2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--6.2.1　排列　6.2.2　排列数

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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第六章　计数原理
6.2　排列与组合
6.2.1　排列　6.2.2　排列数
基础过关练
题组一　对排列的概念的理解
1.(多选题)下列问题中,属于排列问题的有(　　)
A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长,共有多少种不同的选取方法
B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动,共有多少种不同的选取方法
C.平面上有五个点,任意三点不共线,这五个点最多可确定多少条直线
D.从1,2,3,4四个数字中任选两个组成一个两位数,共有多少个不同的两位数
2.(多选题)从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,下列问题属于排列问题的是(　　)
A.相加可得多少个不同的和
B.相除可得多少个不同的商
C.作为椭圆方程+=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆
D.作为双曲线方程-=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线
题组二　排列数与排列数公式
3.(2023黑龙江哈尔滨德强学校月考)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(2022江西丰城九中期中)若n∈N*且n<20,则(20-n)(21-n)(22-n)…(100-n)=(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
5.(2023江苏盐城中学期中)已知=2,则x=　　　　.
6.(1)解不等式:3+12≤11;
(2)求+的值;
(3)证明:·=.
题组三　无限制条件的排列问题
7.(2023天津河东期中)某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛,则不同选法的种数是　(　　)
A.10　　B.30　　C.60　　D.125
8.8名学生站成两排,前排3人,后排5人,则不同站法的种数为(　　)
A.　　B.+　　C.+　　D.
9.已知直线l:mx+ny=0,若m,n∈{1,2,3,4,5,6},则能得到的不同直线的条数是(　　)
A.22　　B.23　　C.24　　D.25
10.3张卡片正、反面分别标有数字1和2,3和4,5和7,若将这3张卡片并列组成一个三位数,则可以得到　　　　个不同的三位数.
题组四　“在”与“不在”问题
11.由0,1,2,3,4这5个数字组成的无重复数字的五位偶数的个数为(　　)
A.24　　B.54　　C.60　　D.72
12.(2022北京中关村中学期末)期末考试结束后,某班要进行试卷讲评,要求课程表中安排语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课,如果第一节课只能安排语文或数学,最后一节课不能安排语文,则不同的排法共有(　　)
A.192种　　B.216种　　C.240种　　D.288种
13.(2023辽宁沈阳东北育才学校期末)在某校举行的秋季运动会上,甲、乙、丙、丁四名同学参加50米短跑比赛.现将四名同学安排在1,2,3,4这4条跑道上,每条跑道安排一名同学.若甲不在1号跑道上,乙不在2号跑道上,则不同的排法种数为(　　)
A.12　　B.14　　C.16　　D.18
14.(2022湖南张家界期末)将分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的2张卡片上的数字之和为8,则不同的排法共有　　　　种.
15.现有3名男生,4名女生.
(1)若全体排成一排,其中甲不排在最左端也不排在最右端,则共有多少种不同的排法
(2)若全体排成一排,其中甲、乙排在两端,则共有多少种不同的排法
题组五　“相邻”与“不相邻”问题
16.(2022黑龙江哈尔滨六校期末联考)五一期间,李阳的父母带着李阳和李阳的妹妹一家4人去五台山游玩,他们在入口处站成一排拍照留影,若李阳的父母相邻,则这4人不同的站法种数是(　　)
A.24　　B.12　　C.8　　D.6
17.(2023山东德州第一中学期末)某夜市的某排摊位上共有9个铺位,现有6个小吃类店铺,3个饮料类店铺打算入驻,若要求饮料类店铺不能相邻,则可以排出的铺位规划总个数为(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
18.(2023山西运城景胜中学月考)七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两名同学要站在一起,则不同的站法种数为(　　)
A.240　　B.192　　C.96　　D.48
19.(2022广东珠海第二中学月考)某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里,要求“立春”和“春分”两块展板相邻,且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式种数为(　　)
A.24　　B.48　　C.144　　D.240
题组六　“定序”问题
20.(2023辽宁铁岭昌图第一高级中学月考)元宵节灯展后,悬挂的8盏不同的花灯需要取下,如图所示,每次取1盏,则不同的取法有(　　)
A.32种　　B.70种　　C.90种　　D.280种
21.若把英文单词“anyway”的字母顺序写错,则可能出现错误写法的种数为　　　　.
