力的合成与分解 同步练习
（时间60分钟，赋分100分）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.关于合力和分力的关系，下列说法正确的是
A.合力的作用效果与其分力作用效果相同
B.合力大小一定等于其分力的代数和
C.合力可能小于它的任一分力
D.合力可能等于某一分力大小
2.关于两个大小不变的共点力与其合力的关系，下列说法正确的是
A.合力大小随两力夹角增大而增大
B.合力的大小一定大于分力中最大者
C.两个分力夹角小于180°时，合力大小随夹角减小而增大
D.合力的大小不能小于分力中最小者
3.有两个大小恒定的力，作用在一点上，当两力同向时，合力为A，反向时合力为B，当两力相互垂直时，其合力大小为
A. B.
C. D.
4.如图1—2—1所示装置，两物体质量分别为m1、m2，悬点ab间的距离大于滑轮的直径，不计一切摩擦，若装置处于静止状态，则
图1—2—1
A.m2可以大于m1 B.m2一定大于
C.m2可能等于 D.θ1一定等于θ2
5.有两个大小相等的共点力F1和F2，当它们夹角为90°时的合力为F，它们的夹角变为120°时，合力的大小为
A.2F B.(/2)F
C. F D. /2F
6.将一个力F=10 N分解为两个分力，已知一个分力的方向与F成30°角，另一个分力的大小为6 N，则在分解中
A.有无数组解 B.有两解
C.有惟一解 D.无解
7.下列几组共点力分别作用在一个物体上，有可能使物体达到平衡状态的是
A.7 N，5 N，3 N B.3 N，4 N，8 N
C.4 N，10 N，5 N D.4 N，12 N，8 N
8.如图1—2—2所示，原长为l，劲 ( http: / / www.21cnjy.com )度系数为k的轻弹簧，固定于同一高度的M、N两点，在中点P处悬挂一重为G的物体而处于平衡，此时MP与PN之间的夹角为120°，如图所示，此时弹簧的总长度为
图1—2—2
A.l+G/k B.l+2G/k
C.l+G/2k D.l+2G/ksin60°
二、填空题（每小题6分，共24分）
9.如图1—2—3所示装置，两根细绳 ( http: / / www.21cnjy.com )拉住一球，保持两细绳间的夹角不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力T1大小的变化情况是_______，CB绳的拉力T2的大小变化情况是_______.
图1—2—3 图1—2—4
10.如图1—2—4所示，在墙角处 ( http: / / www.21cnjy.com )的水平地面上，静止放一质量为4m、倾角为37°的三角形木块，在木块斜面与竖直墙壁间静止放有一质量为m的小球，则木块对地面压力的大小为_______，地面对木块的静摩擦力大小为_______.
11.如图1—2—5所示，在“共点力 ( http: / / www.21cnjy.com )合成”实验中，橡皮条一端固定于P点，另一端连接两个弹簧秤，分别用F1与F2拉两个弹簧秤，将这端的结点拉至O点.现让F2大小不变，方向沿顺时针方向转动某一角度，要使这端的结点仍位于O点，则F1的大小及图中β角相应作如下哪些变化才有可能
答：________________.
A.增大F1的同时增大β角
B.增大F1而保持β角不变
C.增大F1的同时减小β角
D.减小F1的同时增大β角
12.如图1—2—6所示，硬杆BC ( http: / / www.21cnjy.com )一端固定在墙上的B点，另一端装有滑轮C，重物D用绳拴住通过滑轮固定于墙上的A点.若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，AC绳与竖直墙的夹角为60°，重物D的质量为m，则杆BC对绳的作用力大小为_______.
图1—2—6
三、计算题（共36分）
13.(12分)如图1—2—7所示，物重30 N，用OC绳悬挂在O点，OC绳能承受最大拉力为20N，再用一绳系OC绳的A点，BA绳能承受的最大拉力为30 N，现用水平力拉BA，可以把OA绳拉到与竖直方向成多大角度
图1—2—7
14.（12分）如图1— ( http: / / www.21cnjy.com )2—8所示，一轻质三角形框架的B处悬挂一个定滑轮(质量忽略不计).一体重为500 N的人通过跨定滑轮的轻绳匀速提起一重为300 N的物体.此时斜杆BC，横杆AB所受的力多大
图1—2—8 图1—2—9
15.（12分）把一个力分 ( http: / / www.21cnjy.com )解为两个力F1和F2，已知合力F=40 N，F1与合力的夹角为30 °，如图1—2—9所示，若F2取某一数值，可使F1有两个大小不同的数值，则F2大小的取值范围是什么？
答案
一、1.ACD 2.C 3.B 4.ABD 5.B 6.B 7.AD 8.A
二、9.先增大后减小；逐渐减小至零
10. 5mg； mg?11.ABC 12.mg
三、13.当OA绳与竖直方向的夹 ( http: / / www.21cnjy.com )角θ逐渐增大时，OA和BA绳中的拉力都逐渐增大.其中某一根的拉力达到它本身能承受的最大拉力时，就不能再增大角度了.显然，OA绳中的拉力先达到这一要求.
