2024人教版高中数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）--7.5　正态分布

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2024人教版高中数学选择性必修第三册同步
第七章　随机变量及其分布
7.5　正态分布
基础过关练
题组一　正态曲线及其特点
1.(2022河南名校期中联考)设随机变量X~N(μ,9),若P(X<1)=P(X>7),则(　　)
A.E(X)=4,D(X)=9 B.E(X)=3,D(X)=3
C.E(X)=4,D(X)=3 D.E(X)=3,D(X)=9
2.(2022北京一六一中学期中)设两个正态分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有(　　)
A.μ1<μ2,σ1<σ2　　　　B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2　　　　D.μ1>μ2,σ1>σ2
3.(2022湖北武汉月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ=(　　)
A.-　　B.0　　C.　　D.1
题组二　正态分布的概率计算
4.(2023山西大同期中)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),若P(ξ>3)=0.18,则P(1≤ξ≤2)=(　　)
A.0.18　　B.0.32　　C.0.68　　D.0.82
5.(2022安徽亳州一中期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),若P(ξ<4)=0.78,则P(2<ξ<3)=(　　)
A.0.2　　B.0.24　　C.0.28　　D.0.32
6.已知随机变量X~N(5,1),且P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,则P(6A.0.135 8　　　　B.0.135 5 C.0.271 6　　　　D.0.271 8
7.(2022湖南三湘名校教育联盟期中联考)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(2题组三　正态分布的实际应用
8.(2022山东潍坊部分县市期中联考)甲、乙两类产品的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.甲类产品的平均质量小于乙类产品的平均质量
B.乙类产品的质量比甲类产品的质量更集中于平均值左右
C.甲类产品的平均质量为1 kg
D.乙类产品的质量的方差为2
9.(2023浙江宁波效实中学期中)在某地举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩(单位:分)近似服从正态分布N(70,100),已知成绩在90分以上(含90分)的学生有14名,则参加此次数学竞赛的学生数大约为(参考数据:P(μ-σA.1 200　　B.900　　C.600　　D.300
10.(多选题)(2022江苏南京第五中学月考)已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X(单位:分)服从正态分布N(100,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,下列说法正确的是(　　)
附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997.
A.该市学生数学成绩的标准差为100
B.该市学生数学成绩的均值为100
C.该市学生数学成绩的及格率超过0.8
D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
11.(2022江苏南通期中)已知某校高三女生的身高X(单位:cm)近似地服从正态分布N(163,52).若随机选择一名该校的女生,其身高不高于168 cm的概率为　　　　.
注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683.
12.(2023浙江温州新力量联盟期中联考)红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温,有一定误差.现用一款红外体温计测量一个体温为36.9 ℃的人时,体温计所显示的体温X(单位:℃)服从正态分布N,若X的值落在(36.6,37.2)内的概率约为0.997 3,求n的值.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<3σ)≈0.997 3.
13.(2022重庆一模)某校积极响应国家号召,组织全校学生加强实心球项目训练,规定该校男生投掷实心球6.9米达标,女生投掷实心球6.2米达标,并拟定投掷实心球的考试方案为每位学生可以投掷3次,一旦达标就不用再投.从该校任选5名学生进行测试,如果有2人不达标的概率超过0.1,则该校学生还需加强实心球项目训练.已知该校男生投掷实心球的米数ξ1服从正态分布N(6.9,0.25),女生投掷实心球的米数ξ2服从正态分布N(6.2,0.16).
