考)有五名同学站成一排拍毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两名同学不能相邻,则不同的站法有( )
A.8种 B.16种 C.32种 D.48种
4.(2022天津南开中学期中)用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是( )
A.50 B.52 C.54 D.56
5.(2021陕西咸阳检测)某单位计划安排6名志愿者在人民路上相邻的6个十字路口进行“创建文明城市”的宣传活动,每个路口安排1名志愿者,则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口,丙不在第一个和最后一个路口的安排方式共有 种.
易错点3 混淆排列与组合问题致错
6.(2022山东邹城第二中学月考)某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A,B,C三地指导“碳中和”工作,每位专家只去一个地方,且每地至少派1名专家,则分派方案种数为( )
A.90 B.150 C.180 D.300
7.(2022湖南长沙麓山国际实验学校月考)某校要从10人中挑选3人参加马拉松比赛,其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人参加且甲、乙不同时参加,丙、丁也不同时参加,则不同的报名方案有 种.
易错点4 忽视排列数、组合数中参数的限制条件导致错误
8.(2023上海建平中学月考)若正整数n满足不等式≤12,则n= .
9.(2023福建三明期中)若=(n∈N*),则n= .
易错点5 混淆展开式中项的系数与二项式系数致错
10.(多选题)(2023山东师范大学附中期中)在的展开式中,下列说法正确的是( )
A.所有项的二项式系数和为128
B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第4项
D.有理项共3项
11.已知(1+mx)n(m∈R,n∈N*)的展开式的各二项式系数之和为32,且展开式中含x3项的系数为80.
(1)求m,n的值;
(2)求(1+mx)n(1-x)6的展开式中含x2项的系数.
思想方法练
一、分类讨论思想在排列、组合中的应用
1.(2023浙江宁波效实中学期中)已知无盖正方体容器的五个面上分别标有A,B,C,D,E五个字母,现需要给容器的5个表面染色,要求有公共棱的面不能染同一种颜色,有5种不同的颜色可供选择,则不同的染色方案种数为( )
A.420 B.340 C.300 D.120
2.(2023安徽六安一中期中)因演出需要,身高互不相等的8名演员要排成一个“波浪形”的一排,即演员们的身高从最左边起,第一个到第三个依次递增,第三个到第六个依次递减,第六个到第八个依次递增,则不同的排列方式种数为( )
A.181 B.109 C.84 D.96
3.(2023四川成都七中月考)某县为响应国家政策,选派了6名工作人员到A,B,C三个村调研脱贫后的产业规划,每个村至少去1人,则不同的安排方式种数为 .
二、转化与化归思想在排列、组合中的应用
4.某教师一天上3个班级的课,每班上1节,如果一天共9节课,上午5节,下午4节,并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么该教师一天中课表的所有不同排法有 ( )
A.474种 B.77种 C.462种 D.79种
5.(2022吉林长春十一高中期中)现有红色、黄色小球各两个,蓝色小球一个,所有小球彼此不同,现将五个小球排成一行,颜色相同的小球不相邻,则不同的排法种数为( )
A.48 B.72 C.78 D.84
三、整体思想在排列、组合中的应用
6.(2022黑龙江哈九中期末)加工某种产品需要5道工序,分别为A,B,C,D,E,其中工序A,B必须相邻,工序C,D不能相邻,那么不同的加工方法种数为( )
A.24 B.32 C.48 D.64
7.某款APP软件设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块.某人在学习过程中,“阅读文章”不放首位,四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻的学习方法有( )
A.60种 B.192种
C.240种 D.432种
四、函数与方程思想在二项式定理中的应用
8.(2022江西宜春期末)使得(n∈N*)的展开式中含有常数项的n的最小值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
9.(2022山东潍坊月考)已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,若a2=5,则m= ,a1+a3+a5= .
10.已知的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.
(1)求该展开式中所有有理项的项数;
(2)求该展开式中系数最大的项.