所以有cosθ=
所以θ=30°
14.TC=N
TA=TCsin30°=200N
15.此类问题的解答，必须先画图后 ( http: / / www.21cnjy.com )分析，由于已知合力F的大小和方向，以及一个分力F1的方向，因此可以试着把另一个分力F2的大小从小逐渐增大去画力的平行四边形.
如上图所示，以合力的箭头为圆心，以F2的大小为半径去画圆弧与F1相交，分别可得到如下几种情况：
（1）当F2＜20 N时，圆弧与F1没有交点，即不能画出平行四边形.无解.
（2）当F2=20 N时，圆弧与F1相切，有一个解，且此时F2具有最小值.F1=20N如图（a）所示.
（3）当20 N＜F2＜40 N时， ( http: / / www.21cnjy.com )圆弧与F1有两个交点，有两个解.即F2的某一数值对应着F1的两个不同的数值，如图（b）所示.
（4）当40 N≤F2时，圆弧与F1只有一个交点，只有惟一解.
所以，若F2取某一数值，可使F1有两个大小不同的数值，则F2的取值范围为20 N＜F2＜40 N.
图1—2—5力的合成与分解 同步练习
1、有两个共点力，一个是40N，另一个是F，它们的合力是100N；则F的大小在下列各力中，哪个是可能的（ ）
A、20N B、40N C、80N D、160N
2、关于两个共点力的合力，下列说法正确的是（ ）
一定比那两个力都大
可能小于那两个力中的任意一个力
不可能大于那两个力的大小之和
一定大于那两个力的大小之差
3、以VO为初速度斜向上抛一块木块，考虑到空气阻力，木块从抛出到达最高点之前受的合力方向是（ ）
A、竖直向下 B、水平向后 C、向下偏后 D、与运动方向相反
4、三个共点力的大小分别为50N、30N、40N，它们合力的最大值为 N，最小值为 N。
5、关于合力的下列叙述中正确的是（ ）
合力的性质同原来的力相同
合力是原来几个力的等效替代
两个力夹角为θ，在0≤θ≤180O范围内，它们的合力随θ增大而减小
合力的大小总不会比各力数值之和大
6、共面的5个共点力的合力等于0，若撤去其中的一个向南的8N的力，则剩下的4个力的合力大小、方向为（ ）
A、8N，向北 B、8N，向南 C、8N，向东 D、8N，向西
7、在一光滑斜面上，一根弹 ( http: / / www.21cnjy.com )簧一端固定在斜面上， 另一端固定在重200N的物块上，若弹簧的劲度系数为1000N/m，则弹簧的伸长量为 。
8、重40N的物体以一定的初速沿水 ( http: / / www.21cnjy.com )平地面运动，它与地面间的动摩擦因数μ=0.1，某时刻又加上一个与运动方向相反的、大小为4N的外水平推力F，则这时物体受到的合力为
。8N
9、将一个力分解为两个共点力，以下是它们之间的关系，说法正确的是（ ）
合力可能比每个分力都小
合力一定大于每一个分力
合力至少要比某一个分力大
合力不可能与某一个分力同向
10、关于力的分解，下列说法正确的是（ ）
力的分解其本质就是用同心作用于物体的几个力产生的效果代替某一个力的作用效果
分力可能大于合力
力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则]
分解一个力往往根据它产生的效果来分解它
11、将一个力F分解为两个不为零的力，下列哪种分解法是不可能的（ ）
分力之一垂直于F
两个分力与F在同一直线上
一个分力的大小与F相等
一个分力与F相同
12、如图，水平绳AO拉住一 ( http: / / www.21cnjy.com )个放在光滑斜面上的重物。已知物重为G=180N，斜面倾角为θ=30O，求：（1）绳AO的拉力；（2）斜面对物体的压力。
答案：
1、c 2、BC 3、C 4、略 5、BC
6、AC 7、略
8、略 9、A 10、ABCD 11、D 12、略
O
G
A
θ力的合成与分解 同步练习
班级 姓名 。
一、选择题
