3.5探索与表达规律 填空题专题提升训练　2023—2024学年北师大版数学七年级上册（含答案）

2023-2024学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》
填空题专题提升训练（附答案）
1．有一列数，，，，，，……则这列数的第n个数是 　 　.（用含n的代数式表示）
2．观察下列各式：3×5＝42﹣1，4×6＝52﹣1，5×7＝62﹣1，6×8＝72﹣1，…把你发现的规律用含有字母n的式子表示出来为　 　．
3．已知，，，…，（n为正整数，且t≠0，1），则a2022＝　 　（用含有t的式子表示）．
4．观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第n个数记为an；第n+1个数记为an+1，第n+2个数记为an+2，且满足+＝，则a4＝　 　，a2023＝　 　．
5．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知．a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2023＝　 　．
6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2…，第n个三角形数记为an，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…由此推算a2023﹣a2022＝　 　．
7．观察下列单项式：x，﹣3x2，5x3，﹣7x4，9x5，…．按此规律可以得到：第12个单项式是　 　，第n个单项式是　 　（n是正整数）．
8．按一定规律排列的多项式：x+2y，﹣x2+4y，x3+8y，﹣x4+16y，x5+32y，…，根据上述规律，则第n个多项式是 　 　．
9．用火柴棒按如图所示的方式搭图形，按这样的方式搭下去，第（1）个图形需要7根火柴棒，第（2）个图形需要12根火柴棒，第（3）个图形需要17根火柴棒，则第n个图形需要 　 　根火柴棒．
10．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，按此规律，第100个图形中“〇”的个数为 　 　．
11．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数为 　 　，第n个图形需要黑色棋子的个数为 　 　．
12．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为 　 　．
13．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n个图案中的基础图形个数为 　 　．
14．如图，在第10个白色的球的前面，共有 　 　个黑色的球．
15．如图，一张正方形桌子四周可以坐4人，如果按如图所示的方式拼桌子，六张桌子拼在一起可以坐 　 　人．
16．如图，用火柴棒按如下方式拼成一排由三角形组成的图形．若拼成的第n个图形恰好用了2023根火柴棒，则n＝　 　．
17．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰7”中C的位置是有理数 　 　，﹣2121应排在A、B、C、D、E中 　 　的位置．
18．观察下列图形的构成规律，按此规律，第6个图形中棋子的个数为 　 　个，第n个图形中棋子的个数为 　 　个．
19．观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“”的个数是　 　（用含n的代数式表示）
20．观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出第六个“品”字形中a的值为 　 　，c的值为 　 　．
参考答案
1．解：∵第1个数是 ，
第2个数是 ，
第3个数是 ，
第4个数是 ，
第5个数是 ，
第6个数是 ，
∴第n个数是 ，
故答案为：．
2．解：∵3×5＝42﹣1，4×6＝52﹣1，5×7＝62﹣1，6×8＝72﹣1，…
∴规律为：（n+2）（n+4）＝（n+3）2﹣1．
故答案为：（n+2）（n+4）＝（n+3）2﹣1．
3．解：∵，
，
，
，
∴结果每3个一循环，
∵2022＝3×674，
∴．
故答案为：．
4．解：由题意得：a1＝2，a2＝，a3＝，
∵+＝，
∴当n＝2时，，
即，
解得：，
当n＝3时，可求得，
则这列数为：，…，
可看出，分子为2，分母为3n﹣2，
∴第n个数为：，
∴a2023＝．
故答案为：，．
5．解：∵，
∴，，，……，
∴每3次运算结果循环出现一次，
∵2023÷3＝674 1，
∴a2023＝a1＝，
故答案为：．
6．解：a2﹣a1＝3﹣1＝2；
a3﹣a2＝6﹣3＝3；
a4﹣a3＝10﹣6＝4；
…；
∴an﹣an﹣1＝n．
∴a2023﹣a2022＝2023，
故答案为：2023．
7．解：∵下列单项式的排列规律是：x，﹣3x2，5x3，﹣7x4，9x5，…
∴本数列的通式为：（﹣1）n+1 （2n﹣1）xn，
∴第12个单项式是：（﹣1）12+1 （2×12﹣1）x12＝﹣23x12；
故答案为：﹣23x12；（﹣1）n+1 （2n﹣1）xn．
8．解：按一定规律排列的多项式：x+2y＝（﹣1）1+1x1+21y，
﹣x2+4y＝（﹣1）2+1x2+22y，
x3+8y＝（﹣1）3+1x3+23y，
﹣x4+8y＝（﹣1）4+1x4+24y，
…，
则第n个多项式是（﹣1）n+1xn+2ny，
故答案为：（﹣1）n+1xn+2ny．
9．解：∵搭第1个图形需要7根火柴棒，7＝5+2
搭第2个图形需要12根火柴棒，12＝5×2+2，
搭第3个图形需要17根火柴棒，17＝5×3+2，