答案与分层梯度式解析
第六章 计数原理
本章复习提升
易混易错练
1.A 3.B 4.B 6.B 10.AB
1.A 第一步,给A赋值有5种选择,第二步,给B赋值有4种选择,由分步乘法计数原理知,可得到5×4=20条直线,但A=1,B=2与A=2,B=4表示同一条直线,且A=2,B=1与A=4,B=2也表示同一条直线,∴最多可得到不同的直线的条数为20-2=18.
易错警示 在解本题时要注意直线方程的特征,不要想当然地认为只要选取两个不同的数作为A,B就可得到不同的直线,从而得出错误答案.实际上,当A=1,B=2与A=2,B=4时,得到的是同一条直线;当A=2,B=1与A=4,B=2时,得到的也是同一条直线.所以进行计数时,不但要懂得灵活应用计数原理,更要考虑问题的实际情况,避免重复计数.
2.答案 20
解析 由题意可知,在艺术小组中,有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲),只会钢琴的有6人,只会小号的有2人,则可分为两类:
第1类,甲入选,则还需从其他8人中任选1人,因此这类选法的种数为8;
第2类,甲不入选,则先从只会钢琴的6人中选出1人,有6种不同的选法,再从只会小号的2人中选出1人,有2种不同的选法,因此这类选法的种数为6×2=12.
所以共有8+12=20种不同的选法.
3.B 先将甲排在正中间,再考虑乙、丙.因为乙、丙两名同学不能相邻,所以两人必须站在甲的两侧,
选出一人排在左侧,有种方法,
另外一人排在右侧,有种方法,
余下两人排在余下的两个空位上,有种方法,
所以不同的站法有=16(种).故选B.
易错警示 对于特殊元素或特殊位置的排列、组合问题,要先“特殊”再“一般”,思路不当,结果会相差很大.如本题若先排甲、乙、丙之外的两人,有种排法,再将乙、丙两人插入前两人形成的3个空中,有种插法,最后甲站正中间,有1种站法,会得出=12种站法的错误结果,因为乙、丙还可以都与甲相邻,即分别站在甲的两侧.
4.B 易知能被2整除的三位数是偶数.当个位数字是0时,有种情况;当个位数字是2或4时,最高位不能是0,则有种情况.所以能被2整除的三位数的个数是+=52.故选B.
易错警示 在与数字有关的排列问题中,“0不排首位”是一个隐含条件,解题时易忽略“0”对特殊位置的要求导致解题错误.
5.答案 144
解析 当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口时,利用“捆绑法”,将甲、乙两名志愿者看作一个整体,再与其余四名志愿者全排列,共有=240种不同的安排方式.当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口,且丙在第一个或最后一个路口时,共有=96种不同的安排方式.故所求安排方式共有240-96=144(种).
易错警示 利用“捆绑法”解决排列问题时,要注意捆绑对象本身的内部排列.
6.B 若将5名专家分成“1,1,3”的形式,则分派方案种数为·=60,若将5名专家分成“1,2,2”的形式,则分派方案种数为·=90,所以分派方案种数为60+90=150.故选B.
易错警示 解决计数问题时,要分清楚是排列问题还是组合问题,即看取出的元素是进行分组还是进行分配,分组问题还要考虑是完全均匀分组,部分均匀分组,还是完全非均匀分组,不能将这几种情况混淆.对于排列问题,可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.
7.答案 84
解析 分3种情况讨论:①只从甲、乙中选出1人参加,有=30种报名方案;②只从丙、丁中选出1人参加,有=30种报名方案;③从甲和乙、丙和丁中各选1人参加,有=24种报名方案.故共有30+30+24=84种不同的报名方案.
8.答案 5
解析 由≤12,得n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)≤12×,化简得n2-7n+10≤0,解得2≤n≤5,又因为n≥5,所以n=5.
