2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--6.3.2 二项式系数的性质
文档属性
| 名称 | 2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--6.3.2 二项式系数的性质 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 995.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-16 15:02:30 | ||
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文档简介
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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
基础过关练
题组一 二项式系数的和与对称性
1.(2023河北邢台第一中学月考)在(1+x)5的展开式中,各二项式系数的和是( )
A.2 B.8
C.16 D.32
2.(2023江苏南京江浦高级中学期中)在的展开式中,第4项和第5项的二项式系数相等,则展开式中x5的系数为( )
A. B.- C. D.-
3.在的展开式中,所有奇数项的二项式系数之和为1 024,则中间项的二项式系数是( )
A.462 B.330
C.682 D.792
题组二 二项式系数的增减性与最值问题
4.(多选题)(2023福建厦门外国语学校月考)在(1+x)n(n∈N*)的展开式中,若第6项为二项式系数最大的项,则n的值可能为( )
A.11 B.10
C.9 D.8
5.(2022上海建平中学月考)在的展开式中,系数最大的项是第 项( )
A.3 B.4
C.5 D.6
6.(2022江苏常州部分学校期末联考)已知(1-x)2 021=a0+a1x+…+a2 021x2 021,则系数a0,a1,…,a2 021中最小的是( )
A.a0 B.a1 010
C.a1 011 D.a2 021
7.(2022江苏扬州高邮中学月考)已知的二项展开式中各二项式系数之和为64,则下列结论正确的是( )
A.二项展开式中各项系数之和为37
B.二项展开式中二项式系数最大的项为90
C.二项展开式中无常数项
D.二项展开式中系数最大的项为240x3
题组三 赋值法求系数和
8.(2023河南驻马店部分学校期末联考)若的展开式中所有项的系数的绝对值之和为,则展开式中二项式系数最大的项为( )
A.-x3 B.x4 C.-20x3 D.15x4
9.(2022福建厦门双十中学期中)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
10.(2022北京师范大学附属实验中学月考)已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则|a0|+|a1|+…+|a5|=( )
A.1 B.243 C.121 D.122
11.(2021湖南长沙市一中月考)若(1+2x)2 020=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a2 020(x+2)2 020,则a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020= .
12.(2023浙江诸暨二中期中)若x10+1=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a0+a2+…+a10= .
13.已知多项式(x+1)5=a0(x-1)5+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a1+…+a5= .
能力提升练
题组一 二项式系数的性质及其应用
1.(多选题)(2023山东德州陵城一中期末)已知(a>0,n∈N*)的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( )
A.展开式的各奇数项的二项式系数的和为256
B.展开式的第6项的系数与其二项式系数相等且最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
2.已知(n∈N*)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比为10∶1,则展开式中系数最大的项为 .
3.(2022河北石家庄部分中学期末联考)已知(+x2)2n(n∈N*)的展开式的各二项式系数之和比(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和大992,求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
题组二 赋值法求系数和
4.(多选题)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021,则( )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 021
B.展开式中所有奇数项系数的和为
C.展开式中所有偶数项系数的和为
D.+++…+=-1
5.(2022江西部分学校期末联考)若(1+2x)(1-x+x2)9=a0+a1x+a2x2+…+a19x19,则a1+a2+…+a18的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(2022江西黎川一中期末)已知(x2+1)(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a2+a4+a6+a8=( )
A.10 935 B.5 546 C.5 467 D.5 465
7.若(3x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值是( )
A.15 B.-32 C.-27 D.-17
8.(多选题)(2023浙江台州九校联盟期中联考)若对任意的实数x,有(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,则下列结论成立的是( )
A.a0=1
B.a2=84
C.a0-a1+a2-…-a7=-37
D.|a0|+|a1|+…+|a7|=37
9.在(2x-3y+1)5的展开式中,不含y的所有项的系数和为 (用数值作答).
10.(2022湖南益阳箴言中学期中)若x2+x8=a0+a1(x+1)+…+a7(x+1)7+a8(x+1)8,则a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= .
