第12章全等三角形 解答题优生辅导专题训练 2023-2024学年人教版八年级数学上册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第12章全等三角形 解答题优生辅导专题训练 2023-2024学年人教版八年级数学上册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 591.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-15 13:49:22 | ||
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文档简介
2023-2024学年人教版八年级数学上册《第12章全等三角形》
解答题优生辅导专题训练（附答案）
1．如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．
（1）求证：△AEF≌△BGH；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．
2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，连接ED交BC于F，DF＝EF．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接CD，若∠DFB＝45°，BC＝6，求△BCD的面积．
3．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF；
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在 图2和 图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
4．已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD＝45°，求证：BD＝CE．
5．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE，垂足为点D，CE⊥AE，垂足为点E．
（1）当直线AE处于如图①的位置时，有BD＝DE+CE，请说明理由；
（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由．
6．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图1，若A、B两点的坐标分别是A（0，4）、B（﹣2，0），求C点的坐标；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，过C点作CE⊥BD于点E，求证：CE＝BD．
7．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．
（1）求证：BD＝CD．
（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．
（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．
8．综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD．
（2）若∠BAC＝∠DAE＝40°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF＝HF﹣DH．
9．如图BE⊥CD，AB＝AD，AC＝AE，过A点作AG⊥DE于G，延长GA交BC于F，
（1）求证：F为BC中点；
（2）若AF＝12.5，AE＝15，求△ADE的面积S△ADE．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（点D不与点B、点C重合），作∠ADE
＝∠B，DE交边AC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CDE；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；
（3）当∠B＝50°，且△ADE是等腰三角形时，直接写出∠BDA的度数．
11．如图，已知EM是△ADE的中线，B、C是AD边上的两点，且M恰好是线段BC的中点，AE＝BF，EC＝FD，连接ED．
（1）求证：△AEC≌△BFD；
（2）若∠EDA+∠DBF＝∠AED，AE＝6，ED＝8，EM＝5，画出△EMD中EM边上的高DH，并求DH的长度．
12．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°．
①求证：AC＝BD．
②求∠APB的度数．
（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，∠APD的大小为 （直接写出结果，不证明）．
13．如图，在△ABC中，AB＜BC，过点A作线段AD∥BC，连接BD，且满足AD+BD＝BC．取AC的中点E，连接BE、DE．
（1）若AB＝4、BC＝6，直接写出BE的取值范围 ；
（2）求证：BE⊥DE．
14．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．（1）求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发．
（1）经过2秒后，求证：
①△BPD≌△CQP；
②∠DPQ＝∠B；
（2）若△CPQ的周长为18cm，问经过几秒钟后，△CPQ为等腰三角形？
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，在Rt△EBD中，∠EBD＝90°，AB＝EB，∠BCA＝∠BDE
（1）求证：CA＝DE；
（2）连接EC，连接AD，交BC于F，若F恰好是AD的中点，求证：BF＝EC．
17．AB＝AC，BD＝CD，EG⊥AB，GF⊥AC．
（1）若∠BAC＝90°，求证ED＝FD；
（2）若∠BAC≠90°，则（1）的结论是否成立？
18．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点（不与A、B重合）．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝2，BD＝4，求ED的长．
19．在平面直角坐标系中，三角形ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，BC交x轴于点D．
（1）若A（﹣8，0），C（0，6），直接写出点B的坐标 ；
（2）如图2，△OAB与△ACD均为等腰直角三角形，连OD，求∠AOD的度数；
（3）如图3，若AD平分∠BAC，A（﹣8，0），D（m，0），B的纵坐标为n，求2n+m的值．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝CF．
（1）若∠DEF＝∠ABC，求证：DE＝EF；
（2）若∠A+2∠DEF＝180°，BC＝9，EC＝2BE，求BD的长；
（3）把（1）中的条件和结论反过来，即：若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC；这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠GBH，
∴∠A＝∠GBH．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠AFE＝∠BHG．
在△ADG和△CDF中，
，
∴△AEF≌△BGH（AAS）．
（2）解：∵△AEF≌△BGH，
∴AF＝BH，
∴AB＝FH＝4．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠EFD＝∠GHD．
在△EFD和△GHD中，
∴△EFD≌△GHD（AAS），
∴．
2．（1）证明：如图1，过点D作DG∥AE，交BC于点G，
∴∠FDG＝∠E，
在△DGF和△ECF中，
，
∴△DGF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵DG∥AE，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠DGB，
∴DG＝BD，
∴BD＝CE；
（2）解：如图2，过点D作DG∥AE，交BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
∵DB＝DG，
∴BH＝GH，
由（1）知△DGF≌△ECF，
∴GF＝CF，
∴HF＝BC＝3，
∵DH⊥BC，∠DFB＝45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴DH＝HF＝3，
∴S△CDB＝BC DH＝6×3＝9．
3．解：（1）如图1中，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF＝（∠ABC﹣∠MBN）＝（120°﹣60°）＝30°．
∴AE＝BE，CF＝BF，
△BEF是等边三角形．
∴BE＝BF＝EF．
∴AE+CF＝BE+BF＝EF；
（2）①如图2中，结论仍然成立．理由如下：
延长DC至K点使得CK＝AE，
在△ABE和△CBK中，
，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE＝120°，
∴∠KBC+∠CBE＝120°，
即∠KBE＝120°，
∵∠EBF＝60°，
∴∠KBF＝∠EBF＝60°．
在△EBF和△KBF中，
，
∴△EBF≌△KBF（SAS）．
∴EF＝KF．
∴EF＝CK+CF．
∴AE+CF＝EF；
③如图3，结论不成立．猜想AE﹣CF＝EF，理由如下：
证明如下：在DC的延长线上取点K，使CK＝AE，连接BK．
在△ABE和△CBK中，
，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE＝120°，
∴∠KBC+∠CBE＝120°，
即∠KBE＝120°．
∵∠EBF＝60°，
∴∠KBF＝∠EBF＝60°．
在△EBF和△KBF中，
，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF＝KF，
∴EF＝CK﹣CF．
∴AE﹣CF＝EF．
4．解：（1）∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS）；
∴FD＝DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形．
（2）如图2，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连接DF，CF，
∴∠FAD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC＝90°．
在△FAD和△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD＝90°，
∴∠ADF+∠BDC＝90°，
∴∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝45°．
∵∠APD＝45°，
∴∠FCD＝∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD＝90°，∠ABC＝90，
∴∠FAD＝∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∴CE＝BD．
5．证明：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵BD⊥AE，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝DE+CE；
（2）BD＝DE﹣CE，
理由如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵BD⊥AE，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝DE﹣AD，
∴BD＝DE﹣CE．
6．解：（1）如图1中，作CM⊥OA垂足为M，则∠AMC＝90°，
∵∠BAC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAM，
在△ABO和△CAM中，
，
∴△ABO≌△CAM（AAS），
∴MC＝AO，AM＝BO，
∵A（0，4）、B（﹣2，0），
∴AO＝4，BO＝2，
∴MC＝4，AM＝2，MO＝AO﹣AM＝2，
∴点C坐标（4，2）；
（2）如图2，延长CE、BA相交于点F，
∵BE⊥CE，∠BAC＝90°，
∴∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，
∴∠EBF＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵BE⊥CF，BE平分∠FBC，
∴△BCF是等腰三角形，CF是底边，
∴CE＝，
∴CE＝BD．
7．（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝ABC＝20°，
∴∠DBC＝∠C＝20°，
∴BD＝CD；
（2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，
∴∠FEC＝∠DBC＝20°，
∴∠FEC＝∠C＝20°，
∴∠AFE＝40°，FE＝FC，
∴∠AFE＝∠ABC，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴BE＝EF，
∴BE＝EF＝FC，
∴AB+BE＝AF+FC＝AC；
（3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下：
如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，
∴∠AFC＝∠DBC＝20°，
∴∠AFC＝∠C＝20°，
∴AF＝AC，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAB＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，
∴∠E＝∠FAE＝10°，
∴FE＝AF，
∴FE＝AF＝AC，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．
8．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．
∴∠CAE＝∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△ABD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∵∠BFC+∠DFE＝180°，
∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝40°；
（3）证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．
∵△ACE≌△ABD，
∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，
∵AJ⊥CE，AH⊥BD，
∴CE AJ＝BD AH，
∴AJ＝AH，
在Rt△AFJ和Rt△AFH中，
，
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL），
∴FJ＝FH，
在Rt△AJE和Rt△AHD中，
，
∴Rt△AJE≌Rt△AHD（HL），
∴EJ＝DH，
∴EF＝FJ﹣EJ＝FH﹣DH．
∴EF＝HF﹣DH．
9．（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠DAE＝∠DAB＝∠BAC＝∠CAE＝90°，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC （SAS），
∴∠DEA＝∠BCA，
∵AG⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，
∴∠AED＝∠DAG，
∵∠DAG＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴FC＝FA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAC+∠BAF＝∠FCA+∠FBA＝90°，
∴∠BAF＝∠FBA，
∴FB＝FA，
∴FB＝FC，
∴F是BC的中点；
（2）解：∵F为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴AF＝BC，
∴BC＝2AF＝25，
由△ABC≌△ADE知：DE＝BC＝25，
∵AE＝15，∠DAE＝90°，
∴AD＝20，
∴S△ADE＝AD AE＝20×15＝150．
10．（1）证明：∠ADE＝∠B，∠BAD+∠B＝∠ADC，∠CDE+∠ADE＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠CDE；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DC＝AB，∠BAD＝∠CDE；
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS）；
（3）解：∵∠B＝∠C＝50°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
分三种情况讨论：
①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADE＝∠B＝50°，∠ADE+∠DAE+∠DEA＝180°，
∴∠DAE＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝80°﹣65°＝15°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣15°＝115°；
②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴点D与点B重合，不合题意．
③当EA＝ED时，∠DAE＝∠ADE＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝80°﹣50°＝30°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
综上所述，当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE是等腰三角形．
11．（1）证明：∵EM是△ADE的中线，
∴AM＝DM，
∵M是线段BC的中点，
∴BM＝CM，
∴AM﹣BM＝DM﹣CM，
∴AB＝DC，
∴AD﹣AB＝AD﹣CD，
∴DB＝AC，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（SSS）；
（2）解：∵△AEC≌△BFD，
∴∠EAC＝∠DBF，
∵∠EDA+∠DBF＝∠AED，
∴∠EDA+∠EAD＝∠AED，
∵∠EDA+∠EAD+∠AED＝180°，
∴∠EDA+∠EAD＝∠AED＝90°，
∴△AED是直角三角形，
∵EM是△ADE的中线，
∴S△AED＝2S△EMD，
∵DH是△EMD中EM边上的高，
∴AE DE＝2××EM DH，
∴6×8＝2×5DH，
∴DH＝．
∴DH的长度为．
12．（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
②解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，
∴∠APB＝60°；
（2）解：由（1）可知：△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+α＝∠OBD+∠APB，
∴∠APB＝α，
∴∠APD＝180°﹣α．
故答案为：180°﹣α．
13．（1）解：延长AD，BE交于K点，
∵AD∥BC，
∴∠KAC＝∠C，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEK与△CEB中，
，
∴△AEK≌△CEB（ASA），