(1)请你通过计算,说明该校学生是否还需加强实心球项目训练;
(2)为提高学生考试达标率,该校决定加强训练,经过一段时间训练后,该校女生投掷实心球的米数X服从正态分布N(6.516,0.16),且P(X≤6.832)=0.785.此时,请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到99%,并说明理由.(取的值为2.15)
能力提升练
题组一　正态分布及其概率计算
1.已知连续型随机变量Xi~N(μi,)(i=1,2,3),其正态曲线如图所示,则下列结论正确的是　(　　)
A.P(X1≤μ2)B.P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C.P(X1≤μ2)D.P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(-2≤≤+2)(i=1,2)
2.(2022四川成都郫都月考)已知某校高三理科学生参加“成都一诊”考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布N(95,σ2),则下列结论中不正确的是　(　　)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.σ越大,学生的数学成绩在(90,100)内的概率就越大
B.当σ=20时,P(75C.无论σ为何值,学生的数学成绩大于95的概率为0.5
D.无论σ为何值,学生的数学成绩小于75与大于115的概率相等
3.(2023海南华侨中学模拟)某校高二学生一次数学诊断的考试成绩X(单位:分)服从正态分布N(110,102),从中抽取一名学生的数学成绩,记为ξ,记“90<ξ≤110”为事件A,“80<ξ≤100”为事件B,则在事件A发生的条件下,事件B发生的概率约为　　　　.(结果保留两位有效数字)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ题组二　正态分布的应用
4.(多选题)(2023福建三明四地四校期中联考)已知某高校学生每周阅读时间X(单位:小时)服从正态分布N(9,4),则下列说法正确的是(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.该校学生每周平均阅读时间为9小时
B.该校学生每周阅读时间的标准差为4
C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.15%
D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5小时的人数约为210
5.(2023安徽芜湖一中期中)某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植红玫瑰和白玫瑰后销售.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列结论错误的是(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.若红玫瑰日销售量在(μ-30,280)内的概率是0.682 6,则红玫瑰日销售量平均为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量在(240,+∞)内的概率约为0.841 3
D.白玫瑰日销售量在(320,+∞)内的概率约为0.341 3
6.为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.高三全体考生的数学成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩在82.5分以下的概率为　　　　,如果成绩在135分以上的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有　　　　人.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.96.
7.(2022湖南三湘名校教育联盟期中联考)某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径Z(单位:cm)的数据如下:97,97,98,102,105,107,108,109,113,114.设这10个数据的平均值为μ,标准差为σ.
(1)求μ与σ;
(2)假设这批零件的内径Z(单位:cm)服从正态分布N(μ,σ2).
①从这批零件中随机抽取5个,设这5个零件中内径小于87 cm的个数为X,求E(4X+3);
②若该车间又新购一台设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径(单位:cm)分别为86,95,103,109,118,以原设备生产性能为标准,这台设备是否需要进一步调试 说明理由.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,0.997 34≈0.99.
8.(2021陕西西安中学模拟)公平正义是社会主义和谐社会的重要特征,是社会主义法治观念的价值追求.考试作为一种公平公正选拔人才的有效途径正被广泛采用.某企业准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名应聘人员,其中275个高薪职位,25个普薪职位.已知此次招聘中,实际报名人数为2 000,考试满分为400分,考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分,360分及以上的高分考生有30名(一般地,对于一次成功的考试来说,考试成绩应服从正态分布).
(1)求此次招聘中的最低录用分数(结果保留整数);
(2)已知考生甲的成绩为286分,试判断甲能否被录用,若被录用,进一步判断其能否获得高薪职位.
附:①当X~N(μ,σ2)时,令Y=,则Y~N(0,1);②当Y~N(0,1)时,P(Y<2.17)≈0.985,P(Y<1.28)≈0.9,P(Y<1.09)≈0.863,P(Y<1.04)≈0.85.
答案与分层梯度式解析
第七章　随机变量及其分布
7.5　正态分布
基础过关练
1.A 2.A 3.C 4.B 5.C 6.B 8.A 9.C
10.BC
1.A　∵随机变量X~N(μ,9),且P(X<1)=P(X>7),∴σ2=9,μ==4,∴E(X)=4,D(X)=9.故选A.
2.A　根据正态曲线的性质,直线x=μ是正态曲线的对称轴;σ反映正态曲线的离散程度,σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“瘦高”.由题图得,μ1<μ2,σ1<σ2.故选A.
