2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--第七章　随机变量及其分布复习提升

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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第七章　随机变量及其分布
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对条件概率问题理解不清致错
1.(2023江苏百校联考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,设事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2022山东临沂兰陵四中开学考试)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,比赛为三局两胜制,甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为　　(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
易错点2　弄错离散型随机变量的可能取值致错
3.在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,甲、乙两队进行抢答,比赛规定:对于每个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若每个抢答题都有队伍抢答,X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的可能取值是　　　　　.
4.(2022湖北武汉育才高级中学月考)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众需彼此独立地选出3位歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2位.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3位歌手.
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(2)若X表示3号歌手得到的观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列.
5.(2023湖南师大附中质量检测)党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向.为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进高中学生对党的二十大的理解,某校组织开展党的二十大知识竞赛活动,以班级为单位参加比赛,最终甲、乙两班进入了决赛,决赛采取五局三胜制,约定先胜三局者赢得比赛.已知每局比赛中必决出胜负,每一局若甲班先答题,则甲班获胜的概率为,若乙班先答题,则甲班获胜的概率为,每一局输的一方在接下来的一局中先答题,第一局由乙班先答题.
(1)求比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛的概率;
(2)若规定每一局比赛中胜者得2分,负者得0分,记X(单位:分)为比赛结束时甲班的总得分,求随机变量X的分布列和数学期望.
易错点3　混淆二项分布与超几何分布致错
6.(2022湖南三湘名校教育联盟期中联考)某公司生产某种食用菌,为了销往全国各地,把该食用菌分为一级、优级、特级、珍品共四个等级,并以每件0.5 kg的标准进行统一包装.某采购商订购了一批这种食用菌,并从中随机抽取100件,按该食用菌的等级分类标准得到数据如下表:
等级 一级 优级 特级 珍品
件数 20 10 30 40
(1)以样本估计总体,将频率视为概率,从这100件食用菌中有放回地随机抽取3件,求恰好抽到2件珍品的概率;
(2)用分层随机抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件,再从抽取的10件中随机抽取3件,设X表示抽取的珍品件数,求X的分布列及数学期望.
7.(2022山东淄博七中期中)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为[490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品件数;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品件数,求X的分布列及期望;
(3)用样本估计总体,从该流水线上任取5件产品,设Y为质量超过505克的产品件数,求Y的分布列、期望、方差.
易错点4　对正态曲线的特点理解不准确致错
8.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<1)·P(X>3)=,则P(1A.　　B.　　C.　　D.
9.(2022河南期末联考)某袋装加碘食盐的质量X(单位:克)服从正态分布N(500,4),某超市在进货前要在厂家随机抽检这种食盐100袋,则质量在(498,504)内的袋数约为(　　)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.82　　B.80　　C.84　　D.86
思想方法练
一、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用
1.设a,b,c∈(0,1),随机变量ξ的分布列是
ξ 0 1 2
P a b c
若E(ξ)=,D(ξ)=,则(　　)
A.a=,b=　　　　B.a=,b=
C.a=,b=　　　　D.a=,b=
2.某机构欲组建一个有关“垃圾分类”事宜的项目组,对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道.该机构从600位员工中进行筛选,筛选方法如下:每位员工测试A,B,C三项工作,3项测试中至少有2项测试“不合格”的员工将被认定为“暂定”,有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A,B两项,如果这两项中有1项以上(含1项)测试“不合格”,也将被认定为“暂定”,每位员工测试A,B,C三项工作相互独立,每一项测试“不合格”的概率均为p(0(1)记某位员工被认定为“暂定”的概率为f(p),求f(p);
(2)每位员工不需要重新测试的费用为90元,需要重新测试的总费用为150元,除测试费用外,其他费用总计为1万元,若该机构的预算为8万元,且该600位员工全部参与测试,问上述方案是否会超过预算 请说明理由.
二、分类讨论思想在离散型随机变量中的应用
3.(2022河南焦作三校联考)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间(分钟)相互独立,且都是整数,对以往顾客办理业务所需的时间进行统计,结果如下:
办理业务所需 的时间(分钟) 1 2 3 4 5
频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
用频率估计概率,且从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(2)用X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
4.为科学合理地做好小区管理工作,某小区物业提供了A,B两种小区管理方案,为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案,随机选取了4名物业人员进行投票,物业人员的投票规则如下:①单独投给A方案,则A方案得1分,B方案得-1分;②单独投给B方案,则B方案得1分,A方案得-1分;③弃权或同时投票给A,B方案,则两种方案均得0分.当前一名物业人员投票结束后,再安排下一名物业人员投票,当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时,就停止投票,最后选取得分高的方案为小区的最终管理方案.假设A,B两种方案获得每一名物业人员投票的概率分别为和.
(1)在第一名物业人员投票结束后,A方案的得分记为ξ,求ξ的分布列;
(2)求最终选取A方案为小区管理方案的概率.