∴AK＝BC，
∵BC﹣AB＜2BE＜BC+AB，
∴1＜BE＜5；
故答案为：1＜BE＜5；
（2）证明：∵AD+BD＝BC，
∴AD+BD＝AK，
∴BD＝DK，
∵BE＝EK，
∴BE⊥DE．
14．（1）证明：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
又∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD；
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD，仍然成立，
证明：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，
∴EF＝BE+DF．
15．（1）证明：①当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，
有BP＝2×2＝4cm，AQ＝4×2＝8cm，
∴CP＝BC﹣BP＝10﹣4＝6cm，
CQ＝AC﹣AQ＝12﹣8＝4cm，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝×12＝6cm，
∴BP＝CQ，BD＝CP，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）
②∵△BPD≌△CQP，
∴∠DPB＝∠PQC，
∵∠DPB+∠DPQ＝∠PQC+∠C，
∴∠DPQ＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠DPQ＝∠B；
（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP＝2t（cm），AQ＝4t，CP＝（10﹣2t）cm，CQ＝（12﹣4t）（cm），
∴PQ＝18﹣（10﹣2t）﹣（ 12﹣4t）＝（6t﹣4）（cm），
∴t的取值范围是0≤t≤3，
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP＝CQ时，则有10﹣2t＝12﹣4t，
解得：t＝1，此时PQ的长度为2cm，不符合题意，
②当PQ＝PC时，则有6t﹣4＝10﹣2t，
解得：t＝；
∴CP＝PQ＝cm，CQ＝5cm，
此时满足△CPQ的周长为18cm；
③当QP＝QC时，则有2（12﹣4t）+（10﹣2t）＝18，
解得：t＝；
∴QP＝QC＝，PC＝，
此时满足△CPQ的周长为18cm；
综上所述，经过s或s时，△CPQ是等腰三角形．
16．（1）证明：在△ACB和△EDB中，
，
∴△ACB≌△EDB（AAS），
∴CA＝DE；
（2）证明：如图，过点D作DG∥AB交BC于点G，
∴∠DGB＝∠ABC＝90°，
∵F是AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AFB和△DFG中，
，
∴△AFB≌△DFG（AAS），
∴BF＝GF，
∴BF＝BG，
∵△ACB≌△EDB，
∴AB＝DG，
∵AB＝EB，
∴EB＝DG，
∵△ACB≌△EDB，
∴CB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣∠DBG，
∵∠GDB＝90°﹣∠DBG，
∴∠EBC＝∠GDB，
在△EBC和△GDB中，
，
∴△EBC≌△GDB（SAS），
∴EC＝GB，
∴BF＝EC．
17．（1）证明：如图（1），连接AD，AG，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠DAF＝∠DBE＝45°，且BD＝CD＝AD，
∵∠AEG＝∠AFG＝∠ADG＝90°，
∴A、E、G、D、F都在以AG为直径的圆上，
∴AEDF内接于圆，
∴∠AFD＝180°﹣∠CFD＝180°﹣∠AED＝∠BED，
在△AFD和△BED中，
，
∴△AFD≌△BED（AAS），
∴ED＝FD；
（2）结论DE＝DF成立，理由如下：
如图（2），连接AG、AD，在AC上取一点P使∠DFP＝∠DPF，
∵∠AEG＝∠AFG＝∠ADG＝90°，
∴A、F、G、D、E都在以AG为直径的圆上，
∴∠DPF＝∠DFP＝∠AED，
∴∠BED＝∠CPD，
在△BED和△CPD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DP＝DF．
∴DE＝DF．
18．（1）证明：∵，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴AC＝CB，EC＝DC，∠ECA＝∠DCB，∠B＝∠CAB＝45°，
在△ECA和△DCB中，
，
∴△ACE≌△BCD．
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD＝4，∠CAE＝∠B＝45°，
∴∠EAD＝∠EAC+∠CAB＝90°，
∴ED＝2．
19．解：（1）如图1，过点B作BT⊥y轴于点T，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCT＝90°，
∵BT⊥y轴，
∴∠CBT+∠BCT＝90°，
∴∠ACO＝∠CBT，
在△AOC和△CTB中，
，
∴△AOC≌△CTB（AAS），
∴CT＝OA＝8，BT＝CO＝6，
∴OT＝2，
∴点B的坐标为（6，﹣2），
故答案为：（6，﹣2）；
（2）如图2，过点A作AH⊥OB于H，过点D作DE⊥OB于点E．
∵AO＝AB，AH⊥OB，∠OAB＝90°，
∴OH＝HB，∠AOB＝∠ABO＝45°，
∴AH＝OB＝OH＝HB，
同（1）可证：△AHC≌△CED（AAS），
∴CH＝DE，CE＝AH，
∴CE＝OH，
∴OE＝CH＝DE，
∵∠DEO＝90°，
∴∠DOE＝45°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠DOE＝90°；
（3）如图3，过B作x轴垂线交AC延长线于F，
则∠FAD+∠F＝90°，
∵∠FCB＝90°，
∴∠FBC+∠F＝90°，
∴∠FAD＝∠FBC，
在△ACD和△BCF中，
，
∴△ACD≌△BCF（AAS），
∴BF＝AD＝8+m，
∵AD平分∠BAF，BF⊥x轴，
∴BF＝2n，
∴8+m＝﹣2n，
∴2n+m＝﹣8．
20．（1）证明：如图1所示：
∵∠ABC＝∠ACB，
又∵∠DEC＝∠ABC+∠BDE，
∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∠DEF＝∠ABC，
∴∠BDE＝∠CEF，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴DE＝EF；
（2）解：∵∠A+2∠DEF＝180°，∠A+2∠B＝180°，
∴∠DEF＝∠B，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴DB＝EC，
∵BC＝9，EC＝2BE，
∴EC＝6，BE＝3，
∴BD＝EC＝6．
（3）解：把（1）中的条件和结论反过来，即：若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC；这个命题不一定成立．
如图，△BDE和△CEF中，BE＝CF，ED＝EF．∠B＝∠C（SSA），无法判定两个三角形全等．
解答题优生辅导专题训练（附答案）
1．如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．
（1）求证：△AEF≌△BGH；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．
2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，连接ED交BC于F，DF＝EF．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接CD，若∠DFB＝45°，BC＝6，求△BCD的面积．
3．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF；
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在 图2和 图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
4．已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD＝45°，求证：BD＝CE．
5．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE，垂足为点D，CE⊥AE，垂足为点E．
（1）当直线AE处于如图①的位置时，有BD＝DE+CE，请说明理由；
（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由．
6．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图1，若A、B两点的坐标分别是A（0，4）、B（﹣2，0），求C点的坐标；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，过C点作CE⊥BD于点E，求证：CE＝BD．
7．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．
（1）求证：BD＝CD．
（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．
（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．
8．综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD．
（2）若∠BAC＝∠DAE＝40°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF＝HF﹣DH．
9．如图BE⊥CD，AB＝AD，AC＝AE，过A点作AG⊥DE于G，延长GA交BC于F，
（1）求证：F为BC中点；
（2）若AF＝12.5，AE＝15，求△ADE的面积S△ADE．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上（点D不与点B、点C重合），作∠ADE
＝∠B，DE交边AC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CDE；
（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；
（3）当∠B＝50°，且△ADE是等腰三角形时，直接写出∠BDA的度数．
11．如图，已知EM是△ADE的中线，B、C是AD边上的两点，且M恰好是线段BC的中点，AE＝BF，EC＝FD，连接ED．
（1）求证：△AEC≌△BFD；
（2）若∠EDA+∠DBF＝∠AED，AE＝6，ED＝8，EM＝5，画出△EMD中EM边上的高DH，并求DH的长度．
12．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°．
①求证：AC＝BD．
②求∠APB的度数．
（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，∠APD的大小为 （直接写出结果，不证明）．
13．如图，在△ABC中，AB＜BC，过点A作线段AD∥BC，连接BD，且满足AD+BD＝BC．取AC的中点E，连接BE、DE．
（1）若AB＝4、BC＝6，直接写出BE的取值范围 ；
（2）求证：BE⊥DE．
14．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．（1）求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发．
（1）经过2秒后，求证：
①△BPD≌△CQP；
②∠DPQ＝∠B；
（2）若△CPQ的周长为18cm，问经过几秒钟后，△CPQ为等腰三角形？
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，在Rt△EBD中，∠EBD＝90°，AB＝EB，∠BCA＝∠BDE
（1）求证：CA＝DE；
（2）连接EC，连接AD，交BC于F，若F恰好是AD的中点，求证：BF＝EC．
17．AB＝AC，BD＝CD，EG⊥AB，GF⊥AC．
（1）若∠BAC＝90°，求证ED＝FD；
（2）若∠BAC≠90°，则（1）的结论是否成立？
18．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点（不与A、B重合）．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝2，BD＝4，求ED的长．
19．在平面直角坐标系中，三角形ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，BC交x轴于点D．
（1）若A（﹣8，0），C（0，6），直接写出点B的坐标 ；
（2）如图2，△OAB与△ACD均为等腰直角三角形，连OD，求∠AOD的度数；
（3）如图3，若AD平分∠BAC，A（﹣8，0），D（m，0），B的纵坐标为n，求2n+m的值．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝CF．
（1）若∠DEF＝∠ABC，求证：DE＝EF；
（2）若∠A+2∠DEF＝180°，BC＝9，EC＝2BE，求BD的长；