答案与分层梯度式解析
第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
基础过关练
1.D 2.B 3.A 4.ABC 5.C 6.C 7.D 8.A
9.A 10.B
1.D 在(1+x)5的展开式中,各二项式系数的和是25=32.故选D.
2.B 由题意得=,所以n=7,
所以=,其展开式的通项为=··=··,r=0,1,…,7.令=5,得r=3,所以展开式中x5的系数为×=-.故选B.
3.A 由题意得2n-1=1 024,解得n=11,所以中间项的二项式系数是==462.故选A.
4.ABC 当n=11时,二项式系数最大的项是第6项和第7项,符合题意;当n=10时,二项式系数最大的项是第6项,符合题意;当n=9时,二项式系数最大的项是第5项和第6项,符合题意;当n=8时,二项式系数最大的项是第5项,不符合题意.故选ABC.
5.C 的展开式的通项为Tr+1=x7-r·=(-1)rx7-2r,0≤r≤7,r∈N,
要求系数最大的项,则r必须为偶数,
分别令r=0,2,4,6,
可得其对应项的系数为1,,,,
因为>>>1,所以当r=4时满足条件,
故系数最大的项是第5项.故选C.
6.C 易知展开式中二项式系数最大的项为第1 011项与第1 012项,展开式中各项的系数的绝对值与各项的二项式系数相等,
则|a1 010|=|a1 011|,又a1 010>0,a1 011<0,
所以系数a0,a1,…,a2 021中最小的是a1 011.故选C.
7.D 由的二项展开式中各二项式系数之和为64,可得2n=64,解得n=6,
所以=,其展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=26-r,r=0,1,…,6.
对于A,令x=1,得二项展开式中各项系数之和为36,故A错误;
对于B,因为n=6,所以展开式中共有7项,则第4项的二项式系数最大,且T4=23×=160,故B错误;
对于C,令6-r=0,得r=4,即展开式中第5项为常数项,故C错误;
对于D,设第(r+1)项的系数最大,则即解得≤r≤,因为r=0,1,…,6,所以r=2,即系数最大的项为第3项,T3=24×x3=240x3,故D正确.故选D.
解题模板 求二项展开式中系数最大的项,先设展开式中第(k+1)项的系数ak+1最大,再利用求出k的取值范围,结合k∈N,确定k的值,进而解决问题.
8.A 令x=-1,得各项系数的绝对值之和为=,解得n=6,所以展开式中二项式系数最大的项为×(-x)3=-x3.故选A.
9.A 对于(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4,所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4×(-2+)4=1.故选A.
10.B ∵(2x-1)5=25x5-24x4+23x3-…-=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
∴a0<0,a1>0,a2<0,a3>0,a4<0,a5>0.
令x=-1,得a0-a1+…-a5=-35,
∴|a0|+|a1|+…+|a5|=-a0+a1-…+a5=-(a0-a1+…-a5)=35=243.故选B.
11.答案 1-32 020
解析 令x=-2,得(1-4)2 020=a0,即a0=32 020,
令x=0,得12 020=a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020,
即a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1,
故a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1-a0=1-32 020.
12.答案 513
解析 令x=0,得1=a0+a1+a2+…+a9+a10,①
令x=-2,得(-2)10+1=a0-a1+a2-…-a9+a10,②
①+②,得2(a0+a2+…+a10)=210+2,
即a0+a2+…+a10=513.
13.答案 31
解析 令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5=25=32,
令x=0,得-a0=1,即a0=-1,
所以a0+a1+…+a5=32-1=31.
能力提升练
1.BCD 4.ABD 5.A 6.D 7.D 8.CD
1.BCD 由(a>0,n∈N*)的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知=,故n=10,
因为展开式的各项系数之和为1 024,即当x=1时,(a+1)10=1 024,所以a=1,
所以=(x2+)10,其展开式的各二项式系数的和为210=1 024,各奇数项的二项式系数的和为×1 024=512,故A错误;
由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x2与的系数均为1,所以展开式的二项式系数与系数相同,即第6项的系数与其二项式系数相等且最大,故B正确;
由通项Tr+1=x2(10-r)·=(0≤r≤10,r∈N),可得当20-r=0,即r=8时,展开式中存在常数项,故C正确;
令20-r=15,得r=2,所以展开式中含x15项的系数为=45,故D正确.
