2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--6.3.1　二项式定理

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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第六章　计数原理
6.3　二项式定理
6.3.1　二项式定理
基础过关练
题组一　二项式定理的正用与逆用
1.若(1+)4=a+b(a,b均为有理数),则a+b=(　　)
A.33　　B.29　　C.23　　D.19
2.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于　(　　)
A.(x-1)3　　　　B.(x-2)3
C.x3　　　　D.(x+1)3
3.(2022安徽亳州第一中学期末)设A=37+×35+×33+×3,B=×36+×34+×32+1,则A-B的值为(　　)
A.128　　B.129　　C.47　　D.0
4.(2022北京东城期末)已知3n+3n-1+3n-2+…+×3+=1 024,则n=　　　　.
题组二　展开式中的特定项及特定项的系数
5.(2022云南昆明一模)(2x-1)5的二项展开式中,第4项的系数为(　　)
A.-80　　B.-40　　C.40　　D.80
6.(2023浙江精诚联盟月考)已知(1-2x)n的展开式中含x3项的系数是-160,则n为(　　)
A.5　　B.6　　C.7　　D.8
7.(2022河南郑州四中期末)的展开式中,第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44,则展开式中的常数项是(　　)
A.第3项　　　　B.第4项
C.第7项　　　　D.第8项
8.(2022湖南株洲一模)在的展开式中,系数是有理数的项共有(　　)
A.6项　　B.5项　　C.4项　　D.3项
9.(2022四川眉山二模)(x-2)5的展开式中,含x2项的系数为(　　)
A.120　　B.40　　C.-40　　D.-80
10.(2023天津耀华中学期中)的展开式中的常数项是　　　　.(用数字作答)
11.(2023江西南昌月考)(2x-y)5的展开式中x2y3的系数是　　　　.(用数字作答)
12.的展开式中的常数项为　　　　.
13.(2023福建龙岩一中开学考试)已知在的展开式中,前三项的系数成等差数列.
(1)求展开式中含x的项的系数;
(2)求展开式中的有理项.
能力提升练
题组一　展开式中的特定项及特定项的系数
1.(2023山西大学附属中学期中,)在的展开式中,若含x2项的系数为80,则实数a=(　　)
A.　　B.2　　C.3　　D.4
2.(2022山东临沂一模,)在的展开式中,无理项的项数为(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.5
3.(2023湖北六校期中联考)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7的展开式中,含x3的项的系数为(　　)
A.25　　B.65　　C.-25　　D.-65
4.(2022福建泉州期末,)(x2-x+1)·(x+1)6的展开式中x7的系数为(　　)
A.5　　B.6　　C.7　　D.15
5.(2022湖北鄂州一模,)已知(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为80,则m的值为(　　)
A.-2　　B.2　　C.-1　　D.1
6.(2023黑龙江哈尔滨六校期末联考)若(2x-5)5=a0(x-2)5+a1(x-2)4+a2(x-2)3+…+a5,则a1=(　　)
A.80　　B.50　　C.-40　　D.-80
7.(2023河南洛阳月考,)x+-y10的展开式中,x3y7的系数为　　　　.
8.(2023浙江乐清知临中学月考,)在(-1)6·(2+1)9的展开式中,x的系数为　　　　.
题组二　二项式定理的应用
9.(2022湖南岳阳部分学校期末联考)1.957的计算结果精确到个位的近似值为(　　)
A.106　　B.107　　C.108　　D.109
10.(2022福建福州闽侯期末)今天是星期三,经过7天后还是星期三,那么经过82 021天后是(　　)
A.星期二　　　　B.星期三
C.星期四　　　　D.星期五
11.(2022浙江宁波部分中学期末联考)设n∈N*,则5+52+53+…+5n除以7的余数为　(　　)
A.0或5　　　　B.1或3
C.4或6　　　　D.0或3
12.(2023山东泰安期中)若a∈N,且502 023+a能被17整除,则a的最小值为(　　)
A.0　　B.1　　C.16　　D.18
13.证明:(1)5151-1能被7整除;
(2)当n∈N*时,(1+)n+(1-)n为偶数.
答案与分层梯度式解析
第六章　计数原理
6.3　二项式定理
6.3.1　二项式定理
基础过关练
1.B 2.C 3.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9.B
1.B　∵(1+)4=×()0+×()1+×()2+×()3+×()4=17+12=a+b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.C　S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1
=(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+
=[(x-1)+1]3=x3.
