3.5探索与表达规律 解答题专题提升训练 2023—2024学年北师大版数学七年级上册（含解析）

2023-2024学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》
解答题专题提升训练（附答案）
1．观察下列单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4，…，﹣37x19，39x20，…，回答下列问题：
（1）这些单项式的系数的规律是什么？
（2）这些单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的规律，归纳出第n个单项式是什么．
（4）第2023和2024个单项式是什么？
2．已知一列多项式
（1）第9个多项式是　 　，第10个多项式是　 　．
（2）当n是奇数时，第n个多项式是　 　，第（n+1）个多项式是　 　．
（3）已知2x2+x＝3，求前100个多项式的和．
3．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
青解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　 　．
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝　 　＝　 　（n为正整数）；
（3）求a1+a2+…+a100的值．
4．观察以下等式：
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式．
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明你的结论．
5．研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1＝4＝22
2×4+1＝9＝32
3×5+1＝16＝42
4×6+1＝25＝52
…
（1）请你找出规律并计算7×9+1＝　 　＝（　 　）2
（2）用含有n的式子表示上面的规律：　 　．
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：＝　 　．
6．用火柴棒按图中的方式搭图形．
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数 5 9 13 a b
按上述信息填空：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为 　 　；（用含n的代数式来表示）
（3）按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2023个图形需要的火柴棒根数．
7．阅读下列材料，并解决相应问题：
观察下面一列数：1，2，4，8，…我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
（1）如果一个等比数列的第2项是12，第3项是18，则这个等比数列的第1项是 　 　，第4项是 　 　；
（2）为了求等比数列1，2，4，8，…的前2024项的和，可以用如下的方法：求此等比数列前2024项的和，即为求1+2+22+23+…+22023的值，可令S＝1+2+22+23+…+22023，则2S＝2+22+23+24+…22024，因此2S﹣S＝22024﹣1，所以S＝1+2+22+23+…+22023＝22024﹣1，请仿照以上材料，求出1+6+62+63+…+62023的值，并写明求解过程．
8．著名数学教育家G 波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”．这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题．
①13＝12；
②13+23＝32；
③13+23+33＝62；
④13+23+33+43＝102；
⑤13+23+33+43+53＝152；
……
（1）等式⑥是 　 　；
（2）13+23+33+…+n3＝　 　（n为正整数）；
（3）求113+123+133+143+153的值．
9．找规律：
（1）计算：
①2﹣1＝　 　；
②22﹣2﹣1＝　 　；
③23﹣22﹣2﹣1＝　 　；
④24﹣23﹣22﹣2﹣1＝　 　；
⑤25﹣24﹣23﹣22﹣2﹣1＝　 　；
（2）根据上面的计算结果猜想：
①2200﹣2199﹣2198﹣…﹣22﹣2﹣1的值为　 　；
②2n﹣2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣22﹣2﹣1的值为　 　；（n为正整数）
（3）根据上面猜想的结论，试求212﹣211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26的值．
10．阅读材料并解决问题：
求1+2+22+23+…+22024的值．
令S＝1+2+22+23+…+22024，
等式两边同时乘2，得
2S＝2+22+23+…+22024+22025．
两式相减，得2S﹣S＝22025﹣1．
所以S＝22025﹣1．
依据以上计算方法，
求1+3+32+33+…+32024的值．
