课件16张PPT。1.推理：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断的思维方式。推理前提结论－－－推理所依据的事实（或假设）.－－－根据已知的得到的判断类比推理归纳推理2.推理的分类演绎推理2.1.1合情推理归纳推理 歌德巴赫猜想:
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”即:偶数＝奇质数＋奇质数歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， 歌德巴赫猜想:
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇数之和”即:偶数＝奇质数＋奇质数改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3， 1000＝29+971，
8＝3+5， 1002=139+863,
10＝5+5, …
12＝5+7，
14＝7+7，
16＝5+11,
18 =7+11,
…， 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称归纳)归纳推理的几个特点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明【引例1】观察下的三角阵：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
??
1 10 45 ?? 45 10 1
试找出相邻两行之间的关系【引例2】 已知数列 { an } , a1 = 1 ,
且
猜测数列的通项公式。 【归纳推理】 由部分到整体，由个别到一般的推理；结论只是猜测，但可以发现新事实，获得新结论【思考下列问题】1、设 an 表示 n 条直线交点的最多个数，
则 an =________ 2 条直线相交最多有1个交点 3 条直线相交最多有3个交点 4 条直线相交最多有6个交点例1:已知数列{an}的第1项a1=1且
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。 归纳推理的一般步骤：例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3123当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=3时,a3=7当n=4时,a4=15猜想 an=2n -1123作业:由部分到整体，由个别到一般的推理称为归纳推理；小结:由归纳推理获得的结论仅仅是一种猜想，未必可靠；由归纳推理可以发现新事实，获得新
结论课件33张PPT。1.推理：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断的思维方式。推理前提结论－－－推理所依据的事实（或假设）.－－－根据已知得到的判断复习:由部分到整体，由个别到一般的推理称为归纳推理；复习:1、归纳推理的概念:这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称归纳)2、归纳推理的一般模式:S1具有P,S2具有P,……Sn具有P,(S1,S2,…,Sn是A类事物的对象）所以A类事物具有P⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；3、归纳推理的一般步骤:推理案例1：前提：当n=0时，n2-n+11=11;
当n=1时，n2-n+11=11;
当n=2时，n2-n+11=13;
当n=3时，n2-n+11=17;
当n=4时，n2-n+11=23;
当n=5时，n2-n+11=31;
11,11,13,17,23,31都是质数.结论：对于所有的自然数n，n2-n+11的值都是质数. 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？推理案例2：2.1.1合情推理(2)类比推理相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部
分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命火星上可能有生命上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）推理案例3：行星、围绕太阳运行、
绕轴自转行星、围绕太阳运行、
绕轴自转 有大气层 有大气层一年中有季节的变更温度适合生物的生存一年中有季节的变更大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存有生命存在可能有生命存在1.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.2.利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.推理案例：定义：这种由两类对象具有某些类似的特征和其
中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也
具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。特点：1、是由特殊到特殊的推理。2、类比推理具有猜测性，不一定可靠。你能得到类比推理的一般模式吗？类比推理的一般模式:所以B类事物可能具有性质d’.A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a’,b’,c’,(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）构建数学：观察、比较联想、类推猜想新结论类比推理的一般步骤:⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，
从而得出一个猜想；类比实数的加法和乘法:法国数学家伽罗瓦(Galois)正是通过类比不同的集合及其运算性质，从中归纳出共同的结构，从而提出了“群”的理论。例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.到一个定点的距离等于定长的点
的集合.圆
弦
直径周长
面积球
截面圆大圆表面积体积球的定义:【例2】如图，利用类比推测球的有关性质球心与截面圆（不经过球心的截面圆）圆心的连线垂直于截面圆。与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等；与球心距离较近的截面圆面积较大。球的表面积球的体积 例1.在平面直角坐标系中,A(x1,y1),B(x2,y2)
两点之间的距离 公式为:
|AB|=在空间直角坐标系中,A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)
两点之间的距离 公式为:
|AB|=推广到空间，相应结论是：构成几何体的元素数目：四面体 三角形 应用类比推理要先寻找合适的类比对象类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．3个面两两垂直的四面体∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S 平面内,两组对边分别相等的四边形是
平行四边形. 空间中,两组对边分别相等的四边形是
平行四边形. 平面内,同时垂直于一条直线的两条
直线互相平行. 空间中,同时垂直于一条直线的两条
直线互相平行.类比推理所得的结论不一定可靠类比得到以下结论，判断其是否正确： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。【类比推理】主要步骤（1）首先，找出两类对象之间 可以确切表述的相似特征；
（2）然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
（3）最后，检验这个猜想。小结:类比推理是由特殊到特殊的推理 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。 合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围，是从特殊到一般得命题的猜测，是否正确是需要证明的。类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式，类比推理是否正确是需要证明的。实验、观察概括、推广猜测一般性结论观察、比较联想、类推猜测新的结论回顾等差数列的性质１.an = am+ (n-m)d等比数列有哪些性质？2. 等差数列｛an｝, 若 k + l = p + q 则ak + al = ap + aq１. an = am qn-m2. 等比数列｛an｝, 若 k + l = p + q 则ak al = ap aq猜一猜: 相应的,思考题2抛物线y2=2px(p>0)开口方向与x轴正半轴
同向,焦点在x轴的正半轴.照此推测,x2=2py
(p>0)图象开口方向与_____轴正半轴同向,
焦点在_____轴的正半轴上.6、已知类比到等比数列，相应结论是：由?C=900, c 2 = a 2 + b 27 在三角形ABC中，
三边分别为 a , b , c . 类比可得:?C>900, 则 c 2 > a 2 + b 2?C<900, 则 c 2 < a 2 + b 2例:类比实数的加法和乘法,列出它们相似
的运算性质类比推理的对象四面体的类比对象 【例】如图，已知O是?ABC内任意一点，
连接AO、BO、CO，并延长交对边
于A?、B?、C?，则
其证明方法常用面积法。通过类比推理，可以猜测怎样的结论？课件20张PPT。复习:合情推理归纳推理 由部分到整体，由个别到一般
类比推理 由特殊到特殊从具体问题出发观察、分析
比较、联想提出猜想归纳
类比小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？
如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？情景创设1：生活中的例子情景创设2 观察与思考1.所有的金属都能导电, 2.一切奇数都不能被2整除, 3.三角函数都是周期函数, 铜能够导电.铜是金属, (2100+1)不能被2整除.(2100+1)是奇数, tan 周期函数 tan 三角函数,是合情推理吗？1.所有的金属都能导电, 2.一切奇数都不能被2整除, 3.三角函数都是周期函数, 4.全等的三角形面积相等 所以铜能够导电.因为铜是金属, 所以(2100+1)不能被2整除.因为(2100+1)是奇数,因为tan 三角函数,那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,情景创设2：观察下列推理有什么特点？所以是tan 周期函数 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，由一般到特殊的推理。一、演绎推理的定义:二、演绎推理的模式:“三段论”是演绎推理的一般模式；M……P（M是P)S……M (S是M)S……P (S是P)大前提---已知的一般原理；小前提---所研究的特殊对象； 结论---根据一般原理，对特殊情况做出的判断．若集合M的所有元素
都具有性质P，S是M
的一个子集，那么S
中所有元素也都具有
性质P。所有的金属(M)都能够导电(P)
铜(S)是金属(M)
铜(S)能够导电(P)M……PS……MS……P用集合的观点来理解:三段论推理的依据 大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额没有要求。小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。结论：小明犯了抢劫罪。小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？练习3:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.满足对于任意x1,x2∈D,若x1
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x10
因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0
因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)（1）因为指数函数 是增函数，
而 是指数函数，
所以 是增函数。错因：上述推理的形式正确，但大前提是错误的，所以结论是错误的。思考、演绎推理的结论一定正确吗？三、演绎推理的特点:1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；
2、在演绎推理中，前提与结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。因此演绎推理是数学中严格的证明工具。3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。四、合情推理与演绎推理的区别合情推理归纳推理类比推理由部分到整体、个
别到一般的推理。由特殊到特殊
的推理。 结论不一定正确，有待进一
步证明。演绎推理由一般到特殊的
推理。只要前提和推理
形式是正确的
结论一定正确。 合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎
推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。练习1、下面说法正确的有（ ）
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个C补充练习练习2：用三段论的形式写出下列演绎推理。
（1）三角形内角和180°，等边三角形内
角和是180°。