3.A　A-B=×37-×36+×35-×34+×33-×32+×31-×30=(3-1)7=27=128.
4.答案　5
解析　3n+3n-1+3n-2+…+×3+=3n×10+3n-1×11+3n-2×12+…+31×1n-1+30×1n=(3+1)n=4n=1 024=210,即22n=210,解得n=5.
5.B　(2x-1)5的二项展开式中的第4项为T4=·(2x)2·(-1)3=-40x2,所以所求系数为-40.故选B.
6.B　(1-2x)n的展开式的通项为Tr+1=(-2x)r=(-2)rxr,r=0,1,2,…,n.
令r=3,得(-2)3=-160,解得n=6.故选B.
7.B　由题意可得 -=44,即(n+8)(n-11)=0,∴n=11.故=,
其展开式的通项为 Tr+1=(x)11-r=(0≤r≤11,r∈N),
令=0,得r=3,∴展开式中的常数项是第4项,故选B.
8.C　的展开式的通项为=·()20-r·=(-1)r···(0≤r≤20,r∈N).
令k=,只有当r=2,8,14,20时,k为整数.故系数是有理数的项共有4项.故选C.
易错警示　解决二项展开式中的特定项问题时,要注意问题的形式,分清是项、项的系数、还是二项式系数,如本题的问题是“系数是有理数的项”,而不是“有理项”,系数是有理数的项指系数的指数为整数的项,有理项是该项字母的指数为整数的项.
9.B　由(x-2)5=x(x-2)5-(x-2)5,可得其展开式中含x2的项为x·x·(-2)4-·x3·(-2)2=80x2-40x2=40x2,故含x2项的系数为40.
故选B.
10.答案　24
解析　展开式的通项为Tr+1=(2x)4-r=24-r·x4-2r,r=0,1,2,3,4.
令4-2r=0,得r=2,所以展开式中的常数项为T3=×22=24.
11.答案　-40
解析　(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r·(-y)r=·25-r·(-1)rx5-ryr,r=0,1,2,3,4,5,所以展开式中x2y3的系数是×22×(-1)3=-40.
12.答案　-252
解析　解法一:==,(x-1)10的展开式的通项为=·x10-r(-1)r,r=0,1,…,10,令10-r=5,得r=5,此时T6=-x5=-252x5,可得常数项为-252.
解法二:当x>0时,=,其展开式的通项为=()10-r=(-1)r·x5-r,r=0,1,…,10,令5-r=0,得r=5,此时常数项为-=-252;当x<0时,=-,同理可得常数项为-=-252.故所求常数项为-252.
解法三:表示5个因式的乘积,要得到常数项有以下方式:
(1)5个式子都取-2,相乘得(-2)5=-32;(2)5个式子取1个x,取1个,余下的都取-2,得×(-2)3=-160;(3)5个式子取2个x,取2个,取1个-2,得×(-2)1=-60.
故所求常数项为-32-160-60=-252.
13.解析　的展开式的通项为Tr+1=·()n-r··=·,r=0,1,2,…,n,
∴展开式中前三项的系数分别为1,,.
由题意得1+=n,解得n=1(舍去)或n=8.
当n=8时,=,则展开式的通项为Tr+1=·,r=0,1,2,…,8.
(1)令=1,得r=4,∴展开式中含x的项的系数为×=.
(2)由题意得∈Z,∴r能被4整除.
当r=0时,=4,T1=x4=x4;
当r=4时,=1,T5=×x=x;
当r=8时,=-2,T9=×x-2=.
∴展开式中的有理项为x4,x,.
解题模板　含参数的二项式问题,需先结合通项求出参数的值,再对通项中的r赋值,解题时要准确把握条件的含义.
能力提升练
1.B 2.B 3.D 4.A 5.A 6.D 9.B 10.C
11.A 12.B
1.B　展开式的通项为Tr+1=(ax2)5-r=a5-r·(-1)rx10-4r,r=0,1,2,3,4,5.
令10-4r=2,得r=2,则含x2项的系数为a3=10a3=80,解得a=2.故选B.
2.B　的展开式的通项为Tr+1=(2)6-r·=26-r·,0≤r≤6,r∈N,
当r=0,2,4,6时,对应的项为有理项,
即有4个有理项,而展开式共有7项,
故的展开式中无理项的项数为3.故选B.
3.D　(1-x)n的展开式的通项为Tr+1=·(-x)r=·(-1)r·xr,r=0,1,2,…,n,
所以含x3的项的系数为×(-1)3+×(-1)3+×(-1)3=-10-20-35=-65.故选D.
