2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--7.4.1　二项分布

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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第七章　随机变量及其分布
7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
基础过关练
题组一　n重伯努利试验及其概率计算
1.n重伯努利试验应满足的条件:
①各次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有两种结果;
③各次试验成功的概率是相同的;
④每次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是(　　)
A.①②　　　　B.②③
C.①②③　　　　D.①②④
2.(2023湖南长沙麓山国际实验学校开学考试)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,则质点P移动6次后位于点(2,4)的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2023江苏南京人民中学月考)唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(2022安徽合肥六中期中)已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为,该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响),则在罚球命中两次时,罚球次数恰为4的概率是　　　　.
5.(2023湖南邵阳期末)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是,.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)若甲连续射击,命中为止,求甲恰好射击3次结束射击的概率;
(2)若乙连续射击,直至命中2次为止,求乙恰好射击3次结束射击的概率.
题组二　二项分布的分布列及概率计算
6.(2023北京房山期中)已知随机变量X~B,则P(X≥1)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2022天津杨柳青第一中学检测)某人参加一次考试,共有4道试题,至少答对其中3道试题才算合格.若他答每道题的正确率均为0.5,并且答每道题之间相互独立,则他能合格的概率为　　　　.
8.(2023陕西宝鸡长岭中学检测)在某公司的一次招聘中,应聘者要进行A,B,C三个独立项目的测试,通过其中的两个或三个即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是.
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.
题组三　二项分布的期望与方差
9.(2023浙江诸暨二中期中)已知X~B(20,p),且E(X)=6,则D(X)=(　　)
A.1.8　　B.6　　C.2.1　　D.4.2
10.(2023河北唐山乐亭第一中学月考)已知随机变量X~B(n,p),随机变量Y=3X+1,且E(Y)=7,D(Y)=12,则p=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
11.某学校在春天来临时开展了以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领取了此种盆栽植物10株,设X为其中成活的株数,若D(X)=2.1,P(X=3)12.(2023陕西西安模拟)某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活动”,为了解学生的学习成果,该校对全校学生进行了测试,并随机抽取50名学生的成绩进行统计,将其分成以下6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
(2)若将频率视为概率,从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人,用X表示这3人中成绩在[90,100]内的人数,求随机变量X的分布列、数学期望及方差.
13.(2023重庆八中月考)福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品,属于福州三宝之一,纸伞的制作工序大致分为三步:第一步削伞架,第二步裱伞面,第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技术要求.已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为,,,只有当每个环节制作都合格时才算一次成功制作,即才算制作了一件优秀作品.
(1)求该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率;
(2)若该工艺师制作4次,其中优秀作品数为X,求X的分布列及期望.
能力提升练
题组一　二项分布的概率
1.(2023河北邢台第二中学月考)在某次国际围棋比赛中,甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制,即先胜三局的一方获得比赛冠军,比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为,且各局比赛的胜负互不影响,则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2023湖北武汉第六中学月考)为响应国家鼓励青年创业的号召,小王开了两家店铺,每家店铺招收了两名员工.已知某节假日每名员工休假的概率均为,且是否休假互不影响.若一家店铺的员工全部休假,而另一家无人休假,则调剂1人到另一家店铺,使得该店铺能够正常营业,否则该店就停业,则两家店铺在该节假日能正常营业的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2022福建福州第三中学期末)为了保障我国民众的身体健康,产品在进入市场前必须进行两轮检测,只有两轮都合格才能进行销售.已知某产品在第一轮检测不合格的概率为,在第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互之间没有影响.若产品可以销售,则每件产品获利40元,若产品不能销售,则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品,记一箱产品获利X元,则P(X≥-80)=(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
4.(2022广东深圳福田外国语学校月考)一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一块地的n个坑进行播种,每个坑播种3粒种子,已知每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补种,否则要补种,则当n=　　　　时,有3个坑要补种的概率最大,最大概率为　　　　.
5.如图,将一个半径适当的小球放入容器最上方的入口处,小球自由下落,在下落的过程中,小球将遇到黑色障碍物3次,最后落入A袋或B袋中,已知小球每次遇到障碍物时,向左、向右下落的概率分别是,.