（1）分析：省略了小前提：“等边三角形是三角形”。（2） 是有理数。（2）分析：省略了大前提：“所有的循环小数都是有理数。” 小前提： 是循环小数。解：三角形内角和180°，所以等边三角形内角和是180°。等边三角形是三角形。练习3. 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因;(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数;(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.大前提 错误演绎推理概念
一般形式——三段论
证明问题
合情推理与演绎推理的联系与区别（难点）（重点）（重点）四、小结例4：已知a,b,m均为正实数，b0,所以mb0,(大前提）(小前提）(大前提）(小前提）(大前提）(小前提）(结论）(结论）(结论）大前提小前提结论2007不能被2整除冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行铜能导电注 演绎推理有时可用列表的形式表示，如：学习目标：
1、什么是演绎推理？
2、什么是三段论？
3、合情推理与演绎推理有哪些区别？
4、能举出一些在生活和学习中有关演绎
推理的例子。三、新课课件8张PPT。知识回顾：合情推理与演绎推理的区别合情推理归纳推理类比推理由部分到整体、个
别到一般的推理。由特殊到特殊
的推理。 结论不一定正确，有待进一
步证明。演绎推理由一般到特殊的
推理。只要前提和推理
形式是正确的
结论一定正确。 合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎
推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。演绎推理概念
一般形式——三段论
证明问题
合情推理与演绎推理的联系与区别（难点）（重点）（重点）一、比较法证明不等式比较法证明不等式依据：二、用不等式的性质进行简单证明1、对称性2、传递性3、可加性同向不等式可加性二、用不等式的性质进行简单证明4、可乘性正数同向不等式可乘性5、n次开方二、用不等式的性质进行简单证明课件16张PPT。直接证明与间接证明综合法【思考下列问题】综合法 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。也称为顺推导法或由因导果法.
【综合法的概念】【例1】在ΔABC中，三个内角A , B , C对应的边
分别是a , b , c ，且 A , B , C 成等差数列，
a , b , c 成等比数列。
求证： ΔABC是等边三角形。【分析】 条件是什么？符号语言图形语言文字语言学会语言转换找出隐含条件 例2.如图所示：已知QRP【综合法的应用】一、用综合法证明等式【综合法的应用】一、用综合法证明等式【综合法的应用】一、用综合法证明等式【综合法的应用】二、用综合法证明不等式【综合法的应用】一、用综合法证明不等式【常用不等式】【巩固练习】【作业】 P54 A组 1、2 B组 1课件12张PPT。直接证明与间接证明(1)综合法【思考下列问题】综合法 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。也称为顺推导法或由因导果法.
【综合法的概念】【例1】在ΔABC中，三个内角A , B , C对应的边
分别是a , b , c ，且 A , B , C 成等差数列，
a , b , c 成等比数列。
求证： ΔABC是等边三角形。【分析】 条件是什么？符号语言图形语言文字语言学会语言转换找出隐含条件QRP【综合法的应用】一、用综合法证明等式【综合法的应用】二、用综合法证明不等式【综合法的应用】一、用综合法证明不等式【常用不等式】【巩固练习】 例2.如图所示：已知课件9张PPT。综合法:(顺推证法)(由因导果法)从已知条件和某些数学定义,定理,公理等出发,经过一系列推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.…用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:知识回顾直接证明中最基本的两种证明方法是：综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常用的思维方式。直接证明与间接证明（2）分析法因为此式成立,所以原不等式立.分析法(逆推证法)(执果索因法)从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法.得到一个明显
成立的条件…用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:因为此式成立,所以原不等式立.用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:……直接证明（回顾小结）分析法 解题方向比较明确，
利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求
思路，再用综合法有条理地
表述解题过程分析法
综合法概念课件13张PPT。直接证明：(1)综合法——(2)分析法——由因导果执果索因间接证明 A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - 那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.引例1： 将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？引例2：间接证明： 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法。间接证明的一种基本方法：反证法证明1（直接证明，要分类讨论）证明2、假设存在某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4，则球的总数不超过8，这与球的总数是9矛盾。因此无论怎样染，至少有5个球同色。 一般地，假设原命题不成立， 经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。其过程包括：反设——假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；存真——由矛盾判断反设不真，从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过正确的推理，得出矛盾；例1、已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有一个根。说明：唯一性问题的证明一般用反证法例、求证：任何有理数的平方都不等于2。线面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。??归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾（与反设矛盾）。 (4)结论为 “唯一”类的命题。正难则反!应用反证法的情形： (1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”
这一类的命题；推理 合情推理 演绎推理
