2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--7.3.2　离散型随机变量的方差

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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第七章　随机变量及其分布
7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.2　离散型随机变量的方差
基础过关练
题组一　离散型随机变量的方差
1.(2022黑龙江双鸭山一中月考)已知离散型随机变量X的分布列如下,则D(X)=(　　)
X 0 2 4
P
A.1　　B.　　C.2　　D.4
2.(2023山东师大附中期中)若某随机事件的概率分布列满足P(X=i)=a×(i=1,2,3,4),则D(X)=(　　)
A.3　　B.10　　C.9　　D.1
3.已知随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则X的标准差为(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
4.小智参加三分投篮比赛,每投一次,投中得1分,投不中扣1分,已知小智投篮的命中率为0.5,记小智投篮三次后的总分数为随机变量ξ,则D(|ξ|)为　(　　)
A.　　B.　　C.　　D.3
题组二　离散型随机变量的方差的性质
5.(2023重庆八中月考)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论不正确的是(　　)
A.P(X=1)=E(X)　　　　B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=2　　　　D.D(X)=
6.已知随机变量X的分布列如下表所示,
X -2 0 1 2
P n m
若E(X)=0,则D(3X-1)=　　　　.
7.(2022河南洛阳期中)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n(n=1,2,3,4)号的有n个.现从袋中任取一球,用X表示所取到的球的标号.
(1)求X的分布列、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.
能力提升练
题组一　离散型随机变量的方差
1.(2023湖北宜昌第二中学月考)已知离散型随机变量X的可能取值为0,1,2,3,且P(X≥1)=,P(X=3)=,若E(X)=,则D(4X-3)=(　　)
A.19　　B.16　　C.　　D.
2.(2022浙江宁波十校期末联考)将3只小球放入3个盒子中,盒子的容量不限,且每个小球放入各盒子的概率相等.记X为放入后所剩空盒的个数,Y为放入后不空盒子的个数,则(　　)
A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)
B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)
D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)
3.已知随机变量X的分布列如下,当a变化时,下列说法正确的是(　　)
X 0 1 2 3
P -a a
A.E(X),D(X)均随着a的增大而增大
B.E(X),D(X)均随着a的增大而减小
C.E(X)随着a的增大而增大,D(X)随着a的增大而减小
D.E(X)随着a的增大而减小,D(X)随着a的增大而增大
题组二　离散型随机变量的均值与方差的实际应用
4.(2023山东济宁模拟)某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛,某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛,选拔方案如下:甲、乙两名同学各自从给定的5个问题中随机抽取3个问题作答,在这5个问题中,已知甲能正确作答其中3个,乙能正确作答每个问题的概率都是,甲、乙两名同学作答问题相互独立.记甲答对题数为X,乙答对题数为Y.
(1)求甲、乙两人恰好答对2个问题的概率;
(2)若让你投票选择一名发挥稳定的同学参赛,你会选择哪名同学 请说明理由.
5.(2023江苏南京外国语学校期中)为回馈顾客,某购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励.规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球(球的大小、形状完全相同),球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元,其余3个所标的面值均为20元,设顾客所获的奖励额为X元,求X的分布列及数学期望;
(2)商场对奖励总额的预算是30 000元,并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成,或标有面值为15元和45元的两种球共同组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
提示:袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成,即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”.
答案与分层梯度式解析
第七章　随机变量及其分布
7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.2　离散型随机变量的方差
基础过关练
1.B 2.D 3.C 4.B 5.D
1.B　由已知得E(X)=0×+2×+4×=2,
所以D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(4-2)2×=.
2.D　解法一:由题意得+++=1,解得a=1,
所以E(X)=1×+2×+3×+4×=3,
所以D(X)=(1-3)2×+(2-3)2×+(3-3)2×+(4-3)2×=1.故选D.
解法二:由题意得+++=1,解得a=1,
所以E(X)=1×+2×+3×+4×=3,
所以E(X2)=1×+4×+9×+16×=10,
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=10-9=1.故选D.
3.C　设P(X=1)=p,则P(X=2)=-p.
由E(X)=0×+p+2=1,得p=,所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=,
所以X的标准差为=.故选C.
4.B　根据题意,ξ的可能取值为-3,-1,1,3,
P(ξ=-3)=×=,
P(ξ=-1)=×=,
P(ξ=1)=×=,
P(ξ=3)=×=,
则P(|ξ|=1)=+=,P(|ξ|=3)=+=,
所以E(|ξ|)=3×+1×=,
所以D(|ξ|)=×+×=.故选B.
