24.2.2直线与圆的位置关系 分类练习题 2023-2024学年人教版九年级数学上册（含答案）

人教版九年级数学上册《24.2.2直线与圆的位置关系》
同步知识点分类练习题
一．直线与圆的位置关系
1．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝3，CD＝3，求ED的长．
二．切线的性质
2．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝4cm，则△PFG的周长是（　　）
A．12cm B．10cm C．8cm D．4cm
3．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为（　　）
A．25° B．20° C．30° D．35°
4．如图，已知⊙C的半径为，正三角形ABC的边长为6，P为AB边上的动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．6
5．如图，AB是⊙O的切线，切点为B，连接AO与⊙O交于点C，点D为上一点，连接BD，CD．若∠A＝36°，则∠BDC的度数为（　　）
A．32° B．18° C．27° D．36°
6．如图，已知⊙O的弦AB＝8，以AB为一边作正方形ABCD，CD边与⊙O相切，切点为E，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．3 C．6 D．5
7．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（　　）
A．27° B．32° C．36° D．54°
8．如图，⊙O的直径AE的延长线与过点B的切线BD相交于点D，点C为⊙O上一点，且∠BCE＝25°，则∠D的度数是（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
9．如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 　 　．
10．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是　 　．
11．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 　 　．
12．已知：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝m．
（1）如图1，当时，以AB为直径的⊙G交CD于M、N两点，求此时MN的长；
（2）如图2，若⊙O经过A、B两点，且与CD相切，当其半径不大于时，求m的取值范围．
13．在△ABC中，∠C＝90°．以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝28°，求∠B的大小；
（2）如图②，若点F为的中点，CF＝，求EB的大小．
三．切线的判定
14．如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
四．切线的判定与性质
15．如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AC＝5，∠E＝30°，求CD的长．
16．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径．
17．如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
（1）求证：HB是⊙O的切线；
（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径．
五．切线长定理
19．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）
A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
六．三角形的内切圆与内心
20．如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝84°，则∠D的度数为（　　）
A．42° B．66° C．76° D．82°
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，I为△ABC的内心，ID∥AC，IE∥BC，则△IDE的周长为（　　）
A．6 B．5 C．4.8 D．4
22．在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 　 　步．
23．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DGF的度数是 　 　°．
参考答案
一．直线与圆的位置关系
1．（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠OAD，
∴∠EAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
又∵AE⊥CD，
∴OD⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设OD＝x＝OB，在Rt△COD中，由勾股定理得，OD2+CD2＝OC2，
即x2+（3）2＝（x+3）2，
解得x＝3，
即OD＝3，OC＝6，
∴∠C＝30°，∠COD＝60°，
∴∠EAD＝∠DAC＝×60°＝30°＝∠C，
∴AD＝CD＝3，
∴DE＝AD＝．
二．切线的性质
2．解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，PA＝4cm，
∴PB＝PA＝4cm，FA＝FE，GB＝GE，
∴△PFG的周长＝PF+FE+PG+GE＝PF+FA+PG+GB＝PA+PB＝8cm，
故选：C．
3．解：∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．
故选：C．
4．解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴CH＝3，
∴PQ的最小值为：＝5，
故选：A．
5．解：连接OB，
∵AB为⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝36°，
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°，
∴∠BDC＝∠AOB＝27°，
故选：C．
6．解：连接EO并延长，交AB于F，连接OA，
设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r，
∵CD边与⊙O相切，
∴OE⊥CD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴OF⊥AB，
∴AF＝AB＝4，
在Rt△OAF中，AF2+OF2＝OA2，即42+（8﹣r）2＝r2，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径为5，
故选：D．
7．解：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝54°，
∵OB＝OC，
∴∠AOP＝2∠B，
∴∠B＝∠AOP＝27°，
故选：A．
8．解：如图：连接OB，
∵∠BCE＝25°，
∴∠BOD＝2∠BCE＝50°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
9．解：如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，
∵CB为⊙O的切线，
∴CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90，
∴∠ABD＝∠C＝38°，
∴∠AED＝∠ABD＝38°，
故答案为：38°．
10．解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，
∵∠OP1B＝90°，
∴OP1∥AC
∵AO＝OB，
∴P1C＝P1B，
∴OP1＝AC＝4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值＝5+3＝8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故答案为：9．