易错警示 在解决含参数的排列数、组合数问题时,要注意隐含条件,在()中,m,n∈N*,且n≥m.
9.答案 3
解析 由题意得或解得n=3.
易错警示 由=得m=p或m+p=n.
10.AB 对于A,所有项的二项式系数和为27=128,故A正确;对于B,令x=1,得(2-1)7=1,即所有项的系数和为1,故B正确;对于C,二项式系数最大的项为第4项和第5项,故C错误;对于D,展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r=(-1)r27-r,r=0,1,2,…,7,显然当r=0,2,4,6时为有理项,所以有理项有4项,故D错误.故选AB.
11.解析 (1)由题意知2n=32,则n=5,则(1+mx)n=(1+mx)5,其展开式的通项为=mrxr(r=0,1,…,5),当r=3时,m3=80,所以m=2.
(2)由(1)知,m=2,n=5,所以(1+mx)n(1-x)6=(1+2x)5(1-x)6,(1+2x)5的展开式的通项为=2rxr(r=0,1,…,5),(1-x)6的展开式的通项为=(-1)kxk(k=0,1,…,6).
①令r=0,k=2,此时含x2项的系数为×(-1)2=15;②令r=1,k=1,此时含x2项的系数为×21××(-1)1=-60;③令r=2,k=0,此时含x2项的系数为×22=40.
所以(1+2x)5(1-x)6的展开式中含x2项的系数为15+(-60)+40=-5.
易错警示 (a+b)n的展开式中,第(r+1)项的二项式系数是(r=0,1,2,…,n),仅与n,r有关;第(r+1)项的系数为该项字母前的数连同符号,不一定是二项式系数.注意二项式系数一定为正,而对应项的系数可能为负,解题时不要将两者混淆.
思想方法练
1.A 2.A 4.A 5.A 6.A 7.C 8.D
1.A 如图,记正方体的左侧面为A,右侧面为C,前侧面为D,后侧面为B,底面为E.
以使用颜色的种数为标准进行分类.
若用5种颜色染色,则不同的染法方案种数为=120.
若用4种颜色染色,则必有A,C同色或B,D同色,则不同的染法方案种数为2=240.
若用3种颜色染色,则必有A,C同色且B,D同色,则不同的染法方案种数为=60.
综上,不同的染法方案种数为120+240+60=420.
故选A.
2.A 作出示意图如图所示.
易知三号位演员比一、二、四、五、六号位演员高.
设8名演员的身高按照从矮到高的顺序依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,则三号位演员的编号为6或7或8.
按三号位所选的编号进行分类.
若三号位选6,则先从1,2,3,4,5中选出两个放在一、二号位上,再将余下的3个号放到四、五、六号位,最后将7,8号放到最后两个位置,此时不同的排列方式种数为=10.
若三号位选7,则先从1,2,3,4,5,6中选出两个放在一、二号位上,再将余下的4个号中最小的放到六号位,然后在剩下的3个号中选2个放到四、五号位,最后将余下的号和8号放到最后两个位置,此时不同的排列方式种数为=45.
若三号位选8,则先从1,2,3,4,5,6,7中选出两个放在一、二号位上,再将余下的5个号中最小的放到六号位,然后在剩下的4个号中选2个放到四、五号位,最后将余下的2个号放到最后两个位置,此时不同的排列方式种数为=126.
综上,不同的排列方式种数为10+45+126=181.
故选A.
3.答案 540
解析 按照每组中的人数进行分类.
第一类:把6名工作人员分成1,1,4三组,再安排到三个村,有·=90种不同的安排方式;
第二类:把6名工作人员分成2,2,2三组,再安排到三个村,有·=90种不同的安排方式;
第三类:把6名工作人员分成1,2,3三组,再安排到三个村,有=360种不同的安排方式.
所以共有90+90+360=540种不同的安排方式.