11．（1）填空：22﹣21＝2（　 　），23﹣22＝2（　 　），24﹣23＝2（　 　），…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）运用上述规律计算：21﹣22﹣…﹣22020+22021．
12．如图，用同样大小的黑色和白色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图案有1个黑子、4个白子，第2个图案有2个黑子、7个白子，…，按此规律排列下去．
（1）第3个图案有 　 　个黑子，　 　个白子；
（2）第n（n为正整数）个图案中有 　 　个黑子，　 　个白子；（用含n的代数式表示）
（3）若第n个图案有黑子、白子共101个，请求出n的值．
13．如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：
（1）图案④中黑色五边形有 　 　个，白色五边形有 　 　个；
（2）图案n中黑色五边形有 　 　个，白色五边形有 　 　个；（用含n的式子表示）
（3）图案n中的白色五边形可能为2022个吗？若可能，请求出n的值；若不可能，请说明理由．
14．用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路．
（1）铺第6个图形用黑色正方形瓷砖 　 　块，用白色正方形瓷砖 　 　块；
（2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖 　 　块，用白色正方形瓷砖 　 　块（用含n的代数式表示）；
（3）在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为0.5米×宽0.5米），若按照此方式铺满一段总面积为24.75平方米的小路时，n是多少？
15．每年春节前夕，某古镇老街居民都将在千米长街上大摆百家宴，吸引众多游客慕名前来，共享团圆宴，百家宴用的桌子都是一样的，一张桌子可坐6人，有如图所示两种摆放方式．
（1）若有8张这样的桌子按第一种摆放方式能坐 　 　人；
（2）若有n张这样的桌子按第二种摆放方式能坐 　 　人；
（3）有若干名游客预约了今年除夕的午餐，由于人数较多，古镇老街决定分批接待这些游客，现已备好480张这样的餐桌按第一种或第二种摆放方式摆放，若想要同时接待2000位游客共同就餐，古镇老街备好的这些餐桌够用吗？如果够用，请说明理由；如果不够用，请计算说明至少还需要准备多少张这样的餐桌？
16．下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的．
（1）推测第4个图形中，正方形的个数为 　 　，周长为 　 　；
（2）推测第n个图形中，正方形的个数为 　 　，周长为 　 　；（都用含n的代数式表示）
（3）这些图形中，任意一个图形的周长记为a，它所含正方形个数记为b，则a，b之间满足的数量关系为 　 　．（用含a，b的等式表示）
17．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面：
（1）观察图形，填写下表：
图形 ① ② ③ …
黑色瓷砖的块数 4 7 　 　 …
黑白两种瓷砖的总块数 15 25 　 　 …
（2）依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为 　 　，黑白两种瓷砖的总块数为 　 　（用含n的代数式表示）；
（3）白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2023块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由．
18．某校教学楼前走廊用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖来铺设地面，图1表示地面的瓷砖排列方式．
【观察思考】
当黑色瓷砖有1块时，瓷砖的总数有9块（如图2）；当黑色瓷砖有2块时，瓷砖的总数有15块（如图3）；当黑色瓷砖有3块时，瓷砖的总数有21块（如图4）；…；以此类推．
【规律总结】
（1）若该走廊每增加1块黑色瓷砖，则瓷砖的总数增加 　 　块；
（2）若这样的走廊一共有n（n为正整数）块黑色瓷砖，则瓷砖的总数为 　 　块；（用含n的代数式表示）
【问题解决】
（3）现总共有2025块瓷砖，若按此规律再建一条走廊，则黑色瓷砖有多少块？
19．为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图案，如图所示．
【观察思考】
第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推．
【规律总结】
（1）第5个图案有 　 　个正三角形．
（2）第n个图案中有 　 　个正三角形．（用含n的代数式表示）
【问题解决】
（3）现有2023个正三角形，若按此规律拼第n个图案，要求正三角形一次用完，则该图案需要正方形多少个？
20．探索规律．
（1）观察上面的图，发现：
图①空白部分小正方形的个数是22﹣12＝2+1；
图②空白部分小正方形的个数是42﹣32＝4+3；
图③空白部分小正方形的个数是52﹣42＝　 　+　 　．
（2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：　 　；
（3）运用规律计算：（20232﹣20222+20212﹣20202+20192﹣20182+…+22﹣12）÷1012．
