第13章 全等三角形 单元测试卷（B卷 提升能力）
【华东师大版】
考试时间：100分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人 得 分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列语句中，（ ）是命题．
A．在上取一点P，使 B．若，则
C．a不一定比b大 D．同位角不相等，两直线平行吗？
2．命题“如果，，那么”的逆命题是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么，
C．如果，，那么
D．如果，那么，
3．能确定与全等的条件是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
5．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
②画射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；
④过点画射线；
根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD=CE，AD与B相交于点P．下列结论；AE＝CD；②AD＝BE：③∠PAE＝∠ABE：④∠APB＝120°，其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内．若的周长为9，则五边形的周长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
10．如图，点B、C、E、在同一直线上，△ABC与△CDE为等腰三角形，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，∠BGC＝∠AFC，则下列结论：①DG＝EF；②CG＝CF；③AE＝BD；④AC+CD＝AE．正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：
（1）内错角相等，两直线平行．_________．
（2）同角的补角相等．_____．
12．等腰三角形一腰上中垂线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则顶角为 _________
13．如图，中，的垂直平分线交于P点．
（1）若，则_____；
（2）若，则的周长=_____．
14．如图，在中，，是边上的中线，的平分线交于点E，于点F，若，则的长度为_________．
15．如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．
16．如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有___________（填写正确的序号）
17．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，点D、E分别为AB、BC上的两点，将△BDE沿DE翻折得到ΔB′DE，DB′交AC于点F，若∠1+∠2＝80°，AD＝AF，则∠2＝___．
18．如图，在等边中，点在边延长线上，连接，点在线段上，连接，交线段于点，，，，则线段的长度为___________．
三、解答题（第19-20题每小题4分，第21-22题每小题5分，第23-24题每小题6分，第25-26题每小题8分，共46分）
19．如图，点、在上，，，．求证：．
20．已知：如图，，，求证：．
21．如图，AB＝AD，BC＝CD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若AC＝4，BD＝3，求多边形ABCD的面积．
22．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．
（1）与全等吗？为什么？
（2）若，，求的长．
23．如图，在中，，垂直平分，，．
（1）证明：；
（2）求的度数．
24．如图所示，已知BD平分∠ABC，AB＝AD，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）①若DE＝6 cm，求点D到BC的距离；
②当∠ABD＝35°，∠DAC＝2∠ABD时，求∠BAC的度数．
25．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB∥DE，AE＝3，DE＝4，求△ACF的周长．
26．有公共顶点A的△ABD，△ACE都是的等边三角形．
（1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数；
（2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD=90°时，延长EC角BD于F，
①求证：∠DCF=∠BEF；
②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由．第13章 全等三角形 单元测试卷（B卷 提升能力）
参考答案与试题解析
一、单选题
1．下列语句中，（ ）是命题．
A．在上取一点P，使 B．若，则
C．a不一定比b大 D．同位角不相等，两直线平行吗？
【答案】B
【分析】
判断一件事情的语句叫命题，命题都有的题设和结论两部分组成．
【解析】
解：A、在上取一点P，使；不是命题；
B、若，则；是命题；
C、a不一定比b大；不是命题；
D、同位角不相等，两直线平行吗？不是命题；
故选：B．
【点睛】
本题利用了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2．命题“如果，，那么”的逆命题是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么，
C．如果，，那么
D．如果，那么，
【答案】B
【分析】
根据逆命题的概念直接判断即可．
【解析】
解：命题“如果，，那么”的逆命题是“如果，那么，”，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查逆命题的概念，明确两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题关键．
3．能确定与全等的条件是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解析】
解：A. ，，，两边和一边的对角相等，不能确定全等，不符合题意；
B. ，，，两边相等，其中一个角是这两边的夹角，另一个是其中一边的对角，不能确定全等，不符合题意；
C. ，，，两角相等，其中一边这两个角的夹边，另一个是其中一角的对边，不能确定全等，不符合题意；
D. ，，，两角相等，这两个角的夹边也相等，能确定全等，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解题关键是准确理解判定定理，注意对应关系．
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
【答案】A
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【解析】
解：是线段的垂直平分线，
，
的周长，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
5．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用“HL”证明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，从而可以利用“SAS”证明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可.
