北师大版七年级数学上册3.5 探索与表达规律课件 29张PPT

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北师大版 数学 七年级上册
5 探索与表达规律
第三章 整式及其加减
学习目标
1.经历由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用；
2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性；(重点）
3.能用代数式表示并借助代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象.（难点）
一、导入新课
复习回顾
1.进行整式加减运算时，如果遇到括号要先________，再
____________．
2．若多项式3x2－2xy－y2减去多项式M，所得的差是－5x2＋xy－2y2，则多项式M是(　　)
A．8x2－3xy＋y2 B．2x2＋xy＋3y2
C．－8x2＋3xy－y2 D．－2x2－xy－3y2
去括号
合并同类项
A
一、导入新课
情境导入
游戏：随便想一个自然数，将这个数乘5减7，再把结果乘2加14，无论开始想的自然数是什么，按照上面方法计算得到的数的个位数字一定是0.
你能用所学知识解释这其中的道理吗？
我们可以设任意一个自然数为x，则根据上面的方法可得：
2(5x-7)+14=10x-14+14=10x
所以按照上面方法计算得到的数的个位数字一定是0.
利用本章所学知识，我们可以进一步探索和表达规律。
二、新知探究
探究一：数字和数式中的规律
请同学们认真观察月历表，回答下列问题：
(1)日历图的套色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系 你有什么猜想？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
图中蓝色方框中九个数之和=90=9×10.
猜想：套色方框中的 9 个数之和是该方框正中间数的9倍。
a
用代数式表示:
设正中间数为a，请用a表示出其他数.
二、新知探究
a-7
a+8
a-8
a+6
a-6
a+7
a-1
a+1
则9个数的和为：
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8)
= .
9a
结论:方框中九个数之和=9×正中间的数.
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗 你能用代数式表示这个关系吗
二、新知探究
(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗 为什么
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
都成立.
其他月份的日历仍然可以用以上方法表示出：方框中九个数之和=9×正中间的数。
(4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗 用代数式表示.
答案不唯一，
例如：方框中第一行和第三行的六个数之和=中间一行三个数之和×2.
方框中第一列和第三列的六个数之和=中间一列三个数之和×2.
二、新知探究
做一做
(1)如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？
规律: 十字形中五数之和=5×中间数
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
图中十字形框中5个数之和=45=9×5.
设正中间数为a:则五个数之和
=a+(a-7)+(a+7)+(a-1)+(a+1)
=5a
a
a-7
a+7
a-1
a+1
二、新知探究
做一做
(2)如果改为H形框呢，你能发现哪些规律？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
规律: “H”形中七数之和=7×中间数
a
a-8
a+8
a+6
a-6
a-1
a+1
图中十字形框中7个数之和=63=9×7.
五个数之和=a+(a-8)+(a+8)+(a-1)+(a+1)+(a-6)+(a+6)=7a
设正中间数为a:
二、新知探究
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
(3)你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
“X”形
规律: “X”形中五数之和=5×中间数
二、新知探究
方法归纳
用图形框数问题的求解方法：
设中间的数为a，并用含a的代数式表示各个被框数，计算它们的和，进而解决问题．
二、新知探究
观察下列等式，找出规律填空：
做一做
仔细观察下列各组数,按你发现的规律填空:
(1) 1,2,3,4, , ,第n个数是 .
(2) 2,4,6,8, , ,第n个数是 .
(3) ,,,, , ,第n个数是 .
(4)-1,4,-7.10, , ,第2n个数是 .
(5)观察下列一组数：，，,···.它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k个数是 .
二、新知探究
跟踪练习1
5 6
n
10 12
2n
-13 16
6n-2
用代数式表示数字或数式规律：
（1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律;
（2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系；
（3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律.
二、新知探究
方法归纳
探究二：图形中的规律
下面是用棋子摆成的“小房子”。摆第n个这样的“小房子”呢 你是如何得到的
…
（1）（2） （3） （4）
二、新知探究
图案编号 （1） （2） （3） （4） （5） …
棋子颗数 …
（2）摆第n个图案需要 颗棋子.
5
11
17
23
29
(6n-1)
（3）摆第100个这样的“小房子”需要 枚棋子.