11．解：如图，连接AB，AP．
根据切线的性质定理，得AB⊥PB．
要使PB最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则AP⊥x轴于P，
此时P点的坐标是（﹣3，0），AP＝4，
在Rt△ABP中，AP＝4，AB＝2，
∴PB＝＝2．
则PB最小值是2．
故答案为：2．
12．解：（1）过点G作GE⊥MN于点E，连接GM，如图，
则ME＝NE＝MN，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵GE⊥MN，
∴四边形DAGE为矩形，
∴GE＝AD＝BC＝，
∵AB为⊙G的直径，
∴GM＝AB＝3，
∴EM＝＝＝，
∴MN＝2FM＝2；
（2）①当点O在矩形ABCD内部时，过点O作OE⊥CD，反向延长EO交AB于点F，如图，
∵⊙O经过A、B两点，且与CD相切，
∴OE＝⊙O的半径，AF＝BF＝AB＝3．
∵⊙O的半径不大于，
∴令OE＝⊙O的半径＝，
∴OA＝，
∴，
∴m的最大值＝OE+OF＝＝4；
②当点O在矩形ABCD外部时，设⊙O与CD切于点E，连接OE交AB于点F，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴四边形ADEF为矩形，
∴EF＝AD＝BC＝m，
∵⊙O的半径不大于，
∴令OE＝⊙O的半径＝，
∴OA＝，
∵OE⊥CD，AB∥CD，
∴OF⊥AB，
∴AF＝AB＝3．
∴，
∴m的最小值＝OE﹣OF＝＝；
综上，m的取值范围为≤m≤4．
13．解：（1）连接OD，如图，
∵BC为⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠ODA＝∠DAC＝28°．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝28°，
∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝56°，
∴∠B＝90°﹣∠DOB＝90°﹣56°＝34°；
（2）连接OD，OF，FD，如图，
由（1）知：OD∥AC，
∴∠OFA＝∠FOD，
∵点F为的中点，
∴∠FOD＝∠FOA．
∵OF＝OA，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OAF＝∠OFA＝∠FOA，
∴△OFA为等边三角形，
∴∠FOA＝∠OFA＝60°．
∴∠FOD＝60°，
∵OF＝OD，
∴△OFD为等边三角形，
∴∠OFD＝∠ODF＝60°．
∴∠AFD＝∠AFO+∠OFD＝120°．
∴∠CFD＝60°，
∴FD＝2CF＝2，
∴OD＝FD＝2．
在Rt△ODB中，
∵∠DOB＝180°﹣∠AOF﹣∠FOD＝60°，
∴∠B＝30°，
∴OB＝2OD＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝4﹣2＝2．
三．切线的判定
14．解：连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA＝OC＝OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA＝OC＜OD，
∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，
①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；
②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；
③∵OE＝OA，OE⊥DE，
∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；
故选：B．
四．切线的判定与性质
15．（1）证明：连接OC．
∵AC平分∠PAE，
∴∠PAC＝∠EAC，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠PAC，
∴OC∥PA，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是切线；
（2）解：∵AE是直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠CAD＝∠CAE＝60°，
∵∠CDA＝90°，
∴CD＝．
16．（1）证明：如图：连接OC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC＝∠CAO，
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠FAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OE⊥AF于E，
∴，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°，
∴四边形OEDC为矩形，
∴CD＝OE＝3，DE＝OC，
设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r，
∴AE＝9﹣r，
∵OA2﹣AE2＝OE2，
∴r2﹣（9﹣r）2＝32，解得r＝5．
∴⊙O半径为5．
17．证明：（1）如图，连接OH，
∵PH平分∠APB，
∴∠HPA＝∠HPB，
∵OP＝OH，
∴∠OHP＝∠HPA，
∴∠HPB＝∠OHP，
∴OH∥BP，
∵BP⊥BH，
∴OH⊥BH，
∴HB是⊙O的切线；
（2）如图，过点O作OE⊥PC，垂足为E，
∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH，
∴四边形EOHB是矩形，
∴OE＝BH＝4，OH＝BE，
∴CE＝OH﹣2，
∵OE⊥PC
∴PE＝EC＝OH﹣2＝OP﹣2，
在Rt△POE中，OP2＝PE2+OE2，
∴OP2＝（OP﹣2）2+16
∴OP＝5，
∴AP＝2OP＝10，
∴⊙O的直径是10．
18．解：（1）如图，连接OE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠5＝90°．
∵CE＝BC，
∴∠1＝∠2．
∵OE＝OD，
∴∠3＝∠4．
又∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE．
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2，
BC＝CE＝4．
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴⊙O的半径为3．
五．切线长定理
19．解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故选：B．
六．三角形的内切圆与内心
20．解：如图，连接OB，OC，
∵点O是△ABC的内心，∠A＝84°，
∴OB，OC是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A＝132°，
∵点O也是△DBC的外心，
∴∠D＝BOC＝66°，
则∠D的度数为66°．
故选：B．
21．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
连接IA、IB，如图，
∵I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
即∠1＝∠2，
∵ID∥AC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴DA＝DI，
同理可得EI＝EB，
∴△IDE的周长＝ID+DE+IE＝DA+DE+EB＝AB＝5．
故选：B．
22．解：根据勾股定理得：斜边AB＝＝17，
∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），
故答案为：6．
23．解：如图，连接OD，OF，
∵∠B＝65°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠ODA＝90°．
同理∠OFA＝90°．
∴∠A+∠DOF＝180°．
∴∠DOF＝110°．
∴∠DGF＝55°．
故答案为：55．