1．解：（1）观察所给的单项式列可知，
第i（i为奇数）个单项式的系数为负的，第（i+1）个单项式的系数为正；且系数的绝对值是从1开始的连续的奇数．
（2）观察所给的单项式列可知，
这些单项式的次数依次加1．
（3）由（1）（2）发现的规律可知，
第n个单项式的系数为（﹣1）n（2n﹣1），次数为n．
所以第n个单项式为（﹣1）n（2n﹣1）xn．
（4）将n＝2023代入（﹣1）n（2n﹣1）xn得，
（﹣1）n（2n﹣1）xn＝﹣4045x2023．
将n＝2024代入（﹣1）n（2n﹣1）xn得，
（﹣1）n（2n﹣1）xn＝4047x2024．
2．解：（1）第9个多项式是，第10个多项式是；
故答案为：，；
（2）当n是奇数时，第n个多项式是，
第（n+1）个多项式是；
故答案为：，；
通过观察，得
，
当2x2+x＝3时，前100个多项式的和是 50（2x2+x）＝50×3＝150．
3．解：（1）由题意可得，
第5个等式：，
故答案为：；
（2），
故答案为：，；
（3）a1+a2+a3+…+a100
＝
＝
＝
＝
＝．
4．解：（1）第5个等式为：＝+，
故答案为：＝+；
（2）第n个等式为：＝+，
故答案为：＝+．
5．解：（1）7×9+1＝64＝82；
（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1＝n2+2n+1＝（n+1）2．
（3）原式＝＝．
故答案为：64，8；n（n+2）+1＝（n+1）2；．
6．解：（1）由图④可数出火柴棒的根数为17，故可得a＝17，
由图①②③④可得图⑤为：17+4＝21，
故b＝21，
故答案为：17，21；
（2）由（1）可得第n个图形需要火柴棒的根数为5+（n﹣1）×4＝4n+1，
故答案为：4n+1；
（3）将n＝2023代入4n+1中得：4×2023+1＝8093（根）．
即第2023个图形需要的火柴棒根数为8093根．
7．解：（1）因为等比数列的第2项是12，第3项是18，
所以18÷12＝1.5，
即这一个等比数列的公比是1.5．
12÷1.5＝8，
故这个等比数列的第1项是8；
18×1.5＝27，
故这个等比数列的第4项是27；
故答案为：8，27．
（2）令S＝1+6+62+…+62023，
则6S＝6+62+63+…+62023+62024，
两式相减得，5S＝62024﹣1，
所以．
即1+6+62+63+…+62023的值为．
8．解：（1）观察规律，等式⑥是13+23+33+43+53+63＝212；
故答案为：13+23+33+43+53+63＝212；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2；
故答案为：（1+2+3+4+…+n）2；
（3）113+123+133+143+153
＝13+23+33+…+153﹣（13+23+33+…+103）
＝（1+2+3+…+15）2﹣（1+2+3+4+…+10）2
＝1202 552
＝14400 3025
＝11375．
故答案为：11375．
9．解：（1）①2﹣1＝1；
②22﹣2﹣1＝1；
③23﹣22﹣2﹣1＝1；
④24﹣23﹣22﹣2﹣1＝1；
⑤25﹣24﹣23﹣22﹣2﹣1＝1；
故答案为：1；1；1；1；1．
（2）根据上面的计算结果猜想：
①2200﹣2199﹣2198﹣…﹣22﹣2﹣1
＝2199﹣2198﹣…﹣22﹣2﹣1
＝2198﹣…﹣22﹣2﹣1
＝2﹣1
＝1
②2n﹣2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣22﹣2﹣1
＝2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣22﹣2﹣1
＝2n﹣2﹣…﹣22﹣2﹣1
＝22﹣2﹣1
＝1
故答案为：1；1．
（3）212﹣211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26
＝211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26
＝210﹣29﹣28﹣27﹣26
＝29﹣28﹣27﹣26
＝28﹣27﹣26
＝27﹣26
＝26
＝64．
10．解：由阅读材料可知，
令S＝1+3+32+33+…+32024，
等式两边同时乘3，得
3S＝3+32+33+34+…+32025．
两式相减，得2S＝32025﹣1．
所以．
故1+3+32+33+…+32024的值为．
11．解：（1）因为22﹣21＝21×21﹣21＝21，
23﹣22＝2×22﹣22＝22，
24﹣23＝2×23﹣23＝23，
故答案为：1，2，3．
（2）第n个等式为：2n+1﹣2n＝2n．
左边＝2×2n﹣2n
＝（2﹣1）×2n
＝2n
＝右边．
所以等式成立．
（3）原式＝22021﹣22020﹣22019﹣…﹣23﹣22+21
＝22020﹣22019﹣…﹣23﹣22+21
＝…
＝22+21
＝5．
12．解：（1）根据题意可得，
第1个图案中有1个黑子、白色棋子的个数是：3×1+1＝4，
第2个图案中有2个黑子、白色棋子的个数是：3×2+1＝7，
第3个图案中有3个黑子、白色棋子的个数是：3×3+1＝10，
故答案为：3，10；
（2）根据（1）的规律，
第n个图案中有n个黑子、白色棋子的个数是：3×n+1＝3n+1，