1．关于合力与分力，下列说法正确的是 ( )
A．合力的大小一定大于每个分力的大小
B．合力的大小至少大于其中的一个分力
C．合力的大小可以比两个分力都大，也可以两个分力都小
D．合力的大小不可能与其中的一个分力相等
2．有三个共点力，其大小分别为20牛顿、6牛顿、15牛顿，其合力的最大值,最小值分别为 ( )
A. 41N 、 0 B．41N 、 11N C 29N 、 4N D．41N 、 lN
3．如图所示，物体受到的 ( http: / / www.21cnjy.com )水平方向成30o角的拉力F作用向左作匀速直线运动，则物体受到的拉力F与地面对物体的摩擦力的合力的方向是( )
A．向上偏左 B．向上偏右
C．竖直向上 D．竖直向下
4．其物体在三个共点力的作用下处于静 ( http: / / www.21cnjy.com )止状态，若把其中的一个力P1的方向沿顺时针转过90o而保持其大小不变，其余两个力保持不变，则此时物体所受的合力大小为 ( )
A．F 1 B． C．2Fl D．无法确定
5.弹簧秤两端各拴一端，用大小都等于F、方向相反的两个力分别拉住两绳，则弹簧秤的读数F1和弹簧秤所受的合力F2分别为（ ）
A.F1=2F,F2=2F B.F1=0,F2=0
C.F1=2F,F2=0 D.F1=F,F2=0
6. 如图所示，质量分别为m1和m2的两物体用轻绳ABC连接，跨过光滑的定滑轮而处于平衡状态，下述说法中正确的是 ( )
A．若使m1—增大一点，在新的位置仍能干衡
B．若位m1增大一点，不会出现新的平衡位置
C．若使m2增大一点，在某一新位置仍能干衡
D．若使m2增大一点，不会出现新的平衡位置
二、填空题
7． 均匀矩形木板ABCD用绳悬挂，如图所示，若θ角越大，那么OO’绳的张 力( )。 (填越 大、越小、不变)
8．如图所示，轻直角劈ABC，斜边长 ( http: / / www.21cnjy.com ) AC＝8cm，AB边长2cm，当用力F＝200牛顿的水平拉力推劈时，它对上斜墙的压力是( )牛顿，对水平地面的压力为( )牛顿。
9．AO，BO两根细绳上端分别固定在天花 ( http: / / www.21cnjy.com )板上，下端结于O点，在O点施一个力F使两绳在竖直平面内绷紧，两绳与天花板的夹角如图所示，力F方向与绳OB夹角为α，当α＝( ) 时，绳AO拉力大小等于F。
三、计算题
10．为了把陷在泥坑里的汽车拉出来，司 ( http: / / www.21cnjy.com )机用一条结实的绳子把汽车拴在一棵大树上，开始时相距12m，然后在绳的中点用400N的力F，沿与绳垂直的方向拉绳，如果中点被拉过60cm(如图所示)，假设绳子的伸长可以不计，求汽车受到的拉力。
( http: / / www.21cnjy.com )
11.如图所示，矩形斜面水平边的长度为0.6 ( http: / / www.21cnjy.com )m，斜边的长度为0. 8m，斜面倾角为37o，一与斜面动摩擦因数为μ＝0.6的小物体重25N，在一与斜面平行的力F的作用下，沿对角线AC匀速下滑，求推力F。
( http: / / www.21cnjy.com )
12、10.两个力合力的大小随这两个力夹角θ变化的情况如图所示，由图中提供的数据求出这两个力的大小.?
13、如图所示，将质量为m的小 ( http: / / www.21cnjy.com )球，用长为L的轻绳吊起来，并靠在光滑的半径为r的半球体上，绳的悬点A到球面的最小距离为d.（1）求小球对绳子的拉力和对半球体的压力.(2)若L变短，问小球对绳子的拉力和对半球体的压力如何变化？?
力的合成与分解参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A C B B AC
填空题
7. 不变
8. 800;
9. 75°或105°
计算题
10. 2000N
11. 9N; 与AC垂直,与斜面平行.