（3）把（1）中的条件和结论反过来，即：若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC；这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠GBH，
∴∠A＝∠GBH．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠AFE＝∠BHG．
在△ADG和△CDF中，
，
∴△AEF≌△BGH（AAS）．
（2）解：∵△AEF≌△BGH，
∴AF＝BH，
∴AB＝FH＝4．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠EFD＝∠GHD．
在△EFD和△GHD中，
∴△EFD≌△GHD（AAS），
∴．
2．（1）证明：如图1，过点D作DG∥AE，交BC于点G，
∴∠FDG＝∠E，
在△DGF和△ECF中，
，
∴△DGF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵DG∥AE，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠DGB，
∴DG＝BD，
∴BD＝CE；
（2）解：如图2，过点D作DG∥AE，交BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
∵DB＝DG，
∴BH＝GH，
由（1）知△DGF≌△ECF，
∴GF＝CF，
∴HF＝BC＝3，
∵DH⊥BC，∠DFB＝45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴DH＝HF＝3，
∴S△CDB＝BC DH＝6×3＝9．
3．解：（1）如图1中，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF＝（∠ABC﹣∠MBN）＝（120°﹣60°）＝30°．
∴AE＝BE，CF＝BF，
△BEF是等边三角形．
∴BE＝BF＝EF．
∴AE+CF＝BE+BF＝EF；
（2）①如图2中，结论仍然成立．理由如下：
延长DC至K点使得CK＝AE，
在△ABE和△CBK中，
，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE＝120°，
∴∠KBC+∠CBE＝120°，
即∠KBE＝120°，
∵∠EBF＝60°，
∴∠KBF＝∠EBF＝60°．
在△EBF和△KBF中，
，
∴△EBF≌△KBF（SAS）．
∴EF＝KF．
∴EF＝CK+CF．
∴AE+CF＝EF；
③如图3，结论不成立．猜想AE﹣CF＝EF，理由如下：
证明如下：在DC的延长线上取点K，使CK＝AE，连接BK．
在△ABE和△CBK中，
，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE＝120°，
∴∠KBC+∠CBE＝120°，
即∠KBE＝120°．
∵∠EBF＝60°，
∴∠KBF＝∠EBF＝60°．
在△EBF和△KBF中，
，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF＝KF，
∴EF＝CK﹣CF．
∴AE﹣CF＝EF．
4．解：（1）∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS）；
∴FD＝DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形．
（2）如图2，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连接DF，CF，
∴∠FAD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC＝90°．
在△FAD和△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD＝90°，
∴∠ADF+∠BDC＝90°，
∴∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝45°．
∵∠APD＝45°，
∴∠FCD＝∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD＝90°，∠ABC＝90，
∴∠FAD＝∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∴CE＝BD．
5．证明：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵BD⊥AE，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝DE+CE；
（2）BD＝DE﹣CE，
理由如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵BD⊥AE，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝DE﹣AD，
∴BD＝DE﹣CE．
6．解：（1）如图1中，作CM⊥OA垂足为M，则∠AMC＝90°，
∵∠BAC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAM，
在△ABO和△CAM中，
，
∴△ABO≌△CAM（AAS），
∴MC＝AO，AM＝BO，
∵A（0，4）、B（﹣2，0），
∴AO＝4，BO＝2，
∴MC＝4，AM＝2，MO＝AO﹣AM＝2，
∴点C坐标（4，2）；
（2）如图2，延长CE、BA相交于点F，
∵BE⊥CE，∠BAC＝90°，
∴∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，
∴∠EBF＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵BE⊥CF，BE平分∠FBC，
∴△BCF是等腰三角形，CF是底边，
∴CE＝，
∴CE＝BD．
7．（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝ABC＝20°，
∴∠DBC＝∠C＝20°，
∴BD＝CD；
（2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，
∴∠FEC＝∠DBC＝20°，
∴∠FEC＝∠C＝20°，
∴∠AFE＝40°，FE＝FC，
∴∠AFE＝∠ABC，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴BE＝EF，
∴BE＝EF＝FC，
∴AB+BE＝AF+FC＝AC；
（3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下：
如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，
