2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--7.4.2　超几何分布

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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第七章　随机变量及其分布
7.4.2　超几何分布
基础过关练
题组一　超几何分布及其概率计算
1.(2023江西抚州第一中学月考)下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A.将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X
B.从7名男生、3名女生共10名学生干部中随机选出5名,记选出女生的人数为X
C.某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
2.(2022北京师范大学第二附属中学期中)设10件产品中有3件次品,现从中抽取5件,则表示(　　)
A.5件产品中有3件次品的概率
B.5件产品中有2件次品的概率
C.5件产品中有2件正品的概率
D.5件产品中至少有2件次品的概率
3.(2022山西怀仁一中月考)某次数学小测一共7道题,其中选择题4道,填空题3道,从中任意选3道题,下列事件的概率等于的是　(　　)
A.有1道或2道填空题
B.有2道或3道填空题
C.至少有1道填空题
D.恰有2道填空题
4.(2022陕西华县咸林中学期中)一个袋中装有4个红球,3个黑球,小明从袋中随机取4个球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,则小明得分大于6分的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(2022河南周口三模)已知生产方提供一批产品共50箱,其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则如下:从该批产品中任取5箱进行检测,若至多有1箱不合格产品,便接收该批产品.则该批产品被接收的概率为　　　　.(结果用最简分数表示)
6.(2023北京东城期末)某单位组织知识竞赛,按照比赛规则,每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在5道备选题中,甲答对每道题的概率都是,且每道题答对与否互不影响,则甲恰好答对其中2道题的概率为　　　　;若乙能答对其中3道题且另外2道题不能答对,则乙恰好答对2道题的概率为　　　　.
7.已知在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有4个红球和4个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出3个球,X表示摸出的红球的个数.
(1)求X的分布列;
(2)若至少摸到2个红球就中奖,求中奖的概率.
题组二　超几何分布的期望与方差
8.(2023天津南开大学附属中学检测)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名到希望小学进行支教活动(每位同学被选中的可能性相等).
(1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的期望和方差.
9.(2022陕西汉中部分重点高中联考)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识,某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.现按性别用分层随机抽样的方法从理科生中抽取6人,从文科生中抽取4人,组成环境保护兴趣小组,再从兴趣小组中抽出4人参加学校组织的环保知识竞赛.
(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有2名男生、2名女生,而且这2名男生中文、理科生都有”,求事件A发生的概率;
(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数,求X的分布列及方差.
10.(2023安徽滁州定远中学月考)已知某盒中有12个乒乓球,其中9个是新的,3个是旧的,第一次比赛时,从中一次性任意取出3个球来用,用完后仍放回盒中,第二次比赛时从中任意取出1个球.
(1)记第一次比赛时从盒中取出的3个球中旧球的个数为X,求X的分布列与期望;
(2)求第二次比赛时取出的球为新球的概率.
能力提升练
题组　超几何分布的应用
1.某商场推出一种抽奖活动,盒子中装有有奖券和无奖券共10张,顾客从中任意抽取2张,若至少抽中1张有奖券,则该客户中奖,否则不中奖.顾客甲每天都参加1次抽奖活动,一个月(30天)之后发现,自己共中奖11次,则估计盒子中的有奖券有(　　)
A.1张　　B.2张　　C.3张　　D.4张
2.杭州某中学为庆祝第19届亚运会在杭州举行,举办了一次“亚运知识知多少”知识竞赛.已知参赛选手从7道题(4道多选题、3道单选题)中随机抽取进行作答,若某选手先随机抽取2道题,再随机抽取1道题,则最后抽取到的题为多选题的概率为　　　　.
3.(2023江西景德镇一中期中)幸福农场生产的某批次20件产品中含有n(3≤n≤13,n∈N*)件次品,从中一次性任取10件,其中次品恰有X件.
(1)若n=3,求取出的产品中次品不超过1件的概率;
(2)记f(n)=P(X=3),则当n为何值时, f(n)取得最大值.
4.(2023重庆巴蜀中学月考)已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒,每盒中最多有一支次品,每盒电子笔有次品的概率为.
(1)现有一盒电子笔,抽出两支进行检测.
①求抽出的两支均是正品的概率;
②已知抽出的两支是正品,求剩余产品有次品的概率;
(2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品,由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起,现随机选3支电子笔进行检测,记ξ为选出的3支电子笔中的次品数,求ξ的期望和方差.
5.(2021陕西宝鸡渭滨模拟)某商场举行有奖促销活动,凡10月13日当天消费超过400元(含400元)的顾客均可抽奖一次,抽奖箱里有6个除颜色外完全相同的小球(其中红球有3个,白球有3个),抽奖方案有两种,顾客可自行选择其中的一种方案.