【解析】
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°
∵AD=AD，
∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合题意；
∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，
∵AG=AG，DG=DG
∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合题意；
根据现有条件无法证明△BDE≌△CDF，故D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6．如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
②画射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；
④过点画射线；
根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
跟据三边对应相等的两个三角形全等利用尺规作图作一个角等于已知角．
【解析】
解：在△OCD和△中，
，
∴（SSS），
∴∠DOC=∠．
故选择D．
【点睛】
本题考查做一个角等于已知角，三角形全等判定与性质，掌握尺规作图一个角等于已知角的依据，三角形全等判定与性质是关键．
7．如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的性质可得∠B=∠C，∠BED=∠EFC，再利用三角形内角和定理可得出等量关系，化简即可．
【解析】
解： ∵，
∴∠B=∠C，∠BED=∠EFC，
∵，，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴，,
∴，
∵在△EFC中，，
∴,即，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和全等三角形的性质．熟练掌握定理，能结合图形完成角度之间的转化是解题关键．
8．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD=CE，AD与B相交于点P．下列结论；AE＝CD；②AD＝BE：③∠PAE＝∠ABE：④∠APB＝120°，其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
先根据SAS定理得出△ABD≌△BCE，结合全等三角形的性质及三角形外角的性质进行判断．
【解析】
解：①因为AC=BC，BD=CE，所以AE=CD．故①正确，
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC．
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
∴AD=BE．
故②正确；
③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB=∠CBE，则∠PAE=∠ABE，故③正确；
④∵由②知△ABD≌△BCE．
∴∠BAD=∠EBC，
∴∠BAD+∠ABP=∠ABD=60°．
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=60°，
∴∠APB=120°，
故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ABD≌△BCE是解答此题的关键．
9．和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内．若的周长为9，则五边形的周长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】
证明，得出．由题意可知，则得出五边形的周长，则可得出答案．
【解析】
解：为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
．
和是两个全等的等边三角形，
，
等边的周长为9,
等边的边长为3，
五边形的周长，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
10．如图，点B、C、E、在同一直线上，△ABC与△CDE为等腰三角形，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，∠BGC＝∠AFC，则下列结论：①DG＝EF；②CG＝CF；③AE＝BD；④AC+CD＝AE．正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】
先求证△BCD≌△ACE，再求证△BCG≌△ACF，即可推出①②③均正确，通过AC=BC，CD=CE，可知AC+CD=BE，而BE＞AE，故可知④错误．
【解析】
解：∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
又∵CA=CB，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠GBC=∠FAC，AE=BD，
故③正确，
又∵∠BGC=∠AFC，CA=CB，
∴△BCG≌△ACF（AAS）
∴CG=CF，AF=BG，
故②正确，
∴BD-BG=AE-AF，
即DG=EF，
故①正确，
∵AC=BC，CD=CE，
AC+CD=BC+CE=BE，
∵BE不一定等于AE
故④错误，
综上所述，①②③正确，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质与全等三角形的性质，解题的关键在于能够证出二次全等．
二、填空题
11．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：
（1）内错角相等，两直线平行．_________．
（2）同角的补角相等．_____．
【答案】如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
【分析】
找出原命题的条件和结论即可得出答案．
【解析】
（1）“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是命题的条件，“这两条直线互相平行”是条件的结论．
（2）“两个角是同一个角的补角”是命题的条件，“这两个角相等”是条件的结论．
故答案为：（1）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行．
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【点睛】
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
12．等腰三角形一腰上中垂线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则顶角为 _________
【答案】50°或130°
【分析】
根据等腰三角形的性质以及中垂线的性质进行分类讨论求解即可．
【解析】
解：①如图1所示，当顶角为锐角时，
由题意，∠ADE=90°，∠AED=40°，
∴∠A=180°-90°-40°=50°；
②如图2所示，当顶角为钝角时，
由题意，∠ADE=90°，∠AED=40°，
∴∠BAC=∠AED+∠ADE=90°+40°=130°；
故答案为：50°或130°．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等，理解图形的基本性质是解题关键．
13．如图，中，的垂直平分线交于P点．
（1）若，则_____；
（2）若，则的周长=_____．
【答案】 11
【分析】
（1）由垂直平分线的性质，AP＝BP，∠A＝∠ABP＝35°，∠BPA＝110°，∠BPC＝70°．
（2）ΔPBC的周长＝BP＋PC＋BC＝ AP＋PC＋BC＝AB+BC＝7＋4＝11．