故选BCD.
2.答案 1 792x-11
解析 由题意知,第5项的系数为·(-2)4,第3项的系数为·(-2)2,则=10,
化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),
故=,其展开式的通项为Tr+1=()8-r·=(-2)r(0≤r≤8,r∈N),则展开式中第(r+1)项的系数的绝对值为·2r.
设第(r+1)项的系数的绝对值最大,
则解得5≤r≤6(r∈N).
又第6项的系数为负,
所以系数最大的项为T7=×(-2)6x-11=1 792x-11.
3.解析 (+x2)2n的展开式的各二项式系数之和为22n,
(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和为2n+1-1=2n.
由题意得22n-2n=992,解得n=5,
所以=.
(1)的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即(2x)50=250.
(2)的展开式的通项为=·(2x)100-r=·2100-r·(-1)r·x100-2r,0≤r≤100,r∈N,其系数的绝对值为·2100-r,
设系数的绝对值最大的项是第(k+1)项,
则解得≤k≤,
∵k∈N,∴k=33,
∴系数的绝对值最大的项为第34项,即T34=×267×(-1)33x34=-267x34.
4.ABD 对于A,展开式中所有项的二项式系数之和为22 021,故A正确;
对于B,令x=-1,得32 021=a0-a1+a2-a3+…-a2 021,①
令x=1,得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2 021,②
①+②,可得32 021-1=2(a0+a2+…+a2 020),
∴a0+a2+…+a2 020=,故B正确;
对于C,①-②,得32 021+1=-2(a1+a3+…+a2 021),
∴a1+a3+…+a2 021=-,故C错误;
对于D,令x=0,得a0=1,
令x=,得0=a0++++…+,
∴+++…+=-1,故D正确.
5.A 令x=0,得a0=1,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a18+a19=(1+2)×(1-1+1)9=3,又(1+2x)(1-x+x2)9的展开式中含x19的项为2x·(x2)9=2x19,所以a19=2,
所以a1+a2+…+a18=3-a0-a19=3-1-2=0,故选A.
6.D 令x-1=t,得(t2+2t+2)(1+2t)7=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,令t=0,得a0=2,令t=1,得a0+a1+a2+…+a9=10 935,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a9=-1,
所以a0+a2+a4+a6+a8==5 467,所以a2+a4+a6+a8=5 467-a0=5 467-2=5 465.故选D.
7.D 令x=0,可得(-2)5=a0,所以a0=-32,
设f(x)=(3x-2)5,g(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
则f '(x)=3×5×(3x-2)4,
g'(x)=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,
所以3×5×(3x-2)4=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,
令x=1,可得15=a1+2a2+3a3+4a4+5a5,
所以a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-32+15=-17.
故选D.
8.CD 令x=1,得a0=-1,故A错误.
(2x-3)7=[2(x-1)-1]7,其展开式的通项为Tr+1=·(-1)r(r=0,1,2,…,7).
令7-r=2,得r=5,所以T6=[2(x-1)]2·(-1)5=-84(x-1)2,即a2=-84,故B错误.
易知a0,a2,a4,a6均为负数,a1,a3,a5,a7均为正数,
令x=0,得a0-a1+a2-…-a7=-37,
所以|a0|+|a1|+…+|a7|=-a0+a1-…+a7=37,故C、D正确.
故选CD.
9.答案 243
解析 要求(2x-3y+1)5的展开式中不含y的项,只需令y=0,所以(2x-3y+1)5的展开式中不含y的所有项的系数和为(2x+1)5的展开式中各项的系数和,令x=1,得35=243.
10.答案 29
解析 令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0,又因为x2+x8=[(x+1)-1]2+[(x+1)-1]8,所以a2=(-1)0+(-1)6=29,
所以a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a2=29.
