2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--7.2　离散型随机变量及其分布列

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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第七章　随机变量及其分布
7.2　离散型随机变量及其分布列
基础过关练
题组一　随机变量的概念及离散型随机变量的取值
1.(2022河南南阳第一中学月考)袋子中有3个白球和5个黑球(除颜色外其余完全相同),从中任取2个球,则下列可以作为随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球　　　　B.取到白球的个数
C.至多取到1个白球　　　　D.取到球的个数
2.(2022北京十二中期末)下面四个随机变量是离散型随机变量的是(　　)
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ;
②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离η;
③某同学射击3次,命中的次数X;
④某电子元件的寿命Y.
A.①②　　B.③④　　C.①③　　D.②④
3.(2023广东广州从化期中)袋中有形状、大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现有放回地依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X的可能取值的个数是(　　)
A.25　　B.10　　C.9　　D.5
4.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回袋中5次”的事件为(　　)
A.X=4　　B.X=5　　C.X=6　　D.X≤4
5.某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则“ξ=5”表示的试验结果是(　　)
A.第5次击中目标 B.第5次未击中目标
C.前4次均未击中目标 D.第4次击中目标
题组二　离散型随机变量的分布列
6.(2022辽宁辽阳期末)甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮一次,设两人命中总次数为X,则X的分布列为(　　)
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
7.(2022重庆期末)袋中装有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.
(1)若从袋中一次摸出2个小球,求小球颜色不同的概率;
(2)若从袋中一次摸出3个小球,且3个小球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记摸出红球的个数为X,求X的分布列.
8.(2023山东青岛二中期末)某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答错误得0分,第三个问题回答正确得20分,回答错误得-10分.已知一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是,回答第三个问题正确的概率为,且各题回答正确与否相互之间没有影响,这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功.
(1)求至少回答正确一个问题的概率;
(2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X(单位:分)的分布列;
(3)求这位挑战者闯关成功的概率.
题组三　离散型随机变量分布列的性质
9.(2022安徽亳州期末)若离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,…,n,且ξ取每一个值的概率相同,P(2<ξ<5)=0.2,则n的值为(　　)
A.4　　B.6　　C.9　　D.10
10.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 6a2-a 3-7a
则常数a的值为(　　)
A.　　　　B.
C.或　　　　D.1或
11.(2023山西晋城第一中学调研)设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X-3|=1)=　　　　.
题组四　两点分布
12.(多选题)(2023四川成都新津为明学校月考)下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　)
A.抛掷一个质地均匀的骰子,所得点数X
B.某射击手射击一次,击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球,设X=
D.某医生做一次手术,手术成功的次数X
13.(2022安徽合肥六校联盟期中联考)若离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=4-5P(X=0)=p,则p=(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
14.已知袋中有5个白球和6个红球,从中摸出2个球,记X=则X的分布列为　　　　　　　.
能力提升练
题组一　离散型随机变量分布列的性质及其应用
1.(2023江苏连云港灌南高级中学月考)已知离散型随机变量X的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),则P=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2022河北沧州期末)已知随机变量X的分布列如表所示,其中a,b,c成等差数列,则abc的最大值是(　　)
X 1 2 3
P a b c
A.　　B.　　C.　　D.
3.已知随机变量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
若Y=X2,P(Y题组二　求离散型随机变量的分布列
4.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列为　　　　　　　　　.
5.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需花费100元,设检测结束时所需要的检测总费用为X元,求X的分布列.
6.(2022山西大同期中)某同学参加篮球投篮测试,已知罚球位上定位投篮投中的概率为,三步上篮投中的概率为,三分线外投篮投中的概率为,测试时规定:罚球位上定位投篮投中得1分,三步上篮投中得2分,三分线外投篮投中得3分,不中均得0分,且每次投篮的结果相互独立.现该同学罚球位上定位投篮1次,三步上篮1次,三分线外投篮1次.
(1)求该同学三步上篮投中且另外两次投篮恰中1次的概率;
(2)求该同学的总得分X(单位:分)的分布列.
答案与分层梯度式解析
第七章　随机变量及其分布
7.2　离散型随机变量及其分布列
基础过关练
1.B 2.C 3.C 4.C 5.C 6.D 9.D 10.A
12.BCD 13.D
1.B　
2.C　
3.C　X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.故选C.
4.C　“放回袋中5次”即前5次都是抽到黑球,第6次抽到了红球,所以X=6,故选C.