（归纳、类比） （三段论）证明 直接证明 间接证明
（分析法、综合法） （反证法）数学—公理化思想第二章推理与证明练习卷
班级 姓名 学号
一．选择题
1．下列表述正确的是（ ）．
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤．
2.下面使用类比推理正确的是 （ ）
A．“若,则”类推出“若,则”
B．“若”类推出“”
C．“若” 类推出“ （c≠0）”
D．“” 类推出“”
3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
4.在平面几何里，有勾股定理：设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则可得（ ）
A．AB2+AC2+ AD2=BC2 +CD2 +BD2 B．
C． D．AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2
5.从，…中，可得到一般规律为
(用数学表达式表示)
6.设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，当ｎ＞４时，＝ （用含n的数学表达式表示）
7.已知，，，求证：．
8. 已知，求证：
（1）；
（2）、、中至少有一个不小于．
9.已知a，b，c是全不相等的正实数，求证．
10．自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第年年初的总量，，且．不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数．
（Ⅰ）求与的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
第二章 推理与证明
学法点拨
一．重点难点概括
本章重点：通过实例了解合情推理与演绎推理的含义，能利用归纳、类比及“三段论”进行简单的推理．了解综合法、分析法和反证法的思考过程与证题方法．
本章难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想；用“三段论”进行简单的推理．根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程，选择适当的方法进行证明．
二．盲点提示
1．归纳推理与类比推理是合情推理常用的思维方法．
归纳推理
类比推理
概念
由特殊到一般、部分到整体的推理
由特殊到特殊、一类到另一类的推理
推理
步骤
1．通过观察个别情况发现某些相同性质；
2．从这些相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．
1．找出两类事物之间的相似性或一致性；
2．用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，从而得出一个明确的命题．
2．演绎推理是由一般到特殊的推理，即从一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论．一般用“三段论”的推理模式．
“三段论”推理模式的步骤
符号表示
集合的角度理解
（1）大前提：已知的一般原理；
（2）小前提：所研究的特殊情况；
（3）结 论：根据一般原理，对特殊情况做出判断．
大前提：M是P；
小前提：S是M；
结 论：S是P．
集合M的所
有元素具有性质P
S M
S中的所有元素具有性质P
5．直接证明的两种基本方法——综合法和分析法
综合法：它是“由因索果”的证明方法．
分析法：它是“执果索因”的证明方法．
6．间接证明的一种基本方法——反证法
反证法证明命题的基本步骤：
分清命题的条件和结论；
作出与命题结论相矛盾的假设；
由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；
断定产生矛盾结果的原因，在于假设不真，于是原结论成立．
三．方法指导
1．归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．
2．演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，一般用“三段论”的推理模式．但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．
3．综合法是从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后推导出所要求证的命题的一种方法；分析法是先假设所要求证命题的结论是正确的，由此逐步寻求保证结论成立的条件，最后当这些条件恰好都是显然成立的条件（已知、定义、公理、定理、法则、公式等）时，命题得证．
4．反证法是“正难则反”解题策略的具体体现，也是集合论中“补集思想”在推理证明中的应用．其关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．
5．通过实例学习和解题训练，在学会证明的三种基本方法的基础上，学会证明过程的规范、简洁、正确的表达方法．防止出现因果关系不清晰、逻辑表达混乱的现象，要在不断修正自己的证明过程中学会规范化的表达．
典型示例
【例1】观察下列各式：
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．
〖解〗猜想： 若，则
由，得
即
变形得
即
〖回顾〗归纳是通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式，需要对特例的条件和结论的异同点进行仔细的分析提炼而获得猜想，但猜想的结论正确与否有待进一步证明．
【例2】在平面几何中有这样的结论：在直角中，为直角，则．试运用类比推理，对于空间中的四面体存在怎样类似的结论．
〖分析〗考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间类比选取有三个面两两垂直的四面体，且三个侧面与面所成的二面角分别是．
〖解〗在直角中，为直角，则
于是把结论与四面体进行类比，我们猜想，在四面体中，若三个侧面两两垂直且分别与底面所成的角分别是．则
〖回顾〗类比推理应从具体问题出发，通过观察、联想进行对比，提出猜想．平面问题与空间问题的类比，通常要抓住平面角与二面角、面积与体积、边与面等方面的几何要素进行类比．在代数中也有等差与等比、分类与分步等类比．
【例3】 已知实数满足不等式，用三段论证明方程没有实数根．
〖分析〗 证明本题的大前提是依据若二次方程根的判别式小于零，则方程无实数根．小前提是推断出此方程的判别式小于零．
〖证明〗 若二次方程根的判别式小于零，则方程无实数根． （大前提）
由解得，
所以，因此， （小前提）
而方程的判别式为
因此方程没有实数根． （结 论）
〖回顾〗 在三段论推理中，首先必须明确大前提与小前提，并且在大前提、小前提和推理过程都正确，结论才正确，否则可能导致结论错误．
【例4】 已知是各项均为正数的等差数列，、、也成等差数列，又，证明为等比数列．
〖分析〗 由已知条件可探求出的公差、与的关系，进而研究数列的通项来证明．