(1)设小球向左的次数为X,求随机变量X的分布列;
(2)分别求出小球落入A袋和B袋的概率.
题组二　二项分布的期望与方差
6.(2022河北邢台期末)若X~B(3,p),其中0A.4　　B.　　C.　　D.
7.(2022山东枣庄三模)已知随机变量X~B(6,0.8),若P(X=k)最大,则D(kX+1)=　　　　.
8.对于某套数学试卷的12个选择题(每小题5分,且每小题的四个选项中只有一个是正确的),我们假定:某考生在做每个选择题时都能排除掉一个错误选项,而对其他三个选项都没有把握,设该考生选择题的总得分为X分,则D(X)=　　　　.
9.(2022重庆万州第二高级中学质量检测)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须经过前后两次烧制,当第一次烧制合格后方可进行第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.
(1)求经过第一次烧制后恰有一件工艺品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,记合格工艺品的件数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
10.(2023河北衡水中学调研)某学校组织A,B,C,D,E五位同学参加某大学的测试活动,现有甲、乙两种不同的测试方案,每位同学随机选择其中一种方案进行测试,选择甲方案测试合格的概率为,选择乙方案测试合格的概率为,且每位同学测试的结果互不影响.
(1)若5位同学均选择甲方案测试,将测试合格的同学的人数记为X,求X的分布列及其方差;
(2)若测试合格的人数的期望不小于3,求选择甲方案进行测试的同学的可能人数.
答案与分层梯度式解析
7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
基础过关练
1.C 2.B 3.A 6.A 9.D 10.B
1.C　
2.B　由题可得,质点P必须向右移动2次,向上移动4次才能在移动6次后位于点(2,4),
故所求概率为××=.故选B.
3.A　至少有两天出现大潮包括两种情况:有两天出现大潮或有三天出现大潮.有两天出现大潮的概率为××=,有三天出现大潮的概率为×=,所以至少有两天出现大潮的概率为+=,故选A.
4.答案　
解析　因为在罚球命中两次时,罚球次数恰为4,所以第4次命中,前3次恰好命中1次,
所求概率为×××=.
5.解析　(1)记“甲恰好射击3次结束射击”为事件A1,
则P(A1)=××=.
(2)记“乙恰好射击3次结束射击”为事件A2,
则P(A2)=×××=.
6.A　P(X≥1)=1-P(X=0)=1-××=.故选A.
7.答案　0.312 5
解析　设此人答对的试题数为X,则X~B(4,0.5),
所以P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=×0.54+0.54=0.312 5.故他能合格的概率为0.312 5.
8.解析　(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为××=.
(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为××+×=,所以可看作3重伯努利试验,
甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布,即X~B,
所以P(X=0)=×=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=×=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
9.D　因为X~B(20,p),所以E(X)=20p=6,解得p=0.3,故D(X)=20p(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.故选D.
10.B　因为X~B(n,p),
所以E(X)=np,D(X)=np(1-p),
因为Y=3X+1,所以E(Y)=3E(X)+1=3np+1=7,所以np=2,
又D(Y)=9D(X)=9np(1-p)=12,即18(1-p)=12,所以p=.故选B.
11.答案　0.7
解析　由题意可知X~B(10,p),
∴
即解得p=0.7.
12.解析　(1)由题图得(0.006+a+0.018+0.032+0.02+0.01)×10=1,解得a=0.014.
(2)由题图可知,成绩在[80,90)与[90,100]内的学生比例为2∶1,
∴从全校成绩在80分及以上的学生中抽取1人,成绩在[90,100]内的概率为=,
∴X~B,
∴P(X=0)=×=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=×=.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=3×=1,D(X)=3××=.
13.解析　(1)由题意可知,该工艺师制作一件优秀作品的概率为××=,
∴该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率P=××=.
(2)由题意知,X~B,
P(X=0)=×=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=××=,
P(X=4)=×=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=4×=.
能力提升练
1.C 2.D 3.C 6.C
1.C　记甲以3∶0获得冠军为事件A,甲以3∶1获得冠军为事件B,易知A与B互斥,
P(A)==,P(B)=×××=,
所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率P=P(A)+P(B)=+=,故选C.