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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
基础过关练
题组一 二项式系数的和与对称性
1.(2023河北邢台第一中学月考)在(1+x)5的展开式中,各二项式系数的和是( )
A.2 B.8
C.16 D.32
2.(2023江苏南京江浦高级中学期中)在的展开式中,第4项和第5项的二项式系数相等,则展开式中x5的系数为( )
A. B.- C. D.-
3.在的展开式中,所有奇数项的二项式系数之和为1 024,则中间项的二项式系数是( )
A.462 B.330
C.682 D.792
题组二 二项式系数的增减性与最值问题
4.(多选题)(2023福建厦门外国语学校月考)在(1+x)n(n∈N*)的展开式中,若第6项为二项式系数最大的项,则n的值可能为( )
A.11 B.10
C.9 D.8
5.(2022上海建平中学月考)在的展开式中,系数最大的项是第 项( )
A.3 B.4
C.5 D.6
6.(2022江苏常州部分学校期末联考)已知(1-x)2 021=a0+a1x+…+a2 021x2 021,则系数a0,a1,…,a2 021中最小的是( )
A.a0 B.a1 010
C.a1 011 D.a2 021
7.(2022江苏扬州高邮中学月考)已知的二项展开式中各二项式系数之和为64,则下列结论正确的是( )
A.二项展开式中各项系数之和为37
B.二项展开式中二项式系数最大的项为90
C.二项展开式中无常数项
D.二项展开式中系数最大的项为240x3
题组三 赋值法求系数和
8.(2023河南驻马店部分学校期末联考)若的展开式中所有项的系数的绝对值之和为,则展开式中二项式系数最大的项为( )
A.-x3 B.x4 C.-20x3 D.15x4
9.(2022福建厦门双十中学期中)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
10.(2022北京师范大学附属实验中学月考)已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则|a0|+|a1|+…+|a5|=( )
A.1 B.243 C.121 D.122
11.(2021湖南长沙市一中月考)若(1+2x)2 020=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a2 020(x+2)2 020,则a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020= .
12.(2023浙江诸暨二中期中)若x10+1=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a0+a2+…+a10= .
13.已知多项式(x+1)5=a0(x-1)5+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a1+…+a5= .
能力提升练
题组一 二项式系数的性质及其应用
1.(多选题)(2023山东德州陵城一中期末)已知(a>0,n∈N*)的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( )
A.展开式的各奇数项的二项式系数的和为256
B.展开式的第6项的系数与其二项式系数相等且最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
2.已知(n∈N*)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比为10∶1,则展开式中系数最大的项为 .
3.(2022河北石家庄部分中学期末联考)已知(+x2)2n(n∈N*)的展开式的各二项式系数之和比(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和大992,求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
题组二 赋值法求系数和
4.(多选题)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021,则( )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 021
B.展开式中所有奇数项系数的和为
C.展开式中所有偶数项系数的和为
D.+++…+=-1
5.(2022江西部分学校期末联考)若(1+2x)(1-x+x2)9=a0+a1x+a2x2+…+a19x19,则a1+a2+…+a18的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(2022江西黎川一中期末)已知(x2+1)(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a2+a4+a6+a8=( )
A.10 935 B.5 546 C.5 467 D.5 465
7.若(3x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值是( )
A.15 B.-32 C.-27 D.-17
8.(多选题)(2023浙江台州九校联盟期中联考)若对任意的实数x,有(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,则下列结论成立的是( )
A.a0=1
B.a2=84
C.a0-a1+a2-…-a7=-37
D.|a0|+|a1|+…+|a7|=37
9.在(2x-3y+1)5的展开式中,不含y的所有项的系数和为 (用数值作答).
10.(2022湖南益阳箴言中学期中)若x2+x8=a0+a1(x+1)+…+a7(x+1)7+a8(x+1)8,则a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= .