5.C　因为击中目标或子弹打完就停止射击,所以射击次数ξ=5说明前4次均未击中目标.故选C.
易错警示　由于停止射击的条件是“击中目标或子弹打完”,所以“ξ=5”与“ξ=4”不同,“ξ=4”的含义是“前3次未击中目标,第4次击中目标”,“ξ=5”的含义是“前4次均未击中目标”,与第5次是否击中目标没有关系.
6.D　由题意可得,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06,
P(X=1)=(1-0.8)×0.7+0.8×(1-0.7)=0.38,
P(X=2)=0.8×0.7=0.56,
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选D.
技巧点拨　求离散型随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件,然后利用古典概型、排列组合等知识求出X取每个值时的概率,最后列出表格即可.
7.解析　(1)摸出的2个小球颜色不同的情况种数为+=19,从8个小球中摸出2个小球的情况种数为=28,故所求概率 P=.
(2)由题意知,随机变量X的可能取值为1,2,3.
符合条件的摸法有以下三种:
①摸得1个红球,1个黑球,1个白球,共有=12种不同摸法,
②摸得2个红球,1个其他颜色的球,共有=24种不同摸法,
③摸得的3个球均为红球,共有=4种不同摸法,
故符合条件的不同摸法有12+24+4=40(种).
故P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
8.解析　(1)用事件A表示“至少回答正确一个问题”,则P(A)=1-××=.
(2)X的可能取值为-10,0,10,20,30,40.
P(X=-10)=××=,
P(X=0)=×××=,
P(X=10)=×=,
P(X=20)=××=,
P(X=30)=×××=,
P(X=40)=×=.
所以X的分布列为
X -10 0 10 20 30 40
P
(3)这位挑战者闯关成功的概率为P(X≥10)=1-P(X=-10)-P(X=0)=1--=.
9.D　 因为P(2<ξ<5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=+=0.2,所以n=10.故选D.
10.A　由离散型随机变量分布列的性质知,
∴a=,故选A.
易错警示　本题不仅要注意每一个可能值对应随机事件的概率均在区间[0,1]内,还要注意分布列中各概率之和为1.
11.答案　
解析　由分布列的性质得+m++=1,解得m=,
故P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=+=.
12.BCD　
13.D　由题意得P(X=0)=1-p.
∵4-5P(X=0)=p,
∴4-5(1-p)=p,解得p=.故选D.
14.答案　　
X 0 1
P
解析　由题意得,P(X=0)==,
P(X=1)==.
所以X的分布列为
X 0 1
P
能力提升练
1.A　由题意得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=,所以P=P+P=+=.
故选A.
2.C　由分布列的性质得a+b+c=1①.
因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c②.
联立①②,解得b=,a+c=.所以0≤a≤,0≤b≤,所以abc=ac≤=,当且仅当a=c=时,等号成立,所以abc的最大值是.故选C.
3.答案　(4,9]
解析　由随机变量X的分布列知,Y的可能取值为0,1,4,9,
且P(Y=0)=,P(Y=1)=+==,
P(Y=4)=+==,P(Y=9)=.
可得Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
∵P(Y∴实数x的取值范围是(4,9].
4.答案　
ξ 0 1
P
解析　ξ的可能取值为0,1,.
若两条棱相交,则交点必在正方体的顶点处,过任意一个顶点的棱有3条,所以P(ξ=0)==.
若两条棱平行,则它们之间的距离为1或,
而距离为的棱共有6对,则P(ξ=)==.
于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1
P
解题模板　如果求随机变量取某个值时的概率比较烦琐,那么可先求出随机变量取其他值时的概率,再利用分布列的性质求解.
5.解析　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=×=.
(2)由题意可知,X的可能取值为200,300,400.
则P(X=200)==,
P(X=300)==,
P(X=400)==.
所以X的分布列为
X 200 300 400
P
6.解析　(1)设A=“该同学罚球位上定位投篮投中”,B=“该同学三步上篮投中”,C=“该同学三分线外投篮投中”,D=“该同学三步上篮投中且另外两次投篮恰中1次”,则P(D)=P(AB　+BC)=P(AB　)+P(BC)=P(A)P(B)P()+P()P(B)P(C)
=××+××=.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=××+××=,
P(X=4)=××=,
P(X=5)=××=,
P(X=6)=××=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
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