3.C　∵函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
∴P(-x≤ξ≤-x+1)=P(x≤ξ≤x+1),
∴μ==.故选C.
4.B　易知正态曲线的对称轴为直线x=2,所以P(1≤ξ≤2)=P(ξ≤2)-P(ξ<1)=P(ξ≤2)-P(ξ>3)=0.5-0.18=0.32.故选B.
5.C　易知正态曲线的对称轴为直线x=3.
由P(ξ<4)=0.78,得P(ξ≥4)=P(ξ≤2)=1-0.78=0.22,则P(2<ξ<4)=1-2×0.22=0.56,
故P(2<ξ<3)=P(2<ξ<4)=×0.56=0.28.
故选C.
6.B　由随机变量X~N(5,1)知,μ=5,σ=1,
所以P(4≤X≤6)≈0.683,P(3≤X≤7)≈0.954,
所以P(67.答案　4
解析　由题意得P(X≤2)=1-P(X≥6)-P(2∴μ==4.
8.A　由题图可知,甲类产品的平均质量为μ1=0.5 kg,乙类产品的平均质量为μ2=1 kg,甲类产品质量的方差明显小于乙类产品质量的方差,故甲类产品的质量比乙类产品的质量更集中于平均值左右,故A正确,B、C错误;
由正态密度函数的解析式f(x)=,
可知当x=μ时, f(x)取得最大值,
∴=4,
∴σ=,
∴σ2=≠2,故D错误.
故选A.
9.C　用X(单位:分)表示参赛学生的竞赛成绩,则X~N(70,100),所以μ=70,σ=10,
所以P(X≥90)=≈=0.022 75,所以参加此次数学竞赛的学生数为≈615.故选C.
10.BC　由X服从正态分布N(100,100),可得μ=100,σ=10,故A错误,B正确;
因为P(X<90)=P(X<μ-σ)=[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(1-0.683)=0.158 5,
所以P(X≥90)=1-P(X<90)=1-0.158 5=0.841 5>0.8,故C正确;
P(X>120)=P(X>μ+2σ)≈×(1-0.954)=0.023,故优秀率约为0.023,而不及格率约为1-0.841 5=0.158 5,故D错误.故选BC.
11.答案　0.841 5
解析　由题意可得μ=163,σ=5,
故P(158≤X≤168)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,
所以P(163≤X≤168)=P(μ≤X≤μ+σ)≈×0.683=0.341 5,又P(X<163)=P(X<μ)=0.5,
所以P(X≤168)=P(X<163)+P(163≤X≤168)=0.5+0.341 5=0.841 5.
12.解析　由题意可得μ=36.9,σ2=,
∵X的值落在(36.6,37.2)内的概率约为0.997 3,且P(|X-μ|<3σ)≈0.997 3,
∴P(36.6∴3σ=0.3,解得σ=0.1,
∴=0.01,解得n=5.
13.解析　(1)由该校男生投掷实心球的米数ξ1服从正态分布N(6.9,0.25),女生投掷实心球的米数ξ2服从正态分布N(6.2,0.16),可知该校男生和女生达标的概率均为,不达标的概率均为,所以选5人进行测试时,有2人不达标的概率为×=>0.1,
所以该校学生还需加强实心球项目训练.
(2)由题意知X~N(6.516,0.16),P(X≤6.832)=0.785,即P(X≤6.516+0.316)=0.785,
所以P(X≥6.2)=P(X≥6.516-0.316)=P(X≤6.832)=0.785,
所以女生的达标率为[1-(1-0.785)3]×100%=(1-0.2153)×100%=1-×100%=99%,
所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到99%.