方案一:从抽奖箱中一次性摸出2个球,若摸出2个红球,则打6折;若摸出1个红球,则打8折;若没有摸出红球,则不打折.
方案二:从抽奖箱中有放回地每次摸取1个球,连摸2次,每摸到1次红球,立减100元.
(1)若小方、小红各消费了400元,且均选择方案一,试求他们中有一人享受6折优惠的概率;
(2)若小勇消费恰好满600元,试比较说明小勇选择哪种方案更划算.
答案与分层梯度式解析
第七章　随机变量及其分布
7.4.2　超几何分布
基础过关练
1.B 2.B 3.A 4.A
1.B　
2.B　对于A,5件产品中有3件次品的概率为,故A不符合题意;对于B,5件产品中有2件次品的概率为,故B符合题意;对于C,5件产品中有2件正品的概率为,故C不符合题意;对于D,5件产品中至少有2件次品的概率为,故D不符合题意.故选B.
3.A　对于A,有1道或2道填空题的概率P=+=,故A符合题意;
对于B,有2道或3道填空题的概率P=+=,故B不符合题意;
对于C,至少有1道填空题的概率P=++=,故C不符合题意;
对于D,恰有2道填空题的概率P==,故D不符合题意.故选A.
4.A　记小明的得分为X分,则X的可能取值为5,6,7,8,
且P(X=7)==,
P(X=8)==,
所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=.
5.答案　
解析　设进行检测的5箱产品中不合格产品有X箱,则X服从超几何分布,
∴该批产品被接收的概率为P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
6.答案　;
解析　设甲能够答对X道题目,则X~B,因此P(X=2)=××=;
若乙能答对其中3道题且另外2道题不能答对,则乙恰好答对2道题的概率为=.
7.解析　(1)X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)由题意及(1)得,中奖的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=.
8.解析　(1)用A表示事件“选出的3名同学来自互不相同的学院”,则P(A)==.
(2)X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
∴E(X)=0×+1×+2×+3×=,
∴D(X)=×+×+×+×=.
9.解析　(1)由题意可得,抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人,所以P(A)===.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=,
所以D(X)=×+×+×+×=.
10.解析　(1)X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)===,
P(X=1)===,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=或E(X)==.
(2)设事件A=“第二次比赛时取出的球为新球”,事件Bi=“第一次比赛时取出的3个球中有i个新球”,i=0,1,2,3.
由(1)可得P(B0)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,
根据题意,得P(A|B0)==,P(A|B1)==,P(A|B2)=,P(A|B3)==,
所以P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=×+×+×+×=.
能力提升练
1.B　设中奖的概率为p,30天中中奖的天数为X,则X~B(30,p).
若盒子中有1张有奖券,则p==,所以E(X)=30×=6.
若盒子中有2张有奖券,则p==,
所以E(X)=30×=.
若盒子中有3张有奖券,则p==,
所以E(X)=30×=16.
若盒子中有4张有奖券,则p==,
所以E(X)=30×=20.
综上,估计盒子中有2张有奖券.故选B.
2.答案　
解析　设先抽取的2道题中多选题有X道,则X的可能取值为0,1,2,
所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以最后抽取到的题为多选题的概率为
P(X=0)×+P(X=1)×+P(X=2)×=×+×+×=.
3.解析　(1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A,则P(A)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
(2)由题意知f(n)=P(X=3)=,
f(n+1)=.
若 ==>1,
则(n+1)(13-n)>(n-2)(20-n),解得n<5.3,
故当n<5.3时, f(n+1)>f(n),当n>5.3时, f(n+1)4.解析　(1)①记事件A:该盒有次品,事件B:抽出的两支均是正品,
则P(A)=,P(B|A)===,P(B|)=1,
∴P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×1=.
②P(A|B)===.
(2)由题意知,两盒电子笔中共有10支正品,2支次品,∴ξ的可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)===,P(ξ=1)===,P(ξ=2)===,
∴E(ξ)=0×+1×+2×==,
∴D(ξ)=×+×+×=.
5.解析　(1)设“顾客享受6折优惠”为事件A,则P(A)==,∴小方、小红两人中有一人享受6折优惠的概率P=××=.
(2)若小勇选择方案一,设付款金额为X元,则X的可能取值为360,480,600,
则P(X=360)==,
P(X=480)==,
P(X=600)==.
∴E(X)=360×+480×+600×=480.
若小勇选择方案二,设摸到红球的个数为Y,付款金额为Z元,则Z=600-100Y.
由已知可得Y~B,故E(Y)=2×=1,
∴E(Z)=E(600-100Y)=600-100E(Y)=600-100=500.
∵E(X)21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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