599
+6
+6
+6
+6
（1）填写下表：
5+6(n-1)=6n-1
二、新知探究
方法归纳
1.先观察图形的变化趋势，观察相邻两个图形的变化量与位置序号有怎样的关系；
2.然后运用从特殊到一般的探索方式，找出变化规律，并用含n的代数式表示出来；
3.最后用代入法求出特殊情况下的数值．
表达图形中规律的方法：
二、新知探究
探究三：借助运算解释规律
你在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得新数乘5，最后将得到的数加个位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数．
你知道小明是怎样算出来的吗？
我的结果是93
你心里想的数是78
我的结果是27
你心里想的数是12
设十位数字为x，个位数字为y，
则这个两位数表示为10x＋y．
则： (2x＋3)×5＋y＝10x＋15＋y．
结果减去15就是心里想的数．
二、新知探究
你在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得新数乘5，最后将得到的数加个位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数．
利用整式的加减运算可以解释许多规律。
=（10x＋y）＋15．
　　解：假设三堆棋子的数目都为a(a≥4)．
　　第一轮取放结束后，左堆有（a－3）枚棋子，中堆有（a＋3＋4）枚棋子，右堆有（a－4）枚棋子．
　　第二轮取放结束后，左堆有2（a－3）枚棋子，中堆有[（a＋3＋4）－（a－3）]枚棋子，右堆有（a－4）枚棋子．
　　因为（a＋3＋4）－（a－3）＝a＋7－a＋3＝10．
　　所以此时中堆有10枚棋子．
二、新知探究
有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚．从左堆中取出3枚放入中堆，从右堆中堆取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少？请做一做，并解释其中的道理．
跟踪练习2
例1:将从1开始的正整数按一定规律排列，如图所示．
(1)数40排在第____行，第____列．
三、典例精析
解：(1)因为40÷9＝4……4，所以数40排在第5行第4列．
5 4
(2)探究如图中的“＋”字框中的5个数，设这5个数中间的数为a.
①最小的数为 ，最大的数为 ．
a－9 a＋9
(2)①设中间的数为a，其他四个数分别为a－9，a－1，a＋1，a＋9，则最小的数为a－9，最大的数为a＋9.
三、典例精析
②根据题意可得a－9＋a－1＋a＋a＋1＋a＋9＝240，所以a＝48. 所以这5个数中间的数为48.
②若这5个数的和是240，求出这5个数中间的数．
③不能．理由：根据题意可得a－9＋a－1＋a＋a＋1＋a＋9＝2025，则a＝405.
因为405÷9＝45，所以405是第9列的最后一个数，所以这5个数的和不可能是2025.
③这5个数的和可能是2025吗，若能，求出这5个数中间的数；若不能，请说明理由．
例2：寻找规律，求代数式的值．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如图所示：
(1)当从2开始的n个连续偶数相加时，它们的和S与n之间有什么关系，用公式表示出来；
(2)按此规律计算2＋4＋6＋…＋100的值．
三、典例精析
[解析] (1)由图中数据可知，从2开始的连续偶数的和，正好等于加数的个数×(加数的个数＋1)，由此即可得出S与n之间的关系；(2)直接利用公式计算即可．
解：(1)S＝n(n＋1)．
(2)2＋4＋6＋…＋100＝50×51＝2550.
例3:下图是用棋子摆成的“H”字，第一个“H”字有7颗棋子．
(1)摆成第二个“H”字需要 颗棋子,第三个“H”字需要 颗棋子.
(2)按这样的规律摆下去，摆成第10个“H”字需要几颗棋子？第n个呢？
12 17
三、典例精析
解：(2)摆成第10个“H”字需要52颗棋子，
摆成第n个“H”字需要7＋5(n－1)＝(5n＋2)颗棋子．
例4：小明在研究数学问题时发现一个有趣的现象：请你用不同的三位数再做做，发现什么有趣的现象？用你所学过的知识解释．
三、典例精析
解：614－416＝198，198＋891＝1089，结果一定是1089.
设百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为a－2.
第一步：100a＋10b＋a－2＝101a＋10b－2；
第二步：100(a－2)＋10b＋a＝101a＋10b－200；
第三步：两式相减一定等于198.
所以，结果一定等于1089.
2．如图所示，第①个图形中共有1个小平行四边形，第②个图形中共有5个小平行四边形，第③个图形中共有11个小平行四边形……则第⑩个图形中小平行四边形的个数是(　　)
A．54 B．110
C．19 D．109
四、当堂练习
C
D
4．观察图中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第 个图形中所有点的个数为________(n是正整数)．
四、当堂练习
3．已知：(1)9×1＋0＝9；(2)9×2＋1＝19；(3)9×3＋2＝29；(4)9×4＋3＝39；….根据前面的式子构成的规律写出第(n)个式子是____________________(n是正整数)．
9n＋(n－1)＝10n－1
(n＋1)2
四、当堂练习
5．甲、乙两名同学玩猜数游戏，甲说“你随便选定一个三位数，按如下的步骤做：(1)百位上的数字乘5；(2)结果加上5；(3)再乘2；(4)再加上十位上的数字；(5)再乘10；(6)最后加上个位上的数字，只要你告诉我最后的结果，我便可以说出那个三位数．”乙同学试了几次，果真如此．请你指出甲同学是如何猜出这个三位数的，并用数学知识说明理由．
解：只要将说出的三位数减去100就知道了．
理由：设百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，则乙按步骤所得的三位数为10[2(5a＋5)＋b]＋c，
化简后为100a＋10b＋c＋100，减去100就是原三位数．
探索与表达规律：
猜 想 规 律
表 示 规 律
验 证 规 律
具 体 问 题
观察、比较
成立
得出结论
不成立
回头重新探索
五、课堂小结
本节课你学习了什么？本节课你有哪些收获？
六、作业布置
习题3.8-3.9