〖证明〗 因为、、成等差数列，所以，即
设等差数列的公差为，则所以．
若，则为常数列，此时是以为首项，公比为1的等比数列；
若，则，从而，（）
（），
所以是以，公比为的等比数列．
综上所述为等比数列．
〖回顾〗本题从已知条件出发，运用了综合法的推理方法证明了结论，在推理过程中用到了分类讨论的思想方法，易错的地方往往会漏掉的情形，证明为等比数列时必须证明一般形式为常数．
【例5】 已知，，，求证：．
〖分析〗 观察待证的式子是一个连锁不等式，它等价于，很明显采用分析法较合适．
〖证明〗为了证明 ，
只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
即需证 ，
即需证，
即需证 ，这即为已知．
所以原不等式成立．
〖回顾〗 分析法的步骤为未知→需知→已知．在操作中“为了证明”、“只需证”、“即需证”等词语是不可缺少的．一般也可以逆向表述，即为综合法证明过程．
【例6】 已知，求证：
（1）；
（2）、、中至少有一个不小于．
〖分析〗对于（2）要证明的结论中含有“至少”的问题，从正面难以找到解题突破口，可转换视角，用反证法往往屡见奇功．
〖证明〗 （1） ∵
∴
所以
（2）用反证法
假设都小于，即，
则 ； ； ．
∴
由（1）可知，这与矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．
〖回顾〗 用反证法证明命题时，要特别注意某些特征词的否定形式，准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式： ?
原 结 论
是
都是
大于
小于
至多有一个
至少有一个
否定形式
不是
不都是
不大于
不小于
至少有两个
一个也没有
自主演练
一级演练
一．选择题
1．下列表述正确的是（ ）．
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤．
2．下面使用类比推理正确的是 （ ）
A．“若,则”类推出“若,则”
B．“若”类推出“”
C．“若” 类推出“ （c≠0）”
D．“” 类推出“”
3．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 （ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度； B． 假设三内角都大于60度；
C．假设三内角至多有一个大于60度； D．假设三内角至多有两个大于60度．
5．下列条件：①；②；③；④能使不等式成立的条件个数为（ ）
A．1 B．2 C ．3 D ．4
二．填空题
6．由数列的前四项: ,1 , ,,……归纳出通项公式=___ _;
7．由“正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”可以类比推出正四面体的类似性质是
8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是正方形、菱形等）时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）．
9．设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，当ｎ＞４时，＝ （用含n的数学表达式表示）
10．若函数其中，是的小数点后第n为数字，例如，则（共2005个f）= ．
三．解答题
11．已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，用三段论证明你的结论．
12．已知a，b，c是全不相等的正实数，求证．
13．已知均为实数，且，
求证：中至少有一个大于0
14．在△ABC中，，判断△ABC的形状．
15．已知函数的最大值不大于，又当，求的值．
16．自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第年年初的总量，，且．不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数．
（Ⅰ）求与的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
二级演练
一．选择题
1． 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
2．在平面几何里，有勾股定理：设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则可得（ ）
A．AB2+AC2+ AD2=BC2 +CD2 +BD2 B．
C． D．AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2
3．已知函数，对不相等的实数两个，都有成立，且．则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2006 D． 20062
二．填空题
4．从，…中，可得到一般规律为
(用数学表达式表示)
5．b克糖水中，有a克糖（），若再添加m克糖（m>0）则糖水就变甜了，试根据这一事实提炼一个不等式
6．如果函数f(x)的定义域为R，对于是不大于5的正整数，当x>－1时，f(x)>0． 那么具有这种性质的函数f(x)= ．
（注：填上你认为正确的一个函数即可）
三．解答题
7．在各项为正的数列中，数列的前n项和满足
（1） 求； （2） 由（1）猜想数列的通项公式； （3） 求．
8．在中，若则三角形ABC的外接圆半径，把此结论类比到空间，写出类似的结论，并证明你的结论．
9．设，试证：．
10．已知
11． 证明：不能为同一等差数列的三项．
12． 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）．
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）当时，续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
三级演练
1．设集合，在集合M中定义一种运算*，使得
证明：若；
2．记中最小的一个，求证：
（1）设；
（2）设
3． 在三角形内求一点，使最小．
4． 已知：
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
_____________________________________________________=（ * ）
并给出（ * ）式的证明．
5．已知
(1)判断的单调性,并给予证明；
(2)若的三边分别为,求证：
6．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝，
D 是A1B1 中点．
（1）求证C1D ⊥平面A1B ；
（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论．
7*．若,，
(1)求证：；
(2)令,写出,,,的值,观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q．