【解析】
（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点，
∴AP=BP，
∴∠A=∠ABP=35°，
∴∠BPC=∠A+∠ABP=35°+35°=70°；
（2）△PBC的周长=BP+PC+BC，
=AP+PC+BC，
=AC+BC，
=AB+BC，
∵AB=7，BC=4，
∴△PBC的周长=7+4=11．
故答案为70°；11．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．如图，在中，，是边上的中线，的平分线交于点E，于点F，若，则的长度为_________．
【答案】5
【分析】
利用角平分线的性质定理解决问题即可．
【解析】
解：∵AC＝AB，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC，
∴ED＝，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．
【答案】13
【分析】
过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证△AEC≌△AMC，得到AE＝AM．证明△ECD≌△MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．
【解析】
解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠MAC，
∵CE⊥AD，CM⊥AB，
∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，
在Rt△AEC和Rt△AMC中，
AC=AC，CE=CM，
∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），
∴AE＝AM＝4cm，
∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠MBC，
在△EDC和△MBC中，
，
∴△EDC≌△MBC（AAS），
∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，
∴四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC＝8＋5＝13（cm），
故答案为：13．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，掌握常用的判定方法是解题的关键．
16．如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有___________（填写正确的序号）
【答案】①②④
【分析】
根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【解析】
解：平分，
，
，，
，
，
，
，
①平分正确；
无法证明，
③平分错误；
，，
，
，，
，，
，
④正确；
，，
，
②正确．
故答案是：①②④．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，是一道结论开放性题目，解题的关键是利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养发散思维能力．
17．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，点D、E分别为AB、BC上的两点，将△BDE沿DE翻折得到ΔB′DE，DB′交AC于点F，若∠1+∠2＝80°，AD＝AF，则∠2＝___．
【答案】25°
【分析】
连接，先证明出∠1 +∠2 =2∠DBE，得∠DBE= 40°，从而求出∠A的度数，利用三角形内角和即可求出答案．
【解析】
如图，连接，
∠1是△的外角，
∠1 = ∠ +∠，
∠2是△的外角，
∠2 =∠ +∠，
∠1 +∠2 =∠DBE+∠，
将△BDE沿DE翻折得到△，
∠DBE=∠，
∠1 +∠2 = 2∠DBE = 80°，
∠DBE = 40°，
BA= BC，
∠BAC= ∠ACB = 70°，
AD = AF，
∠1 = ∠AFD= 55°，
∠2= 80°-∠1 = 80°- 55°= 25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题主要考查了翻折的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，证明出∠1 +∠2 = 2∠DBE是解题的关键．
18．如图，在等边中，点在边延长线上，连接，点在线段上，连接，交线段于点，，，，则线段的长度为___________．
【答案】
【分析】
连接，过点作，交于，连接，如图所示：利用全等三角形的性质证明，，推出，设，，设，，构建方程组求解即可．
【解析】
解：连接，过点作，交于，连接，如图所示：
是等边三角形，，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
即，
，
可以假设，，设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题
19．如图，点、在上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】
可通过证，来得出的结论．
【解析】
证明：∵，
∴，
即；
又∵，，
∴；
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键，全等三角形的判定方法有：SAS、AAS、ASA、SSS．
20．已知：如图，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】
由两角和夹边即可得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质可到AE=AD，AB=AC，进而可得出结论BE=CD，再利用△BOE≌△COD，得出结论．
【解析】
证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AE=AD，AB=AC，
∴AB-AE=AC-AD，
∴BE=CD，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD，
∴OE=OD
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是理解全等三角形的判定能找出隐含的条件．
21．如图，AB＝AD，BC＝CD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若AC＝4，BD＝3，求多边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）先证明△ABC≌△ADC得到∠DAO＝∠BAO，即可证明△ADO≌△ABO，得到DO＝BO；
（2）根据△ADO≌△ABO，可得推出∠AOD＝∠AOB＝90°，则多边形ABCD的面积为，由此求解即可．
【解析】
解：（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAO＝∠BAO，
在△ADO和△ABO中，
，
∴△ADO≌△ABO（SAS），
∴DO＝BO；
（2）∵△ADO≌△ABO，
∴∠AOD＝∠AOB，
∵∠AOD+∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝∠AOB＝90°，
∴多边形ABCD的面积＝．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．
（1）与全等吗？为什么？
（2）若，，求的长．
【答案】（1）与全等，见解析；（2）3
【分析】
（1）由可得，结合已知条件，，AAS证明即可；
（2）由（1）的结论，根据即可求得的长．
【解析】
（1）与全等.理由如下：
因为，
所以.