思想方法 分类讨论思想在排列、组合中的应用需重点关注能否根据具体问题的条件确定分类标准,并合理利用两个计数原理解决问题.
4.A 根据题意,该教师所有的上课方法有种,连着上3节课的情况有5种,
将所求问题转化为求问题的反面,即求连上3节课的情况种数,利用总的排列数减去连上3节课的排列数即可,体现了转化与化归思想.
故该教师一天中课表的所有不同排法有-5=474(种),故选A.
5.A 将所求问题转化为求问题的反面,即求颜色相同的小球相邻的排列数,再用总的排列数减去该排列数即为所求,体现了转化与化归思想.
五个小球全排列,共有=120种排法.
当两个红色小球相邻,两个黄色小球相邻时,共有=24种排法;
当两个红色小球相邻,两个黄色小球不相邻时,共有=24种排法;
当两个红色小球不相邻,两个黄色小球相邻时,共有=24种排法.
∴颜色相同的小球不相邻的排法共有120-24-24-24=48(种),故选A.
思想方法 转化与化归思想在排列、组合中的应用主要体现在当直接求解分类情形较多,计算较复杂时,可以采用逆向思维,转化为求问题的反面,利用间接法求解.注意当题目出现的限制条件较多时,可以考虑只对其中一个较复杂的条件利用间接法.
6.A 分两步进行分析:
解决相邻问题可考虑捆绑法,体现了整体思想.
①将A,B看成一个整体,与E全排列,有=4种排法;
②排好后,形成3个空位,将C,D安插在空位中,有=6种排法.
故有4×6=24种不同的加工方法.故选A.
7.C 先排“阅读文章”和“视听学习”两个学习模块,分“阅读文章”模块在前与在后两种情况,再在四个答题模块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题模块插空,由于“阅读文章”不放首位,因此不同的方法种数为+=240.
思想方法 整体思想在排列、组合中的应用主要体现在有特殊对象、特殊位置的题目中,可以把要求相邻的对象看成一个整体,再和其他对象进行排列或组合.此外还应注意看成一个整体的对象内部是否还有顺序的要求.
8.D 的展开式的通项为Tr+1=(3x)n-r·=·3n-r,0≤r≤n,r∈N,
令n-=0,解得n=,
构建关于n,r的关系式,寻找n的最小值.
又因为0≤r≤n,r∈N,n∈N*,
所以当r=2时,n取得最小值,且nmin=3.故选D.
9.答案 -1;0
解析 (1+x)5的展开式的通项为Tr+1=xr(0≤r≤5,r∈N),令r=1,得T2=x=5x;令r=2,得T3=x2=10x2.所以(1+mx)(1+x)5的展开式中含x2项的系数为1×10+m×5=5,解得m=-1,
根据含x2项的系数为5构造方程求解m的值.
故(1+mx)(1+x)5=(1-x)(1+x)5.令x=1,得(a0+a2+a4+a6)+(a1+a3+a5)=(1-1)×(1+1)5=0;令x=-1,得(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=(1+1)×(1-1)5=0.所以a1+a3+a5=0.
10.解析 (1)由题意可知+1=6,解得n=10.
∴的展开式的通项为Tk+1=2kx-2k=·2k,0≤k≤10,且k∈N.
要求该展开式中的有理项,只需令∈Z,
∴k=0,2,4,6,8,10,所有有理项的项数为6.
(2)设第(k+1)项的系数最大,
构造关于k的不等式组求解.
则即解得≤k≤.
又k∈N,∴k=7.∴展开式中系数最大的项为T8=×27=15 360.
思想方法 函数与方程思想在二项式定理中的应用主要有:(1)求展开式中的特定项;(2)求与系数和有关的问题;(3)求展开式中系数最大的项.
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第六章 计数原理
本章复习提升
易混易错练
易错点1 计数时重复或遗漏致错
1.(2023陕西咸阳旬邑中学期中)从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线方程Ax+By=0的系数,则最多可得到不同的直线的条数为( )
A.18 B.20 C.25 D.10
2.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有 种不同的选法.