∴搭第n个图形需要的火柴棒的根数是5n+2，
故答案为：（5n+2）．
10．解：∵观察图形的变化可知：
第1个图形中“〇”的个数为3×1+1＝4个；
第2个图形中“〇”的个数为3×2+1＝7个；
第3个图形中“〇”的个数为3×3+1＝10个；
…
∴第n个图形中“〇”的个数为：3n+1，
∴第100个图形中“〇”的个数为：3×100+1＝301．
故答案为：301．
11．解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3﹣3＝3个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4﹣4＝8个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5﹣5＝15个，
按照这样的规律摆下去，
则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n（n+2）；
当n＝6时，6×（6+2）＝48，
故答案为：48，n（n+2）．
12．解：通过观察可得规律：p＝n2，q＝（n+1）2﹣1，
∵q＝143，
∴（n+1）2﹣1＝143，
解得：n＝11，
∴p＝n2＝121，
故答案为：121．
13．解：第1个图案基础图形的个数为4，
第2个图案基础图形的个数为7，7＝4+3，
第3个图案基础图形的个数为10，10＝4+3×2，
…，
第n个图案基础图形的个数为4+3（n﹣1）＝3n+1，
故答案为：3n+1．
14．解：∵第2个白球前面是1个黑球，
第3个白球前面是1+2＝3（个）黑球，
第4个白球前面是1+2+3＝6（个）黑球，
……，
则在第n个白色的球的前面，黑色的球共有，
∴在第10个白色的球的前面，共有个黑色球．
故答案为：45．
15．解：第一张桌子可以坐4人；
拼2张桌子可以坐4+2×1＝6人；
拼3张桌子可以坐4+2×2＝8人；
故n张桌子拼在一起可以坐4+2（n﹣1）＝2n+2，
则6张桌子拼在一起可以坐的人数为：2×6+2＝14．
故答案为：14．
16．解：含有1个三角形，需要3根火柴棍，
有2个三角形，需要3+2＝5根火柴棍，
有3个三角形，需要3+2×2＝7根火柴棍，
…
有n个三角形，需要3+2×（n﹣1）＝2n+1根火柴棍；
由题意2n+1＝2023，解得n＝1011，
故答案为：1011．
17．解：由图知，每五个数一个峰，且第奇数个峰值是正偶数，第偶数个峰值是负奇数，
故“峰7”中C的位置是7×5﹣1＝34，
∵（2121﹣1）÷5＝424，
∴﹣2121在E位置，
故答案为：34，E．
18．解：第1个图形有4个棋子，
第2个图形有（4+3）个棋子，
第3个图形有（4+3×2）个棋子，
第4个图形有（4+3×3）个棋子，
第5个图形有（4+3×4）个棋子，
第6个图形有4+3×5＝19个棋子，

归纳可得：第n个图形中棋子的个数为4+3（n﹣1）＝（3n+1）个棋子，
故答案为：19，（3n+1）．
19．解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“”，
∴第n个图案中共有“”为：4+3（n﹣1）＝3n+1
故答案为：3n+1
20．解：观察已知图形中的数字间的规律为：
最上方的数字为：2n﹣1，
左下方的数字为：2n，
右下方的数字＝最上方的数字+左下方的数字，
即为2n+（2n﹣1），
∴第6个“品”字形中a的值为：2×6﹣1＝11，
b的值为：26＝64
c的值为：11+64＝75．
故答案为：11，75．