能力提升练
题组　排列数的应用
1.(2022山东济南二模)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000的偶数共有(　　)
A.60个　　B.48个　　C.36个　　D.24个
2.(2023辽宁朝阳北票高级中学月考)某校开展研学活动时进行劳动技能比赛,通过初选,选出A,B,C,D,E,F共6名同学进行决赛,决出第1名到第6名的名次(没有并列名次),A和B去询问成绩,回答者对A说:“很遗憾,你和B都未拿到冠军.”对B说:“你当然不是最差的.”试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有(　　)
A.720种　　B.600种　　C.480种　　D.384种
3.(2022山西大学附属中学期中)A,B,C,D,E五人站成一排,已知A和C分别站在B的两边(可以与B相邻,也可以与B不相邻),则不同的站法种数为(　　)
A.12　　B.16　　C.28　　D.40
4.(2023河南南阳第一中学月考)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.下图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案种数为(　　)
A.180　　B.192　　C.300　　D.420
5.(2023广东深圳中学期中)用1,2,3,4,5,6这六个数组成六位数(没有重复数字),要求任何两个相邻数字的奇偶性不同,且1和2相邻,则这样的六位数的个数是　　　　.
6.(2022湖南岳阳一模)将唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单,其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有　　　　种.(结果用数字作答)
7.(2022浙江金华期末)为庆祝建党100周年,某高校选派3位男同学、3位女同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会,在安排节目顺序的时候,要求男同学先讲,3位女同学不能连着讲,则不同的安排顺序共有　　　　种.
8.(2022河南郑州中学月考)2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年纪念日,将2,0,1,9,10按照任意次序排列成一行,拼成一个六位数,则可得到的不同的六位数的个数为　　　　(用数字作答).
9.(2023湖北武汉5G联合体期中)某班级的课程表要排历史、语文、数学、物理、体育、英语,共6节课.
(1)若数学必须比语文先上,则不同的排法有多少种
(2)如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排法
(3)原定的6节课已排好,学校临时通知要增加生物、化学、地理这3节课,若将这3节课插入原课程表中且原来的6节课相对顺序不变,则有多少种不同的排法
答案与分层梯度式解析
第六章　计数原理
6.2　排列与组合
6.2.1　排列　6.2.2　排列数
基础过关练
1.AD 2.BD 3.A 4.D 7.C 8.D 9.B 11.C
12.B 13.B 16.B 17.A 18.B 19.C 20.B
1.AD　
方法总结　判断一个具体问题是不是排列问题,就看取出元素后排列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应由具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.
2.BD　因为加法满足交换律,所以A中问题不是排列问题;因为除法不满足交换律,所以B中问题是排列问题;若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,所以C中问题不是排列问题;在双曲线-=1中,不管a>b还是a3.A　===.故选A.
4.D　(20-n)(21-n)(22-n)…(100-n)表示81个连续正整数的乘积,其中最大因数为100-n,所以(20-n)(21-n)(22-n)…(100-n)=.故选D.
5.答案　3
解析　由题意可知解得x≤5,且x∈N*.
因为=2,所以=2×,化简得x2-13x+30=0,解得x=3或x=10(舍去).
6.解析　(1)由题意得3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11(x+1)x,化简得2x2-7x+3≤0,
即(2x-1)(x-3)≤0,解得≤x≤3.
易知x≥2,且x∈N*,∴不等式的解集为{2,3}.
(2)由题意得解得2≤n≤,∵n∈N*,∴n=2,∴+=+=24+2=26.
(3)证明:∵·=·(n-m)!
=·(n-m)!=(n-1)!,=(n-1)!,
∴·=.
7.C　根据题意,选出的3人有顺序的区别,则有=60种不同的选法.
8.D　解法一:8名学生站成两排,前排3人,后排5人,等价于8人站成一排,故有种不同站法.
解法二:先安排后排5人,有种不同站法,再安排前排3人,有种不同站法,故共有=种不同站法.
9.B　当m,n相等时,只能得到1条直线;当m,n不相等时,有=30种情况,但==,==,=,=,=,=,重复了8条直线,因此共能得到1+30-8=23条不同的直线.故选B.
10.答案　48
解析　分两步:
第一步:确定排在百位、十位、个位上的卡片,即3个元素的一个全排列,即;
第二步:分别确定百位、十位、个位上的数字,各有2种选法,即23.
根据分步乘法计数原理,可以得到×23=48个不同的三位数.
11.C　当个位数字是0时,五位偶数的个数为=24,
当个位数字是2或4时,五位偶数的个数为=36,故所求五位偶数的个数为24+36=60.故选C.
12.B　①若第一节课安排语文,则后面五节课的安排无限制,有种排法;②若第一节课安排数学,则语文可安排在中间四节课中的任何一节,剩余四节课的安排无限制,有4种排法.所以不同的排法共有+4=216(种).故选B.
13.B　①若甲在2号跑道上,乙、丙、丁在剩余3条跑道中可随意选择,则有=6种排法;②若甲不在2号跑道上,则甲只能在3号或4号跑道上,乙不能在2号跑道上,只能在甲选择后剩余的2条跑道中选择1条,而丙、丁在剩余2条跑道中可随意选择,所以甲不在2号跑道上的排法有2×2×=8(种).所以共有6+8=14种不同的排法.故选B.