答案与分层梯度式解析
第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
基础过关练
1.D 2.B 3.A 4.ABC 5.C 6.C 7.D 8.A
9.A 10.B
1.D 在(1+x)5的展开式中,各二项式系数的和是25=32.故选D.
2.B 由题意得=,所以n=7,
所以=,其展开式的通项为=··=··,r=0,1,…,7.令=5,得r=3,所以展开式中x5的系数为×=-.故选B.
3.A 由题意得2n-1=1 024,解得n=11,所以中间项的二项式系数是==462.故选A.
4.ABC 当n=11时,二项式系数最大的项是第6项和第7项,符合题意;当n=10时,二项式系数最大的项是第6项,符合题意;当n=9时,二项式系数最大的项是第5项和第6项,符合题意;当n=8时,二项式系数最大的项是第5项,不符合题意.故选ABC.
5.C 的展开式的通项为Tr+1=x7-r·=(-1)rx7-2r,0≤r≤7,r∈N,
要求系数最大的项,则r必须为偶数,
分别令r=0,2,4,6,
可得其对应项的系数为1,,,,
因为>>>1,所以当r=4时满足条件,
故系数最大的项是第5项.故选C.
6.C 易知展开式中二项式系数最大的项为第1 011项与第1 012项,展开式中各项的系数的绝对值与各项的二项式系数相等,
则|a1 010|=|a1 011|,又a1 010>0,a1 011<0,
所以系数a0,a1,…,a2 021中最小的是a1 011.故选C.
7.D 由的二项展开式中各二项式系数之和为64,可得2n=64,解得n=6,
所以=,其展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=26-r,r=0,1,…,6.
对于A,令x=1,得二项展开式中各项系数之和为36,故A错误;
对于B,因为n=6,所以展开式中共有7项,则第4项的二项式系数最大,且T4=23×=160,故B错误;
对于C,令6-r=0,得r=4,即展开式中第5项为常数项,故C错误;
对于D,设第(r+1)项的系数最大,则即解得≤r≤,因为r=0,1,…,6,所以r=2,即系数最大的项为第3项,T3=24×x3=240x3,故D正确.故选D.
解题模板 求二项展开式中系数最大的项,先设展开式中第(k+1)项的系数ak+1最大,再利用求出k的取值范围,结合k∈N,确定k的值,进而解决问题.
8.A 令x=-1,得各项系数的绝对值之和为=,解得n=6,所以展开式中二项式系数最大的项为×(-x)3=-x3.故选A.
9.A 对于(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4,所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4×(-2+)4=1.故选A.
10.B ∵(2x-1)5=25x5-24x4+23x3-…-=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
∴a0<0,a1>0,a2<0,a3>0,a4<0,a5>0.
令x=-1,得a0-a1+…-a5=-35,
∴|a0|+|a1|+…+|a5|=-a0+a1-…+a5=-(a0-a1+…-a5)=35=243.故选B.
11.答案 1-32 020
解析 令x=-2,得(1-4)2 020=a0,即a0=32 020,
令x=0,得12 020=a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020,
即a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1,
故a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1-a0=1-32 020.
12.答案 513
解析 令x=0,得1=a0+a1+a2+…+a9+a10,①
令x=-2,得(-2)10+1=a0-a1+a2-…-a9+a10,②
①+②,得2(a0+a2+…+a10)=210+2,
即a0+a2+…+a10=513.
13.答案 31
解析 令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5=25=32,
令x=0,得-a0=1,即a0=-1,
所以a0+a1+…+a5=32-1=31.
能力提升练
1.BCD 4.ABD 5.A 6.D 7.D 8.CD
1.BCD 由(a>0,n∈N*)的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知=,故n=10,
因为展开式的各项系数之和为1 024,即当x=1时,(a+1)10=1 024,所以a=1,
所以=(x2+)10,其展开式的各二项式系数的和为210=1 024,各奇数项的二项式系数的和为×1 024=512,故A错误;
由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x2与的系数均为1,所以展开式的二项式系数与系数相同,即第6项的系数与其二项式系数相等且最大,故B正确;
由通项Tr+1=x2(10-r)·=(0≤r≤10,r∈N),可得当20-r=0,即r=8时,展开式中存在常数项,故C正确;
令20-r=15,得r=2,所以展开式中含x15项的系数为=45,故D正确.