又因为，，
所以（AAS）.
（2）解：因为，
所以，.
因为，
所以.
所以.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
23．如图，在中，，垂直平分，，．
（1）证明：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）45°
【分析】
（1）证明即可；
（2）由（1）可得，再由三角形外角性质可得结论．
【解析】
解：（1）∵垂直平分，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
，
．
（2）垂直平分，
∴，
∴
，．
∴，，
又．
∴，
∴，
∴
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等是解此题的关键．
24．如图所示，已知BD平分∠ABC，AB＝AD，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）①若DE＝6 cm，求点D到BC的距离；
②当∠ABD＝35°，∠DAC＝2∠ABD时，求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）①；②40°
【分析】
（1）直接根据角平分线的定义和“等边对等角”的性质进行证明即可；
（2）①过点作于点，结合角平分线的性质求解即可；②根据角平分线的定义可先求出∠ABC，然后综合平行的性质，求出∠ACB，即可得出结论．
【解析】
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如解图，过点作于点，
∵平分，，，，
∴，
∴点到的距离为；
②∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质以及平行线的判定与性质等，理解等腰三角形的基本性质，掌握基本图形的性质是解题关键．
25．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB∥DE，AE＝3，DE＝4，求△ACF的周长．
【答案】（1）见解析；（2）7
【分析】
题（1）通过证明和全等可得；
题（2）通过“两直线平行线，内错角相等”，再利用“等角对等边”等量代换可求得的周长.
【解析】
解：（1）证明：∵，∴，
∴，
则在和中，
∴
∴
（2）∵ ∴
又∵ ∴，
则, 是等腰三角形，∴
又∵
则 ，
∴的周长.
【点睛】
本题旨在考查全等三角形的综合运用，熟练掌握平行线性质定理以及等腰三角形的判定，通过一定的等量代换将问题转化是解题的关键.
26．有公共顶点A的△ABD，△ACE都是的等边三角形．
（1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数；
（2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD=90°时，延长EC角BD于F，
①求证：∠DCF=∠BEF；
②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）60°；（2）①见解析；②DF=BF，理由见解析
【分析】
（1）根据已知条件以及等边三角形的性质，证明△DAC≌△BAE，可得∠ACD=∠E=60°，根据E，C，B共线，即可求得∠BCD的度数；
（2）①证明△DAC≌△BAE，可得∠AEB=∠ACD=90°，根据角度的换算可得∠DCF=∠BEF；
②在EF上取一点G，使BG=BF，由（1）知，△DAC≌△BAE，CD=EB，进而证明△DCF≌△BGE，可得DF=BG，即可证明BF=DF．
【解析】
解：∵△ABD，ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中
，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠ACD=∠E=60°，
∵E，C，B共线，
∴∠BCD=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=60°；
（2）①∵△ABD，ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE
∵∠DAC=∠DAB﹣∠BAC，∠BAE=∠CAE﹣∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中
，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠AEB=∠ACD=90°，
∴∠BEC=∠AEB﹣∠AEC=90°﹣60°=30°，
∵∠DCF=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=30°，
∴∠DCF=∠BEF；
②DF=BF，
理由：如图，
在EF上取一点G，使BG=BF，
∴∠GFB=∠FGB，
∴∠DFC=∠BGE，
由（1）知，△DAC≌△BAE，CD=EB，
∠DCF=∠BEC，
∴△DCF≌△BGE，
∴DF=BG，
∴DF=BF．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键．