易错点2 对特殊元素或特殊位置考虑不周致错
3.(2022河南郑州中学月考)有五名同学站成一排拍毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两名同学不能相邻,则不同的站法有( )
A.8种 B.16种 C.32种 D.48种
4.(2022天津南开中学期中)用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是( )
A.50 B.52 C.54 D.56
5.(2021陕西咸阳检测)某单位计划安排6名志愿者在人民路上相邻的6个十字路口进行“创建文明城市”的宣传活动,每个路口安排1名志愿者,则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口,丙不在第一个和最后一个路口的安排方式共有 种.
易错点3 混淆排列与组合问题致错
6.(2022山东邹城第二中学月考)某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A,B,C三地指导“碳中和”工作,每位专家只去一个地方,且每地至少派1名专家,则分派方案种数为( )
A.90 B.150 C.180 D.300
7.(2022湖南长沙麓山国际实验学校月考)某校要从10人中挑选3人参加马拉松比赛,其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人参加且甲、乙不同时参加,丙、丁也不同时参加,则不同的报名方案有 种.
易错点4 忽视排列数、组合数中参数的限制条件导致错误
8.(2023上海建平中学月考)若正整数n满足不等式≤12,则n= .
9.(2023福建三明期中)若=(n∈N*),则n= .
易错点5 混淆展开式中项的系数与二项式系数致错
10.(多选题)(2023山东师范大学附中期中)在的展开式中,下列说法正确的是( )
A.所有项的二项式系数和为128
B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第4项
D.有理项共3项
11.已知(1+mx)n(m∈R,n∈N*)的展开式的各二项式系数之和为32,且展开式中含x3项的系数为80.
(1)求m,n的值;
(2)求(1+mx)n(1-x)6的展开式中含x2项的系数.
思想方法练
一、分类讨论思想在排列、组合中的应用
1.(2023浙江宁波效实中学期中)已知无盖正方体容器的五个面上分别标有A,B,C,D,E五个字母,现需要给容器的5个表面染色,要求有公共棱的面不能染同一种颜色,有5种不同的颜色可供选择,则不同的染色方案种数为( )
A.420 B.340 C.300 D.120
2.(2023安徽六安一中期中)因演出需要,身高互不相等的8名演员要排成一个“波浪形”的一排,即演员们的身高从最左边起,第一个到第三个依次递增,第三个到第六个依次递减,第六个到第八个依次递增,则不同的排列方式种数为( )
A.181 B.109 C.84 D.96
3.(2023四川成都七中月考)某县为响应国家政策,选派了6名工作人员到A,B,C三个村调研脱贫后的产业规划,每个村至少去1人,则不同的安排方式种数为 .
二、转化与化归思想在排列、组合中的应用
4.某教师一天上3个班级的课,每班上1节,如果一天共9节课,上午5节,下午4节,并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么该教师一天中课表的所有不同排法有 ( )
A.474种 B.77种 C.462种 D.79种
5.(2022吉林长春十一高中期中)现有红色、黄色小球各两个,蓝色小球一个,所有小球彼此不同,现将五个小球排成一行,颜色相同的小球不相邻,则不同的排法种数为( )
A.48 B.72 C.78 D.84
三、整体思想在排列、组合中的应用
6.(2022黑龙江哈九中期末)加工某种产品需要5道工序,分别为A,B,C,D,E,其中工序A,B必须相邻,工序C,D不能相邻,那么不同的加工方法种数为( )
A.24 B.32 C.48 D.64
7.某款APP软件设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块.某人在学习过程中,“阅读文章”不放首位,四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻的学习方法有( )
A.60种 B.192种
C.240种 D.432种
四、函数与方程思想在二项式定理中的应用
8.(2022江西宜春期末)使得(n∈N*)的展开式中含有常数项的n的最小值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
9.(2022山东潍坊月考)已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,若a2=5,则m= ,a1+a3+a5= .