故选BCD.
2.答案 1 792x-11
解析 由题意知,第5项的系数为·(-2)4,第3项的系数为·(-2)2,则=10,
化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),
故=,其展开式的通项为Tr+1=()8-r·=(-2)r(0≤r≤8,r∈N),则展开式中第(r+1)项的系数的绝对值为·2r.
设第(r+1)项的系数的绝对值最大,
则解得5≤r≤6(r∈N).
又第6项的系数为负,
所以系数最大的项为T7=×(-2)6x-11=1 792x-11.
3.解析 (+x2)2n的展开式的各二项式系数之和为22n,
(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和为2n+1-1=2n.
由题意得22n-2n=992,解得n=5,
所以=.
(1)的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即(2x)50=250.
(2)的展开式的通项为=·(2x)100-r=·2100-r·(-1)r·x100-2r,0≤r≤100,r∈N,其系数的绝对值为·2100-r,
设系数的绝对值最大的项是第(k+1)项,
则解得≤k≤,
∵k∈N,∴k=33,
∴系数的绝对值最大的项为第34项,即T34=×267×(-1)33x34=-267x34.
4.ABD 对于A,展开式中所有项的二项式系数之和为22 021,故A正确;
对于B,令x=-1,得32 021=a0-a1+a2-a3+…-a2 021,①
令x=1,得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2 021,②
①+②,可得32 021-1=2(a0+a2+…+a2 020),
∴a0+a2+…+a2 020=,故B正确;
对于C,①-②,得32 021+1=-2(a1+a3+…+a2 021),
∴a1+a3+…+a2 021=-,故C错误;
对于D,令x=0,得a0=1,
令x=,得0=a0++++…+,
∴+++…+=-1,故D正确.
5.A 令x=0,得a0=1,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a18+a19=(1+2)×(1-1+1)9=3,又(1+2x)(1-x+x2)9的展开式中含x19的项为2x·(x2)9=2x19,所以a19=2,
所以a1+a2+…+a18=3-a0-a19=3-1-2=0,故选A.
6.D 令x-1=t,得(t2+2t+2)(1+2t)7=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,令t=0,得a0=2,令t=1,得a0+a1+a2+…+a9=10 935,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a9=-1,
所以a0+a2+a4+a6+a8==5 467,所以a2+a4+a6+a8=5 467-a0=5 467-2=5 465.故选D.
7.D 令x=0,可得(-2)5=a0,所以a0=-32,
设f(x)=(3x-2)5,g(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
则f '(x)=3×5×(3x-2)4,
g'(x)=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,
所以3×5×(3x-2)4=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,
令x=1,可得15=a1+2a2+3a3+4a4+5a5,
所以a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-32+15=-17.
故选D.
8.CD 令x=1,得a0=-1,故A错误.
(2x-3)7=[2(x-1)-1]7,其展开式的通项为Tr+1=·(-1)r(r=0,1,2,…,7).
令7-r=2,得r=5,所以T6=[2(x-1)]2·(-1)5=-84(x-1)2,即a2=-84,故B错误.
易知a0,a2,a4,a6均为负数,a1,a3,a5,a7均为正数,
令x=0,得a0-a1+a2-…-a7=-37,
所以|a0|+|a1|+…+|a7|=-a0+a1-…+a7=37,故C、D正确.
故选CD.
9.答案 243
解析 要求(2x-3y+1)5的展开式中不含y的项,只需令y=0,所以(2x-3y+1)5的展开式中不含y的所有项的系数和为(2x+1)5的展开式中各项的系数和,令x=1,得35=243.
10.答案 29
解析 令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0,又因为x2+x8=[(x+1)-1]2+[(x+1)-1]8,所以a2=(-1)0+(-1)6=29,
所以a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a2=29.
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