24.1.4圆周角 同步测试题 2023-2024学年人教版九年级数学上册（含答案）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，若∠A＝30°，则∠B的度数为（　　）
A．70° B．90° C．40° D．60°
2．如图，AB是⊙O的直径，若AC＝4，∠D＝60°，则BC的长等于（　　）
A．8 B．10 C．2 D．4
3．下列语句中不正确的有（　　）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC＝25°，在⊙O上任取一点D，且点D与点C位于直径AB的两侧，连接AD和DC，则∠D的度数是（　　）
A．50° B．60° C．65° D．75°
5．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（　　）
A．30° B．60° C．80° D．90°
6．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度数为（　　）
A．160° B．162° C．164° D．170°
7．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（　　）
A．5 B．10 C．5 D．10
8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（　　）
A．16° B．24° C．12° D．14°
9．如图是以O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上．将该纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E，若AD＝ED，则∠B的度数为（　　）
A．24° B．30° C．36° D．44°
10．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线BD过点O，若∠ABD＝65°，则∠ACB的度数为 　 　°．
12．如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 　 　．
13．半径为3cm的⊙O中有长为的弦AB，则弦AB所对的圆周角为 　 　．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝　 　°．
15．如图，菱形ABCD的顶点A、D都在⊙O上，且∠OAD＝12°，设AC与⊙O交于点E，则∠AEB的度数是 　 　．

16．如图，半径为3的⊙O中，弦AB∥CD，∠AOC＝90°，设AB＝a，CD＝b，则a2+b2＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠ACB＝70°．求∠BCD和∠ABD的度数．
18．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E，CD与CE相等吗？为什么？
19．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
20．如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM＝MD，连接OD，交AC于点N．
（1）证明：OD⊥AC；
（2）试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明．
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD经过⊙O的圆心O，过点A作AE⊥CD，与CD的延长线交于点E，且DA平分∠BDE．
（1）求证：∠ABO＝∠EAD；
（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．
22．在圆⊙O中，AB为弦（不是直径），K为弧AB的中点，C为优弧AB上一点，连接KC交AB于M
（1）如图1，作直径CT，连接KT，求证：∠KTC＝∠KMB；
（2）如图2，作直径AD交KC于N，若∠ADC＝45°，求证：AN＝AM．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
故选：D．
2．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝60°，∠A＝∠D，
∴∠A＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BC2＝＝＝4，
故选：D．
3．解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本说法错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本说法错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，本说法错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，本说法错误；
⑤圆内接四边形的对角互补，本说法正确；
⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，本说法错误；
故选：A．
4．解：连接BC，如图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠B＝65°，
∵，
∴∠D＝∠B＝65°．
故选：C．
5．解：∵∠P＝30°，
又∵∠AOB＝2∠P，
∴∠AOB＝60°，
故选：B．
6．解：∵∠DCE+∠BCD＝180°，∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝82°，
∴∠A＝82°，
∴∠BOD＝164°．
故选：C．
7．解：∵AC＝AC，
∴∠D＝∠B，
∵∠BAC＝∠D，
∴∠B＝∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝5，
∴AB＝5，
故选：C．
8．解：∵AF为圆的直径，
∴∠ABF＝90°，＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠DAF＝∠BAF＝32°，
∴∠BAD＝64°，
∵∠E＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，
∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．
故选：D．
9．解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CO对折，
∴∠ECO＝∠BCO，
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，
∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，
∴∠CEB＝2x，
∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°；
故选：C．
10．解：如图，连接AC，CD，DE．
∵＝，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD＝α，
∵＝＝（对着同一个圆周角），
∴AC＝CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ABD＝65°，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝65°，
∵∠ACB+∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACB＝25°，
故答案为：25．
12．解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
即⊙O的半径为2．
故答案为：2．
13．解：连接OA，OB，作OD⊥AB，
∵OA＝3cm，AB＝3cm，
∴AD＝BD＝，
∴AD：OA＝：2，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AMB＝60°，
∴∠ANB＝120°．
∴弦AB所对的圆周角度数为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
14．解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠AOC＝×140°＝70°，
∴∠CDE＝70°．
故答案为：70．
15．解：如图，连接DE，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝12°，
∴∠AOD＝180°﹣12°﹣12°＝156°，
∴∠AED＝∠AOD＝78°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
在△BAE和△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴∠AEB＝∠AED＝78°，
故答案为：78°．
16．解：如图，过点O作OM⊥AB于点M交CD于点N．
∵AB∥CD，OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴AM＝AB＝a，CN＝CD＝b，
∵∠AOC＝∠AMO＝∠CNO＝90°，
∴∠AOM+∠CON＝90°，∠CON+∠OCN＝90°，
∴∠AOM＝∠OCN，
在△AMO和△ONC中，
，
∴△AMO≌△ONC（AAS），
∴OM＝CN＝b，
∵OA2＝AM2+OM2，
∴32＝（a）2+（b）2，
∴a2+b2＝36．
故答案为：36．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．解：∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝120°，
∵∠ACB＝70°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝50°，
∴∠ABD＝∠ACD＝50°．
18．解：CD与CE相等；
理由：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即BC⊥AD，
∵CD＝AC，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠D，
∴∠CEB＝∠A，
∴∠CEB＝∠D，
∴CE＝CD．
19．解：（1）∵∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝30°，
∵由圆周角定理得：∠C＝∠B，
∴∠B＝30°；
（2）过O作OE⊥BD于E，
∵OE过O，
∴BE＝DE，
∵圆心O到BD的距离为3，
∴OE＝3，
∵AO＝BO，DE＝BE，
∴AD＝2OE＝6．
20．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBO，
∴，
∴OD⊥AC；
（2）解：猜想 OD＝AB．
∵，OD⊥AC，
∴AN＝NC．
∵，AN＝NC，
∴ON是△ABC 的中位线，
∴AB＝2ON，AB∥ON．
∴∠ABM＝∠NDM．
∵BM＝MD，∠BMA＝∠DMN，
∴△ABM≌△NDM（ASA），
∴AB＝ND＝2ON．
∴OD＝ON+ND＝AB．
21．（1）证明：∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵AE⊥CE，
∴∠ADE+∠EAD＝90°，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴∠ABD＝∠EAD，
即∠ABO＝∠EAD；
（2）解：过O点作OH⊥CD于H点，连接OA，如图，则CH＝DH＝CD＝3，
在Rt△ODH中，OH＝＝＝4，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠ODA＝∠ADE，
∴∠OAD＝∠ADE，
∴OA∥CE，
∴∠OAE＝180°﹣∠E＝90°，
∵∠OHE＝∠E＝∠OAE＝90°，
∴四边形OAEH为矩形，
∴AE＝OH＝4，HE＝OA＝5，
∴DE＝5﹣3＝2，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝2．
22．证明：（1）连接AK，如图1，
∵K为弧AB的中点，
∴＝，
∴＝+＝+，
∵∠KMB＝∠A+∠AKM，
而∠A对，∠AKC对，
∴∠KTC＝∠KMB；
（2）连接OC，如图2，
∵K为弧AB的中点，
∴OK⊥AB，
∴∠K+∠KMB＝90°，
∵OC＝OD，∠D＝45°，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCK+∠ONC＝90°，
而OK＝OC，
∴∠K＝∠OCK，
∴∠KMB＝∠ONC，
∵∠KMB＝∠AMN，∠ONC＝∠ANM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN．
23．解：（1）如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；