10.已知的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.
(1)求该展开式中所有有理项的项数;
(2)求该展开式中系数最大的项.
答案与分层梯度式解析
第六章 计数原理
本章复习提升
易混易错练
1.A 3.B 4.B 6.B 10.AB
1.A 第一步,给A赋值有5种选择,第二步,给B赋值有4种选择,由分步乘法计数原理知,可得到5×4=20条直线,但A=1,B=2与A=2,B=4表示同一条直线,且A=2,B=1与A=4,B=2也表示同一条直线,∴最多可得到不同的直线的条数为20-2=18.
易错警示 在解本题时要注意直线方程的特征,不要想当然地认为只要选取两个不同的数作为A,B就可得到不同的直线,从而得出错误答案.实际上,当A=1,B=2与A=2,B=4时,得到的是同一条直线;当A=2,B=1与A=4,B=2时,得到的也是同一条直线.所以进行计数时,不但要懂得灵活应用计数原理,更要考虑问题的实际情况,避免重复计数.
2.答案 20
解析 由题意可知,在艺术小组中,有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲),只会钢琴的有6人,只会小号的有2人,则可分为两类:
第1类,甲入选,则还需从其他8人中任选1人,因此这类选法的种数为8;
第2类,甲不入选,则先从只会钢琴的6人中选出1人,有6种不同的选法,再从只会小号的2人中选出1人,有2种不同的选法,因此这类选法的种数为6×2=12.
所以共有8+12=20种不同的选法.
3.B 先将甲排在正中间,再考虑乙、丙.因为乙、丙两名同学不能相邻,所以两人必须站在甲的两侧,
选出一人排在左侧,有种方法,
另外一人排在右侧,有种方法,
余下两人排在余下的两个空位上,有种方法,
所以不同的站法有=16(种).故选B.
易错警示 对于特殊元素或特殊位置的排列、组合问题,要先“特殊”再“一般”,思路不当,结果会相差很大.如本题若先排甲、乙、丙之外的两人,有种排法,再将乙、丙两人插入前两人形成的3个空中,有种插法,最后甲站正中间,有1种站法,会得出=12种站法的错误结果,因为乙、丙还可以都与甲相邻,即分别站在甲的两侧.
4.B 易知能被2整除的三位数是偶数.当个位数字是0时,有种情况;当个位数字是2或4时,最高位不能是0,则有种情况.所以能被2整除的三位数的个数是+=52.故选B.
易错警示 在与数字有关的排列问题中,“0不排首位”是一个隐含条件,解题时易忽略“0”对特殊位置的要求导致解题错误.
5.答案 144
解析 当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口时,利用“捆绑法”,将甲、乙两名志愿者看作一个整体,再与其余四名志愿者全排列,共有=240种不同的安排方式.当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口,且丙在第一个或最后一个路口时,共有=96种不同的安排方式.故所求安排方式共有240-96=144(种).
易错警示 利用“捆绑法”解决排列问题时,要注意捆绑对象本身的内部排列.
6.B 若将5名专家分成“1,1,3”的形式,则分派方案种数为·=60,若将5名专家分成“1,2,2”的形式,则分派方案种数为·=90,所以分派方案种数为60+90=150.故选B.
易错警示 解决计数问题时,要分清楚是排列问题还是组合问题,即看取出的元素是进行分组还是进行分配,分组问题还要考虑是完全均匀分组,部分均匀分组,还是完全非均匀分组,不能将这几种情况混淆.对于排列问题,可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.
7.答案 84
解析 分3种情况讨论:①只从甲、乙中选出1人参加,有=30种报名方案;②只从丙、丁中选出1人参加,有=30种报名方案;③从甲和乙、丙和丁中各选1人参加,有=24种报名方案.故共有30+30+24=84种不同的报名方案.