8*．对于函数，若存在成立，则称的不动点．如果函数有且只有两个不动点0，2，且
（1）求函数的解析式；
（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；
（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立
一级演练答案：
1．D; 2．C; 3．C; 4．B; 5．B; 6．; 7．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值; 8．; 9．； 10．1;
11． EF∥平面ABD,证明略；
12．（综合法）∵ a，b，c全不相等
∴ 与，与，与全不相等．∴
三式相加得∴
即 ．（本题亦可用分析法）
13．用反证法，假设都不大于0，则．
而
得矛盾．所以假设不成立，故原命题得证．
14．因为sinA=据正、余弦定理得 ： ；
又因为为ABC的三边， 所以 即ABC为直角三角形．
15． 由于的最大值不大于，所以；
又由，所以，所以．综上得．
16．（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
，
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn+1恒等于xn， n∈N*，从而得
因为x1>0，所以a>b． 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变．
二级演练答案：
1．A; 2．C; 3．B; 4． ; 5．
6．
7．（1）；（2）；（3）．
8．取空间三条侧棱互相垂直的四面体，三条侧棱长分别为，则此三棱锥外接球的半径是．）
9． 证明略，此题可用分析法亦可用综合法证明．
10．证明 ∵a、
（本题亦可用分析法写证明过程）
11．（反证法）假设、、为同一等差数列的三项，则存在整数m,n满足
=+md ① =+nd ②
①n-②m得：n-m=(n-m) 两边平方得： 3n2+5m2-2mn=2(n-m)2
左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数
所以，假设不正确．即 、、不能为同一等差数列的三项
12．（1）．
（2），所以，
当时，．
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列．
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围．
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等．
三级演练答案：
1．，且
，
又由可以证得，．
2．（1），
（2）；
而当；
综上所述：
3．设，
所以，
时上式最小，此时为三角形重心
4． 一般形式为
证 左边 =
=
=
= =
（一般形式也可写成 ）
5．（1）证明从略
（2）在中有，由（1）得，所以
6．（1）证明：如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°．
又 D 是A1B1 的中点，∴ C1D ⊥A1B1 ．
∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B ．
（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求．
∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，
∴ AB1 ⊥平面C1DF ．
7*． (1)用反证法． 若，即, 解得
从而与题设,相矛盾，
故成立．
(2) ,,,,,归纳得．
（3）因为 又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故由解得,．
8*．（1）依题意有,化简为 由违达定理, 得
解得 代入表达式，
由有多于两个不动点，
（2）由题设得 （* ）
且 （**）
由（*）与（**）两式相减得：
解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，；
（3）用反证法，假设则由（1）知
,
即，而当这与假设矛盾，故假设不成立，．
推理与证明
命题：孙芬 审稿：张一为 时间：2007-3-23
班级： 学号： 姓名： 时间:40分钟 总分:100分
选择题（6*7=42分）
1.若三角形能剖分为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（ ）
A .锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 （ ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
3.在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行
成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c的值是( )
1
?
2
?
?
0.5
?
1
?
?
?
?
a
?
?
?
?
?
b
?
?
?
?
?
c
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
4.在十进制中 ，那么在5进制中2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004
5.设
A 都不大于-2 B 都不小于-2 C 至少有一个不大于-2 D至少有一个不小于-2
6. 一同学在电脑中打出如下若干个圈: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…
若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●有( )个
(A)12 (B) 13 (C)14 (D)15
二.填空题(4*7=28)
7. 在日常活动和科学推理中,常用的两种推理是 和
在直接证明法中,解决数学问题常用的思维方式是 和
8.观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是
9. 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据
“三段论”推理出一个结论，则这个结论是
10已知：
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
_____________________________________________________=
三.解答题(3*10=30分)
11.设
13.(用反证法证明)若p>0,q>0,且求证:
12.设数列 {an} 满足
（1）若 a1= 2 , 求 a2 , a3 , a4 ，并猜测an的一个通项公式
（2）若 a1≥3 , 猜测 an 与 n + 2 的大小关系。