∴∠AFC＝∠DBC＝20°，
∴∠AFC＝∠C＝20°，
∴AF＝AC，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAB＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，
∴∠E＝∠FAE＝10°，
∴FE＝AF，
∴FE＝AF＝AC，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．
8．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．
∴∠CAE＝∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△ABD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∵∠BFC+∠DFE＝180°，
∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝40°；
（3）证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．
∵△ACE≌△ABD，
∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，
∵AJ⊥CE，AH⊥BD，
∴CE AJ＝BD AH，
∴AJ＝AH，
在Rt△AFJ和Rt△AFH中，
，
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL），
∴FJ＝FH，
在Rt△AJE和Rt△AHD中，
，
∴Rt△AJE≌Rt△AHD（HL），
∴EJ＝DH，
∴EF＝FJ﹣EJ＝FH﹣DH．
∴EF＝HF﹣DH．
9．（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠DAE＝∠DAB＝∠BAC＝∠CAE＝90°，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC （SAS），
∴∠DEA＝∠BCA，
∵AG⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，
∴∠AED＝∠DAG，
∵∠DAG＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴FC＝FA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAC+∠BAF＝∠FCA+∠FBA＝90°，
∴∠BAF＝∠FBA，
∴FB＝FA，
∴FB＝FC，
∴F是BC的中点；
（2）解：∵F为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴AF＝BC，
∴BC＝2AF＝25，
由△ABC≌△ADE知：DE＝BC＝25，
∵AE＝15，∠DAE＝90°，
∴AD＝20，
∴S△ADE＝AD AE＝20×15＝150．
10．（1）证明：∠ADE＝∠B，∠BAD+∠B＝∠ADC，∠CDE+∠ADE＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠CDE；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DC＝AB，∠BAD＝∠CDE；
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS）；
（3）解：∵∠B＝∠C＝50°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
分三种情况讨论：
①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADE＝∠B＝50°，∠ADE+∠DAE+∠DEA＝180°，
∴∠DAE＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝80°﹣65°＝15°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣15°＝115°；
②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴点D与点B重合，不合题意．
③当EA＝ED时，∠DAE＝∠ADE＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝80°﹣50°＝30°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
综上所述，当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE是等腰三角形．
11．（1）证明：∵EM是△ADE的中线，
∴AM＝DM，
∵M是线段BC的中点，
∴BM＝CM，
∴AM﹣BM＝DM﹣CM，
∴AB＝DC，
∴AD﹣AB＝AD﹣CD，
∴DB＝AC，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（SSS）；
（2）解：∵△AEC≌△BFD，
∴∠EAC＝∠DBF，
∵∠EDA+∠DBF＝∠AED，
∴∠EDA+∠EAD＝∠AED，
∵∠EDA+∠EAD+∠AED＝180°，
∴∠EDA+∠EAD＝∠AED＝90°，
∴△AED是直角三角形，
∵EM是△ADE的中线，
∴S△AED＝2S△EMD，
∵DH是△EMD中EM边上的高，
∴AE DE＝2××EM DH，
∴6×8＝2×5DH，
∴DH＝．
∴DH的长度为．
12．（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
②解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，
∴∠APB＝60°；
（2）解：由（1）可知：△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+α＝∠OBD+∠APB，
∴∠APB＝α，
∴∠APD＝180°﹣α．
故答案为：180°﹣α．
13．（1）解：延长AD，BE交于K点，
∵AD∥BC，
∴∠KAC＝∠C，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEK与△CEB中，
，
∴△AEK≌△CEB（ASA），
∴AK＝BC，
∵BC﹣AB＜2BE＜BC+AB，
∴1＜BE＜5；
故答案为：1＜BE＜5；
（2）证明：∵AD+BD＝BC，
∴AD+BD＝AK，
∴BD＝DK，
∵BE＝EK，
∴BE⊥DE．
14．（1）证明：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
又∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD；
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD，仍然成立，
证明：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，
∴EF＝BE+DF．
15．（1）证明：①当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，
有BP＝2×2＝4cm，AQ＝4×2＝8cm，
∴CP＝BC﹣BP＝10﹣4＝6cm，
CQ＝AC﹣AQ＝12﹣8＝4cm，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝×12＝6cm，
∴BP＝CQ，BD＝CP，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）
②∵△BPD≌△CQP，
∴∠DPB＝∠PQC，
∵∠DPB+∠DPQ＝∠PQC+∠C，
∴∠DPQ＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠DPQ＝∠B；
（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP＝2t（cm），AQ＝4t，CP＝（10﹣2t）cm，CQ＝（12﹣4t）（cm），
∴PQ＝18﹣（10﹣2t）﹣（ 12﹣4t）＝（6t﹣4）（cm），
∴t的取值范围是0≤t≤3，
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP＝CQ时，则有10﹣2t＝12﹣4t，
解得：t＝1，此时PQ的长度为2cm，不符合题意，
②当PQ＝PC时，则有6t﹣4＝10﹣2t，
解得：t＝；
∴CP＝PQ＝cm，CQ＝5cm，
此时满足△CPQ的周长为18cm；
③当QP＝QC时，则有2（12﹣4t）+（10﹣2t）＝18，
解得：t＝；
∴QP＝QC＝，PC＝，
此时满足△CPQ的周长为18cm；
综上所述，经过s或s时，△CPQ是等腰三角形．
16．（1）证明：在△ACB和△EDB中，
，
∴△ACB≌△EDB（AAS），
∴CA＝DE；
（2）证明：如图，过点D作DG∥AB交BC于点G，
∴∠DGB＝∠ABC＝90°，
∵F是AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AFB和△DFG中，
，
∴△AFB≌△DFG（AAS），
∴BF＝GF，
∴BF＝BG，
∵△ACB≌△EDB，
∴AB＝DG，
∵AB＝EB，
∴EB＝DG，
∵△ACB≌△EDB，
∴CB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣∠DBG，
∵∠GDB＝90°﹣∠DBG，
∴∠EBC＝∠GDB，
在△EBC和△GDB中，
，
∴△EBC≌△GDB（SAS），
∴EC＝GB，
∴BF＝EC．
17．（1）证明：如图（1），连接AD，AG，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠DAF＝∠DBE＝45°，且BD＝CD＝AD，
∵∠AEG＝∠AFG＝∠ADG＝90°，
∴A、E、G、D、F都在以AG为直径的圆上，
∴AEDF内接于圆，
∴∠AFD＝180°﹣∠CFD＝180°﹣∠AED＝∠BED，
在△AFD和△BED中，
，
∴△AFD≌△BED（AAS），
∴ED＝FD；
（2）结论DE＝DF成立，理由如下：
如图（2），连接AG、AD，在AC上取一点P使∠DFP＝∠DPF，
∵∠AEG＝∠AFG＝∠ADG＝90°，
∴A、F、G、D、E都在以AG为直径的圆上，
∴∠DPF＝∠DFP＝∠AED，
∴∠BED＝∠CPD，
在△BED和△CPD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DP＝DF．
∴DE＝DF．
18．（1）证明：∵，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴AC＝CB，EC＝DC，∠ECA＝∠DCB，∠B＝∠CAB＝45°，
在△ECA和△DCB中，
，
∴△ACE≌△BCD．
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD＝4，∠CAE＝∠B＝45°，
∴∠EAD＝∠EAC+∠CAB＝90°，
∴ED＝2．
19．解：（1）如图1，过点B作BT⊥y轴于点T，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCT＝90°，
∵BT⊥y轴，
∴∠CBT+∠BCT＝90°，
∴∠ACO＝∠CBT，
在△AOC和△CTB中，
，
∴△AOC≌△CTB（AAS），
∴CT＝OA＝8，BT＝CO＝6，
∴OT＝2，
∴点B的坐标为（6，﹣2），
故答案为：（6，﹣2）；
（2）如图2，过点A作AH⊥OB于H，过点D作DE⊥OB于点E．
∵AO＝AB，AH⊥OB，∠OAB＝90°，
∴OH＝HB，∠AOB＝∠ABO＝45°，
∴AH＝OB＝OH＝HB，
同（1）可证：△AHC≌△CED（AAS），
∴CH＝DE，CE＝AH，
∴CE＝OH，
∴OE＝CH＝DE，
∵∠DEO＝90°，
∴∠DOE＝45°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠DOE＝90°；
（3）如图3，过B作x轴垂线交AC延长线于F，
则∠FAD+∠F＝90°，
∵∠FCB＝90°，
∴∠FBC+∠F＝90°，
∴∠FAD＝∠FBC，
在△ACD和△BCF中，
，
∴△ACD≌△BCF（AAS），
∴BF＝AD＝8+m，
∵AD平分∠BAF，BF⊥x轴，
∴BF＝2n，
∴8+m＝﹣2n，
∴2n+m＝﹣8．
20．（1）证明：如图1所示：
∵∠ABC＝∠ACB，
又∵∠DEC＝∠ABC+∠BDE，
∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∠DEF＝∠ABC，
∴∠BDE＝∠CEF，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴DE＝EF；
（2）解：∵∠A+2∠DEF＝180°，∠A+2∠B＝180°，
∴∠DEF＝∠B，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴DB＝EC，
∵BC＝9，EC＝2BE，
∴EC＝6，BE＝3，
∴BD＝EC＝6．
（3）解：把（1）中的条件和结论反过来，即：若DE＝EF，则∠DEF＝∠ABC；这个命题不一定成立．
如图，△BDE和△CEF中，BE＝CF，ED＝EF．∠B＝∠C（SSA），无法判定两个三角形全等．