4.A　(x+1)6的展开式的通项为Tr+1=x6-r,0≤r≤6,r∈N,
令6-r=5,得r=1,则x2·x5=6x7;
令6-r=6,得r=0,则-x·x6=-x7.
∴展开式中x7的系数为6-1=5.故选A.
5.A　(2x-y)5=(2x-y)5+my(2x-y)5,
其中,(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=x-1·(2x)5-r(-y)r=(-1)r·25-rx4-ryr,0≤r≤5,r∈N,
令无解,即(2x-y)5的展开式中没有含x2y4的项;
my(2x-y)5的展开式的通项为Tk+1=my(2x)5-k·(-y)k=(-1)k·25-kmx5-kyk+1,0≤k≤5,k∈N,
令得k=3,即my(2x-y)5的展开式中含x2y4的项的系数为(-1)3×25-3m=-40m.
又(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为80,
所以-40m=80,解得m=-2.故选A.
6.D　设x-2=t,则x=t+2,所以(2t-1)5=a0t5+a1t4+a2t3+…+a5,(2t-1)5的展开式的通项为Tr+1=(2t)5-r·(-1)r=(-1)r·25-r··t5-r,r=0,1,2,3,4,5.
令5-r=4,得r=1,所以a1=(-1)1×24×=-80.
故选D.
7.答案　-120
解析　的展开式的通项为Tk+1=·(-y)k,k=0,1,2,…,10,
所以只有T8=(-y)7包含x3y7.
的展开式的通项为Tr+1=x3-r=·x3-2r,r=0,1,2,3,令3-2r=3,得r=0,
所以x3y7的系数为(-1)7×=-120.
8.答案　687
解析　(-1)6的展开式的通项为Tr+1=()6-r·(-1)r=·(-1)r,r=0,1,2,…,6.
(2+1)9的展开式的通项为Tk+1=(2)9-k=·29-k,k=0,1,2,…,9.
所以(-1)6·(2+1)9的展开式的通项为Tr+1,k+1=·(-1)r··29-k=·(-1)r·29-k·,其中r=0,1,2,…,6,k=0,1,2,…,9.令6--=1,得3r+2k=30,所以r=4,k=9或r=6,k=6,
所以展开式中x的系数为×(-1)4×20+×(-1)6×23=687.
9.B　1.957=(2-0.05)7=27-×26×0.05+×25×0.052-…-0.057≈27-×26×0.05+×25×0.052=128-22.4+1.68=107.28≈107.故选B.
10.C　因为82 021=(1+7)2 021=+×7+×72+…+×72 021,所以82 021被7除的余数为1,故经过82 021天后是星期四,故选C.
11.A　1+5+52+53+…+5n-1=(1+5)n-1=(7-1)n-1=7n-7n-1+7n-2-…+7×(-1)n-1·+(-1)n-1,此展开式中,除了最后两项外,其余的各项均能被7整除,故它除以7的余数即为(-1)n-1除以7的余数,即为0或5,故选A.
12.B　502 023+a=(51-1)2 023+a=×512 023+×512 022×(-1)+…+×51×(-1)2 022+×(-1)2 023+a.因为502 023+a能被17整除,×512 023+×512 022×(-1)+…+×51×(-1)2 022能被17整除,所以×(-1)2 023+a也能被17整除,所以-1+a=17k,k∈Z,即a=17k+1,k∈Z,又a∈N,所以a的最小值为1.故选B.
13.证明　(1)5151-1=(49+2)51-1=×4951+×4950×2+…+×49×250+×251-1,
易知除×251-1以外各项都能被7整除.
又×251-1=(23)17-1=(7+1)17-1
=×717+×716+…+×7+-1
=7×(×716+×715+…+),
显然上式能被7整除,∴5151-1能被7整除.
(2)(1+)n=()0+()1+()2+…+()n,
(1-)n=(-)0+(-)1+(-)2+…+·(-)n.
当n为正奇数时,(1+)n+(1-)n=2[·()0+()2+…+()n-1]=2(+3+…+),显然+3+…+为正整数,
所以(1+)n+(1-)n=2(+3+…+)为偶数;
当n为正偶数时,(1+)n+(1-)n=2[()0+()2+…+()n]=2(+3+…+),显然+3+…+为正整数,
所以(1+)n+(1-)n=2(+3+…+)为偶数.
综上,当n∈N*时,(1+)n+(1-)n为偶数.
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