8.答案 5
解析 由≤12,得n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)≤12×,化简得n2-7n+10≤0,解得2≤n≤5,又因为n≥5,所以n=5.
易错警示 在解决含参数的排列数、组合数问题时,要注意隐含条件,在()中,m,n∈N*,且n≥m.
9.答案 3
解析 由题意得或解得n=3.
易错警示 由=得m=p或m+p=n.
10.AB 对于A,所有项的二项式系数和为27=128,故A正确;对于B,令x=1,得(2-1)7=1,即所有项的系数和为1,故B正确;对于C,二项式系数最大的项为第4项和第5项,故C错误;对于D,展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r=(-1)r27-r,r=0,1,2,…,7,显然当r=0,2,4,6时为有理项,所以有理项有4项,故D错误.故选AB.
11.解析 (1)由题意知2n=32,则n=5,则(1+mx)n=(1+mx)5,其展开式的通项为=mrxr(r=0,1,…,5),当r=3时,m3=80,所以m=2.
(2)由(1)知,m=2,n=5,所以(1+mx)n(1-x)6=(1+2x)5(1-x)6,(1+2x)5的展开式的通项为=2rxr(r=0,1,…,5),(1-x)6的展开式的通项为=(-1)kxk(k=0,1,…,6).
①令r=0,k=2,此时含x2项的系数为×(-1)2=15;②令r=1,k=1,此时含x2项的系数为×21××(-1)1=-60;③令r=2,k=0,此时含x2项的系数为×22=40.
所以(1+2x)5(1-x)6的展开式中含x2项的系数为15+(-60)+40=-5.
易错警示 (a+b)n的展开式中,第(r+1)项的二项式系数是(r=0,1,2,…,n),仅与n,r有关;第(r+1)项的系数为该项字母前的数连同符号,不一定是二项式系数.注意二项式系数一定为正,而对应项的系数可能为负,解题时不要将两者混淆.
思想方法练
1.A 2.A 4.A 5.A 6.A 7.C 8.D
1.A 如图,记正方体的左侧面为A,右侧面为C,前侧面为D,后侧面为B,底面为E.
以使用颜色的种数为标准进行分类.
若用5种颜色染色,则不同的染法方案种数为=120.
若用4种颜色染色,则必有A,C同色或B,D同色,则不同的染法方案种数为2=240.
若用3种颜色染色,则必有A,C同色且B,D同色,则不同的染法方案种数为=60.
综上,不同的染法方案种数为120+240+60=420.
故选A.
2.A 作出示意图如图所示.
易知三号位演员比一、二、四、五、六号位演员高.
设8名演员的身高按照从矮到高的顺序依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,则三号位演员的编号为6或7或8.
按三号位所选的编号进行分类.
若三号位选6,则先从1,2,3,4,5中选出两个放在一、二号位上,再将余下的3个号放到四、五、六号位,最后将7,8号放到最后两个位置,此时不同的排列方式种数为=10.
若三号位选7,则先从1,2,3,4,5,6中选出两个放在一、二号位上,再将余下的4个号中最小的放到六号位,然后在剩下的3个号中选2个放到四、五号位,最后将余下的号和8号放到最后两个位置,此时不同的排列方式种数为=45.
若三号位选8,则先从1,2,3,4,5,6,7中选出两个放在一、二号位上,再将余下的5个号中最小的放到六号位,然后在剩下的4个号中选2个放到四、五号位,最后将余下的2个号放到最后两个位置,此时不同的排列方式种数为=126.
综上,不同的排列方式种数为10+45+126=181.
故选A.
3.答案 540
解析 按照每组中的人数进行分类.
第一类:把6名工作人员分成1,1,4三组,再安排到三个村,有·=90种不同的安排方式;
第二类:把6名工作人员分成2,2,2三组,再安排到三个村,有·=90种不同的安排方式;
第三类:把6名工作人员分成1,2,3三组,再安排到三个村,有=360种不同的安排方式.
