2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--7.1.2　全概率公式

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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第七章　随机变量及其分布
7.1　条件概率与全概率公式
7.1.2　全概率公式
基础过关练
题组一　全概率公式
1.(2023江苏苏州期中)已知某班讲台上有左、右两盒粉笔,左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔,右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔.某位老师从这两盒中取粉笔,取自左盒的概率为40%,取自右盒的概率为60%.若该老师从这两盒中任取一支,则取到黄色粉笔的概率为(　　)
A.0.275　　B.0.28　　C.0.32　　D.0.6
2.(2023安徽师范大学附属中学期中)已知某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,其中甲、乙、丙三厂生产的盒数分别为5,3,2,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率分别为,,.现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为(　　)
A.0.08　　B.0.1　　C.0.15　　D.0.2
3.(2023北京昌平第二中学期中)某学校有A,B两个餐厅,如果王同学早餐在A餐厅用餐,那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是,如果他早餐在B餐厅用餐,那么他午餐在A餐厅用餐的概率是.若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是,则他午餐在B餐厅用餐的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(2023河北正定中学月考)有甲、乙两个袋子,甲袋中有2个白球,1个红球,乙袋中有2个红球,1个白球,这6个球手感上没有区别.现从甲袋中任取一球放入乙袋,搅匀后再从乙袋中任取一球,则此球是红球的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(2023浙江温州新力量联盟期中联考)已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题,学生小王能完整做对其中5道题,剩下的3道题中,有2道题有思路,1道题完全没有思路.若有思路的题做对的概率为,完全没有思路的题从4个选项中随机选一个答案,则小王从这8道题中任选1题且能够做对的概率为　　　　.
6.(2023江西南昌外国语学校期末)甲、乙、丙三人同时对树上的某物进行射击,击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,已知被一人击中且被击落的概率为0.2,被两人击中且被击落的概率为0.6,若三人都击中,此物必定被击落,三人是否击中此物相互独立,则此物被击落的概率为　　　　.
7.(2022山东学情质检)甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球,丙袋中有4个白球和4个红球.先随机取一袋,再从该袋中先后随机取2个球.
(1)求第一次取出的球为红球的概率;
(2)求在第一次取出的球是红球的前提下,第二次取出的球是白球的概率.
题组二　贝叶斯公式*
8.(2023湖北武昌实验中学适应性考试)已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01.现有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为(　　)
A.0.4　　B.0.6　　C.0.7　　D.0.8
9.已知流感病毒分为甲、乙、丙三型,甲型流感病毒最容易发生变异,流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的.根据以往的临床记录,某种诊断甲型流感病毒的试验有如下效果:若用A表示事件“试验反应为阳性”,用C表示事件“被诊断者患有甲型流感”,则P(A|C)=0.9,P(|)=0.9.现对自然人群进行普查,若患有甲型流感的概率为0.005,则P(C|A)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
10.(2023湖北问津教育联合体质量检测)某货车为乡村小学运送书籍,共10箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱,但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开2箱,结果都是英语书,则丢失的一箱也是英语书的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
11.(2023天津塘沽一中月考)已知某人从甲地到乙地,乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2,0.4,0.4,乘火车迟到的概率为0.4,乘轮船迟到的概率为0.3,乘飞机迟到的概率为0.5,则这个人迟到的概率是　　　　;如果这个人迟到了,那么他乘轮船的概率是　　　　.
12.(2022山东德州期中)通信渠道中可传输的字符为AAAA,BBBB,CCCC三者之一,传输三者的概率分别为0.3,0.4,0.3.由于通道噪声的干扰,正确收到被传输字符的概率为0.6,收到其他字符的概率为0.2,假定字符前后是否被歪曲互不影响.若收到的字符为ABCA,则传输的字符是AAAA的概率为　　　　.
13.(2023河北保定六校联考)作为一种益智游戏,中国象棋具有悠久的历史,中国象棋的背后体现的是博大精深的中华文化.某地举办了一次地区性的中国象棋比赛,小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中,一、二、三类棋手的人数之比为5∶7∶8,小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别为0.6,0.5,0.4.
(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛,求小明获胜的概率;
(2)如果小明获胜,求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.