14.答案　64
解析　分两步:①中间行的2张卡片上的数字之和为8,则中间行的数字只能为2,6或3,5,共有2=4种排法;②将剩下的4个数字安排在其他4个位置上,有4×2×=16种排法.故共有4×16=64种不同的排法.
15.解析　(1)解法一(元素分析法):先排甲,有5种排法,再排其余6人,有种排法,共有5×=3 600种不同的排法.
解法二(位置分析法):因为甲不排在两端,所以先从甲以外的6个人中任选2个人排在两端,有种排法;再将其余5个人排在中间5个位置上,有种排法.由分步乘法计数原理,可知共有=3 600种不同的排法.
(2)首先考虑两端位置,由甲、乙去排,有种排法;再将其余5个人排在中间5个位置上,有种排法.根据分步乘法计数原理,共有=240种不同的排法.
16.B　先安排李阳的父母,有种站法,然后将其看成一个整体与李阳及其妹妹站成一排,有种站法,所以这4人不同的站法种数是=12.故选B.
17.A　先将6个小吃类店铺进行全排列,再从这6个小吃类店铺的7个空位中选3个安排饮料类店铺,故排出的铺位规划总个数为.故选A.
18.B　当乙、丙在甲的左侧时,不同的站法种数为·=96;同理,当乙、丙在甲的右侧时,不同的站法种数也为96.所以不同的站法种数为96×2=192.故选B.
19.C　将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体,与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列,再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空,所以不同的放置方式种数为=2×6×12=144.故选C.
20.B　因为取花灯时每次只能取1盏,所以每串花灯必须先取下面的花灯,即每串花灯取下的顺序确定,故不同的取法有=70(种).故选B.
21.答案　179
解析　英文单词“anyway”中有2个“a”,2个“y”,1个“n”,1个“w”,这6个字母的排列顺序共有=180(种),则可能出现错误写法的种数为180-1=179.
能力提升练
1.C 2.D 3.D 4.D
1.C　先排个位,然后排万位,再排其他位置,所以由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中小于50 000的偶数共有2×3×=36(个).故选C.
2.D　由题意,可知A,B均不是第一名且B不是最后一名,B的限制最多,故先排B,有4种情况,再排A,也有4种情况,余下4人有=24种情况.由分步乘法计数原理知有4×4×24=384种情况.故选D.
3.D　若A和C中间有1人,则必是B,所以不同的站法种数为=12;若A和C中间有2人,则必有一人是B,B的排法有种,再选一人放中间,有种排法,最后一人放在最左或最右,有种排法,所以不同的站法种数为=16;若A和C中间有3人,则不同的站法种数为=12.
综上,不同的站法种数为12+16+12=40.故选D.
4.答案　D　
思路分析　
思路一:
思路二:
解析　解法一:不同的涂色方案种数为×(1×+)=420.
解法二:不同的涂色方案种数为+2+=420.
5.答案　40
解析　先排3,5,有种排法,再排4,6,有2种排法,最后将1和2看成一个整体(奇偶性由左右两数的奇偶性确定,不需再排),插空排列,有种排法,所以满足题意的六位数的个数是·2·=40.
6.答案　36
解析　先考虑相声、跳舞相邻的情况,将相声、跳舞这两个节目进行捆绑,形成一个元素,然后将这个元素与其他三个节目进行全排列,共有=48种排法.
接下来考虑相声与小品、跳舞都相邻的情形,需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑,其中相声节目位于中间,看成一个元素,然后将这个元素与其他两个节目进行全排列,共有=12种排法.
由间接法可知,共有48-12=36种不同的排法.
7.答案　252
解析　分为两种情况:
第一种,3位女同学全部不连着讲,由于男同学先讲,故有=36种情况;
第二种,3位女同学中有2位连着讲,男同学进行全排列,有种,再从3位女同学中选2位同学连着讲,有3种选择,最后将2位连着讲的女同学和另一位女同学插入到3位男同学形成的除去最开始的三个空位上,有种,故有×3×=216种情况.
综上,共有36+216=252种不同的安排顺序.
8.答案　84
解析　根据题意,将2,0,1,9,10按照任意次序排列成一行,其中“10”是一个整体,则有=120种情况,
其中数字“0”在首位的情况有=24(种),数字“1”和“0”相邻且“1”在“0”之前的排法有=12(种),故可以得到120-24-12=84个不同的六位数.
9.解析　(1)若数学必须比语文先上,则不同的排法有=360(种).
(2)如果体育排在最后一节,那么有=120种排法;
如果体育不排在最后一节,也不排在第一节,且数学不排在最后一节,有4×4×=384种排法.
所以共有120+384=504种排法.
(3)若将这3节课插入原课程表中且原来的6节课相对顺序不变,则有=504种不同的排法.
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