故答案为：n，（3n+1）；
（3）由题意得n+3n+1＝101，
解得n＝25．
13．解：（1）∵第1个图形中黑色五边形的个数为：1，白色五边形的个数为：4，
第2个图形中黑色五边形的个数为：2，白色五边形的个数为：7＝4+3＝4+3×1，
第3个图形中黑色五边形的个数为：3，白色五边形的个数为：10＝4+3+3＝4+3×2，
∴第4个图形中黑色五边形的个数为：4，白色五边形的个数为：4+3×3＝13，
故答案为：4，13；
（2）由（1）可得：第n个图形中黑色五边形的个数为：n，白色五边形的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
故答案为：n，（3n+1）；
（3）不可能，理由如下：
由题意得：3n+1＝2022，
解得：n＝673……2，
故图案n中的白色五边形不可能为2022个．
14．解：（1）第1个图形中有1+4＝5个黑色正方形瓷砖，有2+2＝4个白色瓷砖；
第2个图形中有1+4×2＝9个黑色正方形瓷砖，有2+2×2＝6个白色瓷砖；
第3个图形中有1+4×3＝13个黑色正方形瓷砖，有2+2×3＝8个白色瓷砖；
……，
第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖；4n
∴第6个图形中有25个黑色正方形瓷砖，有14个白色瓷砖；
故答案为：19，14；
（2）由（1）知：第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖，
故答案为：（1+4n），（2+2n）；
（3）第n个图形中有（1+4n）个黑色正方形瓷砖，有（2+2n）个白色瓷砖，
故第n个图形中有（1+4n）+（2n+2）＝（6n+3）个正方形瓷砖；
∴（6n+3）×0.25＝24.75，
解得：n＝16．
15．解：（1）第一种摆放方式可坐人数为：8×4+2＝34（人），
故答案为：34；
（2）第二种摆放方式可坐人数为：（2n+4）（人），
故答案为：（2n+4）；
（3）当n＝480时，第一种摆放方式可坐人数为：4×480+2＝1922（人）．
当n＝480时，第二种摆放方式可坐人数为：2×480+4＝964（人）．
∵964＜1922＜2000，
∴无论选用哪一种摆放方式．餐桌都不够用．
（2000﹣1922）÷4＝19……2，
答：至少还需要准备这样的餐桌20张．
16．解：∵（1）第一个图形中，正方形的个数为8，周长为18，
第二个图形中，正方形的个数为13，周长为28，
第三个图形中，正方形的个数为18，周长为38，
……，
∴第n个图形中，正方形的个数为5n+3，周长为10n+8；
∴第四个图形中，正方形的个数为23，周长为48，
故答案为：23，48；
（2）根据（1）可知，第n个图形中，正方形的个数为5n+3，周长为10n+8，
故答案为：5n+3，10n+8；
（3）由题意得任意一个图形的周长＝所含正方形个数×2+2，
∴任意一个图形的周长记为a，它所含正方形个数记为b，则a，b之间满足的数量关系为a＝2b+2．
故答案为：a＝2b+2．
17．解：（1）填表如下：
图形 （1） （2） （3） …
黑色瓷砖的块数 4 7 10 …
黑白两种瓷砖的总块数 15 25 35 …
故答案为：10，35；
（2）第n个图形中黑色瓷砖的块数为3n+1；黑白两种瓷砖的总块数为10n+5，
故答案为：3n+1，10n+5；
（3）能，理由如下：
假设白色瓷砖的块数比黑色瓷砖的块数多2023块，则可得：10n+5﹣（3n+1）﹣（3n+1）＝2023，
即4n＝2020，
∴n＝505，
因为2020能被4整除，所以假设成立，故能，是第505个图形．
18．解：（1）由题意知，每增加1块黑色瓷砖，则白色瓷砖增加5块，
∴瓷砖的总数增加1+5＝6（块），
故答案为：6；
（2）由题意知，有1块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9块；
有2块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6＝15块；
有3块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×2＝21块；
有4块黑色瓷砖时，瓷砖的总数为9+6×3＝27块；
∴一般性规律：有n块黑色瓷砖，瓷砖的总数为9+6×（n﹣1）＝（6n+3）块；
故答案为：（6n+3）；
（3）令6n+3＝2025，解得n＝337，
∴黑色瓷砖有337块．
19．解：（1）∵第1个图案有3+1＝4个三角形，
第2个图案有3×2+1＝7个三角形，
第3个图案有3×3+1＝10个三角形，
…
第5个图案有3×5+1＝16个三角形；
故答案为：16；
（2）第n个图案有（3n+1）个三角形．
故答案为：（3n+1）；
（3）根据题意可得：3n+1＝2023，
解得：n＝674，
∴该图案需要正方形674个．
20．解：（1）由题意得：52﹣42＝5+4，
故答案为：5，4；
（2）由（1）可得：（n+1）2﹣n2＝n+1+n，
故写出一道算式为：102﹣92＝10+9，
故答案为：102﹣92＝10+9（答案不唯一）；
（3）（20232﹣20222+20212﹣20202+20192﹣20182+…+22﹣12）÷1012
＝（2023+2022+2021+2020+2019+2018+…+2+1）÷1012
＝
＝2023．