方法总结　比赛型问题是一类常见的概率问题,对于此类问题,要注意仔细研究比赛规则,然后从最后一局开始分析,看最后一局的胜负能否确定,再分析前几局比赛的胜负情况.
2.D　设两家店铺都不能正常营业为事件A.易知四人同时休假的概率为=,有三个人同时休假的概率为××=,所以P(A)=+=,所以两家店铺在该节假日能正常营业的概率为1-P(A)=.
3.C　由题意得,该产品能销售的概率为×=.
X的可能取值为-320,-200,-80,40,160.
设一箱产品中可以销售的件数为ξ,则ξ~B,
所以P(X=-80)=P(ξ=2)=××=,
P(X=40)=P(ξ=3)=××=,
P(X=160)=P(ξ=4)=××=,
故P(X≥-80)=P(X=-80)+P(X=40)+P(X=160)=.故选C.
4.答案　5或6;
解析　对一个坑而言,要补种的概率P=×+=,
则有3个坑要补种的概率为·=.
要使最大,
只需
解得5≤n≤6,因为n∈N,所以n=5或n=6.
当n=5时,×=,
当n=6时,×=,
所以当n=5或n=6时,有3个坑要补种的概率最大,最大概率为.
5.解析　(1)由题意得X~B,
所以P(X=k)=·(k=0,1,2,3),
所以X的分布列为
P 0 1 2 3
X
(2)由(1)得,小球落入A袋的概率为P(X=3)+P(X=0)=+=,
小球落入B袋的概率为1-=.
6.C　由题意得E(X)=3p,D(X)=3p(1-p),
∴E(2X)=2E(X)=6p,D(2X+1)=4D(X)=12p(1-p),∴E(2X)·D(2X+1)=72(p2-p3).
设f(x)=72(x2-x3)(0则f '(x)=72(2x-3x2)=72x(2-3x).
当00, f(x)单调递增;
当∴f(x)在x=时取得极大值,也是最大值,
∴f(x)max=f =,即E(2X)·D(2X+1)的最大值为.故选C.
7.答案　24
解析　由题意可知,P(X=k)=0.8k0.26-k,
要使P(X=k)最大,则
即
即
解得≤k≤,又k∈N,所以k=5.
又D(X)=6×0.8×0.2=0.96,
所以D(kX+1)=D(5X+1)=52D(X)=24.
8.答案　
解析　设该考生答对选择题的个数为n,
∵选择题每小题5分,
∴X=5n.
由题意知,该考生答对每个选择题的概率均为,且n服从二项分布,即n~B,
∴D(n)=12××=,
∴D(X)=52D(n)=25×=.
9.解析　(1)经过第一次烧制后恰有一件工艺品合格的概率P=0.5×(1-0.6)×(1-0.4)+(1-0.5)×0.6×(1-0.4)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.4=0.38.
(2)经过前后两次烧制后,记甲、乙、丙三件工艺品合格的概率分别为P1,P2,P3,则P1=0.5×0.6=0.3,P2=0.6×0.5=0.3,P3=0.4×0.75=0.3,
所以P1=P2=P3=0.3.
所以ξ~B(3,0.3),
所以P(ξ=0)=×(1-0.3)3=,
P(ξ=1)=×0.3×(1-0.3)2=,
P(ξ=2)=×0.32×(1-0.3)=,
P(ξ=3)=×0.33=.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)=3×0.3=0.9.
10.解析　(1)由题意得X~B,
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=××=,
P(X=4)=××=,
P(X=5)=××=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
方差D(X)=5××=.
(2)设选择甲方案测试的学生人数为n,则选择乙方案测试的学生人数为5-n,通过甲方案测试合格的学生人数为ξ,通过乙方案测试合格的学生人数为η.
当n=0时,所有学生均选择乙方案测试,则η~B,所以E(ξ+η)=E(η)=5×=<3,与题意不符;
当n=5时,所有学生均选择甲方案测试,则ξ~B,所以E(ξ+η)=E(ξ)=5×=>3,符合题意;
当n=1,2,3,4时,ξ~B,η~B,所以E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)=n+=,令≥3,解得n≥3,所以n=3或n=4时,符合题意.
综上,当选择甲方案进行测试的同学的人数为3或4或5时,测试合格的人数的期望不小于3.
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