第七章　随机变量及其分布
7.1　条件概率与全概率公式
7.1.2　全概率公式
基础过关练
1.C 2.A 3.A 4.A 8.D 9.A 10.B
1.C　用A表示取自左盒,用B表示取自右盒,用C表示取到黄色粉笔,则P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(C|A)=0.2,P(C|B)=0.4,所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.4×0.2+0.6×0.4=0.32.故选C.
2.A　用A1,A2,A3分别表示取得的X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,用B表示取得的X光片是次品,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=×+×+×=0.08.故选A.
3.A　设“早餐在A餐厅用餐”为事件A1,“午餐在A餐厅用餐”为事件A2,“早餐在B餐厅用餐”为事件B1,则P(A1)=,P(B1)=,P(A2|A1)=,P(A2|B1)=,所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=×+×=,故他午餐在B餐厅用餐的概率为1-=.故选A.
4.A　设“从甲袋中任取一球为红球”为事件A,
“从乙袋中任取一球为红球”为事件B,
则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.故选A.
5.答案　
解析　设“小王从8道题中任选1题且能够做对”为事件A,“选到能完整做对的题”为事件B,“选到有思路的题”为事件C,“选到完全没有思路的题”为事件D,则P(B)=,P(C)==,P(D)=,P(A|B)=1,P(A|C)=,P(A|D)=,
所以P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)·P(A|D)=×1+×+×=.
6.答案　0.458
解析　用事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙击中树上的此物,Bi表示有i(i=1,2,3)个人击中树上的此物,C表示此物被击落,则P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.7,P(C|B1)=0.2,P(C|B2)=0.6,P(C|B3)=1,所以P(B1)=P(A1+A2+A3)=P(A1)P()P()+P()P(A2)P()+P()P()P(A3)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36,P(B2)=P(A1A2+A2A3+A1A3)=P(A1)P(A2)P()+P()P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.7=0.41,P(B3)=P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14.
由全概率公式得P(C)=P(Bi)P(C|Bi)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.
7.解析　(1)设第一次取出的球为红球为事件A,取到甲袋、乙袋、丙袋分别为事件B1,B2,B3,
由全概率公式可得,P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=.
(2)设第二次取出的球是白球为事件C,由全概率公式可得,P(AC)=P(B1)P(AC|B1)+P(B2)P(AC|B2)+P(B3)P(AC|B3)=××+××+××=,故P(C|A)===.
8.D　设事件A1表示“经过的是货车”,A2表示“经过的是客车”,B表示“中途停车修理”,则B=A1B∪A2B,由题意得,P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,由贝叶斯公式得,
P(A1|B)=
==0.8.
9.A　因为P(|)=0.9,所以P(A|)=0.1.
因为P(C)=0.005,所以P()=0.995.
所以P(C|A)=
=
==.故选A.
10.B　用A表示“丢失一箱后任取2箱都是英语书”,Bk表示“丢失的一箱为k,k=1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书”.由全概率公式得P(A)=P(Bk)P(A|Bk)=×+×+×=.
由贝叶斯公式可知P(B1|A)===.故选B.
11.答案　0.4;0.3
解析　用事件A,B,C分别表示“这个人乘火车、轮船、飞机”,用事件D表示“这个人迟到”,
则P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4,P(D|A)=0.4,P(D|B)=0.3,P(D|C)=0.5,所P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.2×0.4+0.4×0.3+0.4×0.5=0.4.
由贝叶斯公式得,P(B|D)===0.3.
12.答案　0.562 5
解析　用M表示事件“收到的字符是ABCA”,N1表示事件“传输的字符是AAAA”,N2表示事件“传输的字符是BBBB”,N3表示事件“传输的字符是CCCC”,则P(N1)=0.3,P(N2)=0.4,P(N3)=0.3,P(M|N1)=0.6×0.2×0.2×0.6=0.014 4,P(M|N2)=0.2×0.6×0.2×0.2=0.004 8,P(M|N3)=0.2×0.2×0.6×0.2=0.004 8.
所以P(N1|M)=
==0.562 5.
13.解析　设Ai=“小明与第i类棋手相遇(i=1,2,3)”,B=“小明获胜”,则P(A1)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.4,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.
(1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.25×0.6+0.35×0.5+0.4×0.4=0.485.
(2)P(A1|B)===.
P(A2|B)===.
P(A3|B)===.
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