三、数形结合思想在正态分布中的应用
5.(2022四川仁寿一中月考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)
(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954)
A.906　　B.339　　C.2 718　　D.3 413
6.(2022河北石家庄二中期末)在一次测试中,测试结果X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)内取值的概率为0.2,求:
(1)X在(0,4)内取值的概率;
(2)P(X>4).
答案与分层梯度式解析
第七章　随机变量及其分布
本章复习提升
易混易错练
1.B 2.A 8.A 9.A
1.B　解法一:易得P(A)===,P(AB)==,所以P(B|A)===.故选B.
解法二:因为n(A)=+=4,n(AB)==1,所以P(B|A)==.故选B.
2.A　记事件A:甲获得冠军,事件B:比赛进行了三局,
则事件AB:甲获得冠军且比赛进行了三局,即第三局甲胜,前两局甲胜了一局,
则P(AB)=×××=,
事件A的发生包含两种情况:前两局甲胜和事件AB发生,
则P(A)=+=,
∴P(B|A)===,故选A.
易错警示　条件概率问题常出现的错误有两种:
(1)混淆P(A|B)与P(B|A),其中P(A|B)表示已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率,P(B|A)表示已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率;
(2)混淆P(A|B)与P(AB),其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率.
3.答案　-1,0,1,2,3
解析　X=-1表示:甲队抢到1题且答错,乙队抢到2题且均答错.
X=0表示:甲队没有抢到题,乙队抢到3题且至少答错其中的2题;甲队抢到2题且答对其中的1题,乙队抢到1题且答错.
X=1表示:甲队抢到1题且答对,乙队抢到2题且至少答错其中的1题;甲队抢到3题且答对其中的2题.
X=2表示:甲队抢到2题且均答对.
X=3表示:甲队抢到3题且均答对.
易错警示　本题在随机变量X取值时易漏掉X=-1的情况,致错原因往往是从生活经验出发,以为甲队要获胜肯定至少回答正确一次,没有从问题的背景深入分析.要避免这种错误,可以将事件发生的各种可能一一列出,再针对出现的结果分析随机变量取值的可能性,这样可以做到不重不漏.
4.解析　(1)设事件A为“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”.
由题易知,观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为=.
所以P(A)=×=.
(2)易知X的可能取值为0,1,2,3.
由(1)知,观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙、丙选中3号歌手的概率均为.
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,X=0,
且P(X=0)=×=;
当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,X=1,且P(X=1)=×+××+××=;
当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,X=2,且P(X=2)=××+××+××=;
当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,X=3,且P(X=3)=×=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
5.解析　(1)设“比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛”为事件A,则事件A分为三种情况:①乙第一局胜,其他三局甲胜,②乙第二局胜,其他三局甲胜,③乙第三局胜,其他三局甲胜.所以P(A)=×××+×××+×××=.
(2)X的可能取值为0,2,4,6,
P(X=0)=××=,
P(X=2)=×××+×××+×××=,
P(X=4)=××××+××××+××××+××××+××××+××××=,
P(X=6)=1---=,
所以X的分布列为
X 0 2 4 6
P
E(X)=0×+2×+4×+6×=.
6.解析　(1)设“从这100件食用菌中随机抽取1件,抽到珍品”为事件A,则P(A)==.
设抽到珍品的件数为ξ,则ξ~B,
∴P(ξ=2)=××=.
(2)用分层随机抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件,其中珍品4件,非珍品6件,再从抽取的10件中随机抽取3件,则X的可能取值为0,1,2,3,且X服从超几何分布,
∴P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=×3=.
7.解析　(1)由题中频率分布直方图可知,40件产品中质量超过505克的产品件数为40×(0.05+0.01)×5=12.
(2)由题意可知,随机变量X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
(3)从该流水线上任取一件产品,其质量超过505克的概率为(0.05+0.01)×5=,则Y~B,
P(Y=0)=×=,
P(Y=1)=××=,
P(Y=2)=××=,
P(Y=3)=××=,
P(Y=4)=××=,
P(Y=5)=×=,
则Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4 5
P
E(Y)=5×=1.5,D(Y)=5××=1.05.
易错警示　本题第(2)小题易误认为随机变量X服从二项分布B,从而得到错误的分布列.如果将已知条件改为从40件产品中任意抽取一件后放回,再去抽取一件,那么这样就是二项分布问题了.第(3)小题相当于从n件产品中任意抽取一件,虽然没有放回,但是由于是从流水线上抽取的,所以第二次抽取时,又相当于从n件产品中任意抽取一件,所以可以认为是二项分布问题.二项分布的背景是“n次独立重复试验”,而超几何分布的背景是“在含有M件次品的N件产品中任取n件”.
8.A　因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
所以由正态曲线的对称性可知,P(X<1)=P(X>3),
又P(X<1)·P(X>3)=,
所以P(X<1)=P(X>3)=,
故P(1故选A.