5.D　∵随机变量X服从两点分布,P(X=0)=,
∴P(X=1)=1-P(X=0)=1-=,
E(X)=0×+1×=,故A中结论正确;
E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B中结论正确;
D(X)=×+×=,则D(3X+2)=32D(X)=2,故C中结论正确,D中结论不正确.
故选D.
6.答案　21
解析　由题意得n+++m=1,E(X)=-2n+0×+1×+2m=0,解得m=,n=,
所以D(X)=4×+0×+1×+4×=,
所以D(3X-1)=32D(X)=21.
7.解析　(1)由题易知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)==,P(X=1)=,P(X=2)==,P(X=3)=,P(X=4)==,
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5.
所以D(X)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.
(2)由Y=aX+b知D(Y)=a2D(X),即a2×2.75=11,解得a=±2.
又E(Y)=aE(X)+b,
所以当a=2时,有1=2×1.5+b,解得b=-2,
当a=-2时,有1=-2×1.5+b,解得b=4,
所以或
能力提升练
1.A 2.C 3.A
1.A　由题知P(X=0)=,设P(X=1)=a,则P(X=2)=--a=-a,因此E(X)=0×+1×a+2×+3×=,解得a=,因此离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以D(X)=×+×+×+×=,
因此D(4X-3)=16D(X)=19.故选A.
2.C　由题意得X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
∴E(X)=0×+1×+2×=,
∴D(X)=×+×+×=.
Y的可能取值为1,2,3,
P(Y=1)=P(X=2)=,
P(Y=2)=P(X=1)=,
P(Y=3)=P(X=0)=,
∴E(Y)=1×+2×+3×=,
∴D(Y)=×+×+×=,
∴E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故选C.
3.A　易得E(X)=0×+1×+2a+3×=1+a,D(X)=(0-a-1)2+(1-a-1)2+a(2-a-1)2+(3-a-1)2=(a+1)2+a2+a(1-a)2+(2-a)2=-a2+a+1.
由题意得解得0≤a≤,
易知y=-a2+a+1=-+在上单调递增,所以E(X),D(X)均随着a的增大而增大.故选A.
解题模板　当随机变量的分布列中含参时,要根据分布列的性质确定参数的范围,解题时防止遗漏范围导致错误.
4.解析　(1)设“甲、乙两人恰好答对2个问题”为事件A,则P(A)=P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=×××+××=.
(2)X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
所以E(X)=1×+2×+3×=,
所以D(X)=×+×+×=.
Y的可能取值为0,1,2,3.
P(Y=0)=×=,
P(Y=1)=××=,
P(Y=2)=××=,
P(Y=3)=×=,
所以E(Y)=0×+1×+2×+3×=,
所以D(Y)=×+×+×+×=.
因为E(X)=E(Y),D(X)5.解析　(1)由题意得X的可能取值为40,60,
P(X=40)==,P(X=60)==.
所以X的分布列为
X 40 60
P
E(X)=40×+60×=50.
(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为30 000÷500=60(元),
所以可先寻找使期望为60的可能方案.
①当球标有的面值为20元和40元时,
若选择“20,20,20,40”的面值设计,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60;
若选择“40,40,40,20”的面值设计,因为60元是面值之和的最小值,所以期望不可能为60.
因此可能的面值设计是“20,20,40,40”,
设此方案中顾客所获的奖励额为X1元,则X1的可能取值为40,60,80,
P(X1=40)==,
P(X1=60)==,
P(X1=80)==.
所以E(X1)=40×+60×+80×=60,
所以D(X1)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=.
②当球标有的面值为15元和45元时,同理可排除“15,15,15,45”和“45,45,45,15”的面值设计,
所以可能的面值设计是“15,15,45,45”,
设此方案中顾客所获的奖励额为X2元,则X2的可能取值为30,60,90,
P(X2=30)==,
P(X2=60)==,
P(X2=90)==.
所以E(X2)=30×+60×+90×=60,
所以D(X2)=(30-60)2×+(60-60)2×+(90-60)2×=300.
因为E(X1)=E(X2),D(X1)所以两种方案奖励额的期望都符合要求,
但面值设计方案为“20,20,40,40”的奖励额的方差要比面值设计方案为“15,15,45,45”的奖励额的方差小,
所以应该选择面值设计方案“20,20,40,40”,即标有面值为20元和40元的球各2个.
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