所以共有90+90+360=540种不同的安排方式.
思想方法 分类讨论思想在排列、组合中的应用需重点关注能否根据具体问题的条件确定分类标准,并合理利用两个计数原理解决问题.
4.A 根据题意,该教师所有的上课方法有种,连着上3节课的情况有5种,
将所求问题转化为求问题的反面,即求连上3节课的情况种数,利用总的排列数减去连上3节课的排列数即可,体现了转化与化归思想.
故该教师一天中课表的所有不同排法有-5=474(种),故选A.
5.A 将所求问题转化为求问题的反面,即求颜色相同的小球相邻的排列数,再用总的排列数减去该排列数即为所求,体现了转化与化归思想.
五个小球全排列,共有=120种排法.
当两个红色小球相邻,两个黄色小球相邻时,共有=24种排法;
当两个红色小球相邻,两个黄色小球不相邻时,共有=24种排法;
当两个红色小球不相邻,两个黄色小球相邻时,共有=24种排法.
∴颜色相同的小球不相邻的排法共有120-24-24-24=48(种),故选A.
思想方法 转化与化归思想在排列、组合中的应用主要体现在当直接求解分类情形较多,计算较复杂时,可以采用逆向思维,转化为求问题的反面,利用间接法求解.注意当题目出现的限制条件较多时,可以考虑只对其中一个较复杂的条件利用间接法.
6.A 分两步进行分析:
解决相邻问题可考虑捆绑法,体现了整体思想.
①将A,B看成一个整体,与E全排列,有=4种排法;
②排好后,形成3个空位,将C,D安插在空位中,有=6种排法.
故有4×6=24种不同的加工方法.故选A.
7.C 先排“阅读文章”和“视听学习”两个学习模块,分“阅读文章”模块在前与在后两种情况,再在四个答题模块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题模块插空,由于“阅读文章”不放首位,因此不同的方法种数为+=240.
思想方法 整体思想在排列、组合中的应用主要体现在有特殊对象、特殊位置的题目中,可以把要求相邻的对象看成一个整体,再和其他对象进行排列或组合.此外还应注意看成一个整体的对象内部是否还有顺序的要求.
8.D 的展开式的通项为Tr+1=(3x)n-r·=·3n-r,0≤r≤n,r∈N,
令n-=0,解得n=,
构建关于n,r的关系式,寻找n的最小值.
又因为0≤r≤n,r∈N,n∈N*,
所以当r=2时,n取得最小值,且nmin=3.故选D.
9.答案 -1;0
解析 (1+x)5的展开式的通项为Tr+1=xr(0≤r≤5,r∈N),令r=1,得T2=x=5x;令r=2,得T3=x2=10x2.所以(1+mx)(1+x)5的展开式中含x2项的系数为1×10+m×5=5,解得m=-1,
根据含x2项的系数为5构造方程求解m的值.
故(1+mx)(1+x)5=(1-x)(1+x)5.令x=1,得(a0+a2+a4+a6)+(a1+a3+a5)=(1-1)×(1+1)5=0;令x=-1,得(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=(1+1)×(1-1)5=0.所以a1+a3+a5=0.
10.解析 (1)由题意可知+1=6,解得n=10.
∴的展开式的通项为Tk+1=2kx-2k=·2k,0≤k≤10,且k∈N.
要求该展开式中的有理项,只需令∈Z,
∴k=0,2,4,6,8,10,所有有理项的项数为6.
(2)设第(k+1)项的系数最大,
构造关于k的不等式组求解.
则即解得≤k≤.
又k∈N,∴k=7.∴展开式中系数最大的项为T8=×27=15 360.
思想方法 函数与方程思想在二项式定理中的应用主要有:(1)求展开式中的特定项;(2)求与系数和有关的问题;(3)求展开式中系数最大的项.
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