9.A　因为X~N(500,4),所以μ=500,σ=2,
所以498=μ-σ,504=μ+2σ,
故P(498易错警示　在解决与正态分布有关的问题时,要熟记正态曲线的特点,准确应用其特点解题,同时注意分析题目中的条件,在本题中对于X~N(500,4),易错将4作为标准差,而事实上4为方差.
思想方法练
1.B　由分布列的性质可知a+b+c=1.①
由题得E(ξ)=0×a+1×b+2×c=,即b+2c=,②
D(ξ)=×a+×b+×c=,即16a+b+4c=5.③
根据已知条件列关于a,b,c的方程,体现了方程思想.
联立①②③,得解得故选B.
2.解析　(1)由题意知,某位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为p2(1-p)+p3,
某位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为p(1-p)2[1-(1-p)2],
综上可知,f(p)=p2(1-p)+p3+p(1-p)2[1-(1-p)2]=-3p5+12p4-17p3+9p2.
(2)设每位员工测试的费用为X元,则X的可能取值为90,150,
由题意知,P(X=150)=p(1-p)2,P(X=90)=1-p(1-p)2,
所以E(X)=90×[1-p(1-p)2]+150×p(1-p)2=90+180p(1-p)2,p∈(0,1).
令g(x)=90+180x(1-x)2,x∈(0,1),
则g'(x)=180[(1-x)2-2x(1-x)]=180(3x-1)(x-1),
通过研究函数的性质,解决实际中的预算问题,体现了函数思想.
所以当x∈时,g'(x)>0,当x∈时,g'(x)<0,
所以函数g(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以g(x)≤g=90+180××=,
即E(X)≤,
所以此方案的最高费用为1+600××10-4=8(万元).
综上可知,该方案不会超过预算.
思想方法 　函数与方程思想在离散型随机变量中的应用:(1)结合分布列的性质及数学期望或方差的有关知识,利用方程思想构造方程(组)求参数;(2)将事件的概率、随机变量的数学期望或方差视为一个函数,利用函数思想求相关最值.
3.解析　设顾客办理业务所需的时间为Y分钟,用频率估计概率,得Y的分布列为
Y 1 2 3 4 5
P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
(1)记“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”为事件A,则事件A对应三种情形:
将事件A发生的可能情形一一分类讨论,再进行整合,体现了分类讨论思想.
①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.
所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.
(2)X的可能取值为0,1,2.
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49;
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,
所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
4.解析　(1)由题意知,ξ的可能取值为-1,0,1,
P(ξ=-1)=×=,
P(ξ=0)=×+×=,
P(ξ=1)=×=.
∴ξ的分布列为
ξ -1 0 1
P
(2)用M1表示事件“仅前2名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,
P(M1)=[P(ξ=1)]2==.
用M2表示事件“仅前3名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,
P(M2)=·[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)=2××=.
用M3表示事件“4名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,
根据A方案的不同得分情况分类计算概率.
①若A方案比B方案多4分,有两类:
第一类,A方案前三次得了一次1分,两次0分,最后一次得1分,其概率为·[P(ξ=1)]2·[P(ξ=0)]2=;
第二类,A方案前两次得了一次1分,一次-1分,后两次均得1分,其概率为·P(ξ=-1)·[P(ξ=1)]3=.
②若A方案比B方案多2分,有三类:
第一类,A方案四次中得了一次1分,其他三次全为0分,其概率为·P(ξ=1)·[P(ξ=0)]3=;
第二类,A方案前三次得了一次1分,一次0分,一次-1分,最后一次得了1分,其概率为 ·[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)·P(ξ=-1)=;
第三类,A方案前两次得了一次1分,一次-1分,第三次得1分,第四次得0分,其概率为·[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)·P(ξ=-1)=.
故P(M3)=++++=.
∴最终选取A方案为小区管理方案的概率P=P(M1)+P(M2)+P(M3)=++=.
思想方法 　分类讨论思想在离散型随机变量中的应用:(1)对随机变量的取值进行分类;(2)对不同情形的发生进行分类;(3)求解随机变量取某一范围内的值的概率时,先分类求该变量取不同值时的概率,再将所得的概率相加.
5.B　由题意知阴影部分的面积S=P(0则在正方形中随机投掷一个点,该点落在阴影部分的概率P=,
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×=338.75≈339.故选B.
结合正态曲线分析阴影部分的面积,由面积比得概率,从而解决问题.
6.解析　(1)由X~N(2,σ2)知,X对应的正态密度函数的图象的对称轴为直线x=2,画出此正态密度函数的大致图象,如图所示.
画出正态密度函数的图象,根据图象求相应区间的概率.
∵P(0∴P(0(2)结合(1)可知P(X>4)=[1-P(0思想方法　解决有关正态分布的概率问题时,可以画出相应正态密度函数的图象,利用其对称性,把“求某一区间内的概率”问题转化为求“阴影部分的面积”问题.
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