能力提升练
1.D 2.A 4.ACD 5.D
1.D　对于A,P(X1≤μ2)表示题中y=f1(x)的图象在第二条竖向虚线左侧的部分与x轴围成的图形的面积,P(X2≤μ1)表示题中y=f2(x)的图象在第一条竖向虚线左侧的部分与x轴围成的图形的面积,
由题图可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1),故A错误;
对于B,P(X2≥μ2)=,P(X3≥μ3)=,则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3),故B错误;
对于C,与A中分析相同,P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3),故C错误;
对于D,在正态分布中,随机变量X落在某区间的概率表示曲线和x轴及对应直线围成的图形的面积,与i的取值无关,故P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(-2≤≤+2)(i=1,2)成立,故D正确.
2.A　当σ=5时,P(90当σ=20时,P(75由正态曲线关于直线x=95对称可知学生的数学成绩大于95的概率为0.5,与σ的值无关,C中结论正确;
由正态曲线关于直线x=95对称可知学生的数学成绩小于75与大于115的概率相等,与σ的值无关,D中结论正确.故选A.
3.答案　0.28
解析　由题意可知μ=110,σ=10,事件AB为“90<ξ≤100”,所以P(AB)=P(90<ξ≤100)=P(μ-2σ<ξ≤μ-σ)=≈=0.135 9,又P(A)=P(90<ξ≤110)=P(μ-2σ<ξ≤μ)=≈=0.477 25,所以P(B|A)==≈0.28.
4.ACD　因为X~N(9,4),所以该校学生每周平均阅读时间为9小时,每周阅读时间的标准差为2,故A正确,B错误;该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占×100%=×100%=×100%=0.15%,故C正确;每周阅读时间在3~5小时的人数占[P(35.D　对于A,由题意得μ+30=280,解得μ=250,故红玫瑰日销售量平均为250,故A中结论正确;
对于B,∵红玫瑰日销售量的方差为900,白玫瑰日销售量的方差为1 600,∴红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中,故B中结论正确;
对于C,设白玫瑰的日销售量为X,则X~N(280,402),所以P(X>240)=P(X>μ2-σ2)=P(μ2-σ2320)=≈=0.158 7,故C中结论正确,D中结论错误.故选D.
6.答案　0.16;10
解析　由题意得P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=P(X<μ)-≈0.5-=0.16,
因为正态曲线关于直线x=100对称,
所以P(X>117.5)=P(X<82.5)=0.16,
因为成绩在117.5分以上的学生有80人,
所以本次高三考生总人数约为=500.
又P(X>135)=P(X>μ+2σ)=P(X>μ)-≈0.5-=0.02,
所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10(人).
7.解析　(1)由题意得μ=×(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105,
σ2=×(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36,
∴σ=6.
(2)①由(1)得Z~N(105,36),∴P(Z<87)=P(Z<μ-3σ)=P(Z<μ)-≈0.5-=0.001 35,
∴X~B(5,0.001 35),∴E(4X+3)=4E(X)+3=4×5×0.001 35+3=3.027.
②需要.理由如下:
∵P(87≤Z≤123)=P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3,
∴5个零件中恰有1个零件的内径不在[μ-3σ,μ+3σ]内的概率为×0.997 34×(1-0.997 3)≈5×0.99×0.002 7=0.013 365.
∵86 [87,123],∴试生产的5个零件中出现了1个零件的内径不在[μ-3σ,μ+3σ]内,出现的频率为0.2,大概是0.013 365的15倍,根据3σ原则,这台设备需要进一步调试.
8.解析　(1)设考生的成绩为X,则X~N(180,σ2).
令Y=,则Y~N(0,1).
由360分及以上的高分考生有30名,得P(X≥360)=,所以P(X<360)=1-=0.985,
即P=0.985,则≈2.17,
所以σ≈83,所以X~N(180,832).
设最低录用分数为x0,
则P(X≥x0)=P==,
即P=1-=0.85,
即≈1.04,所以x0≈267,
所以此次招聘中的最低录用分数为267.
(2)因为286>267,所以甲能被录用.
易得P(X<286)=P≈P(Y<1.28)≈0.9,所以不低于甲的成绩的人数约为2 000×(1-0.9)=200,所以甲大约排在第200名,所以甲能获得高薪职位.
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