12. 【解析】 由题意知，F1、F2夹角为π时，F1、F2的合力为1 N，夹角为时，F1、F2的合力为5 N，所以，?
F1-F2=1 ①
②
由①②得：F1=4 N，F2=3 N?
【答案】 4 N 3 N?
【解析】 （1）将小球受到的重力按作用效果分解，做出平行四边形如图所示，由三角形ABO与三角形BF2G相似，对应边成比例得
又因为G=mg?
导出 F2=
F1=
由上式可得小球对绳子的拉力为，小球对半球体的压力为.
(2)当L变短时，F2=减小，F1=不变，所以，小球对绳子的拉力减小，小球对半球体的压力不变.?
【答案】 (1)拉力：;压力：力的合成与分解-例题思考
【例1】如图3－16所示，夹角＝的两个力作用在同一物体上，两个力的大小F1＝F2＝20N，求这两个力的合力．
( http: / / www.21cnjy.com )
思路：用图解法，先确定 ( http: / / www.21cnjy.com )力的标度．在同一幅图中各个力都必须采用同一个标度．在作图时力求精确，虚、实线要分清，力是矢量，求解中不要忘记它的方向．
解析：取1.00cm的线段表示10N的力，用O点表示物体，作出互成角的两个力F1、F2的图示如图3－17所示．过F1的尾端作一条平行于F2的虚线，过F2的尾端作一条与F1平行的虚线，并使两虚线相交于F点，F1、F2与两条辅助线形成一个平行四边形．作线段OF（实线），并在F端画上箭头，表示合力的方向，用刻度尺量出OF的长度为1.98cm，则合力的大小为：
F＝1.98/1.00×10N＝19.8N
用量角器测出合力F与F1的夹角为＝．
【例2】大小不变的两个共点力F1与F2，其合力为F，则（ ）
A．合力的大小一定大于任一分力
B．合力的大小既可等于F1，也可等于F2
C．合力有可能小于任一分力
D．合力F的大小随F1、F2之间夹角增大而减小
思路：两分力与合力的大小之间的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系是一个易错点．本题分析应采用定性或半定量化分析问题的方法，同时利用几个值参与讨论，从而对一些似是而非的概念的联系与区别可以作出最直接的肯定或否定．这类问题也可用图解法，取几个特殊值分别作合成图示，从图中直观地进行比较分析也是常用的方法．
解析：本题要求判断在任意夹角下合力与分力的关系，不需要求解详细的数值，因此不必画出各种夹角下很多个平行四边形来加以判断，可取一些特殊值来分析．当F1与F2的夹角为时，合力最大，F1＋F2，当F1与F2的夹角为时，合力最小：｜F1－F2｜，因此F1与F2的合力的大小变化范围为｜F1－F2｜≤F≤｜F1＋F2｜．若取F1＝2N，F2＝3N，则1N≤F≤5N，故应排除A选项，同时确定C选项正确．由上面F1、F2的合力范围为1N≤F≤5N，当夹角取某一值时可使＝2N＝F1；取另一夹角值时可使＝3N，故B选项正确．正确答案为BCD．
【例3】吊着重物的起重机的悬臂ON和缆绳OM构成一个三角形，OM与水平悬臂ON间的夹角＝（图3－18a），货物的重力G＝500N，吊着货物的竖直悬绳对O点有一个竖直向下的拉力F，货物静止时拉力大小等于货物的重力，即F＝G．试用作图法求出拉力F的两个分力的大小和方向．
( http: / / www.21cnjy.com )
图3—18
思路：本题可以根据力的效果将重力分解来解答．
解析：拉力F作用在O点会 ( http: / / www.21cnjy.com )产生怎样的效果呢？设想在M端和N端分别连接小弹簧，我们会看到M端的弹簧受到拉伸，而N端的弹簧受到压缩，可见，拉力F产生两个效果：一是使缆绳受到拉伸而张紧；二是使悬臂受到压缩．因此拉力可分解为这样两个力；沿着MO拉缆绳的分力F1，沿着ON方向压悬臂的力F2（如图3－18b），作出拉力的图示，以它为对角线，作出力的平行四边形，测得两个分力的大小为：F1＝100N，F2≈870N，方向如图3－18b所示．
点评：有的同学会错误地认为：F的分力F ( http: / / www.21cnjy.com )1和F2就是O点实际受的力．在分析物体受力时，要根据力是物体对物体的作用来考虑物体实际受到的力，分力不是单独存在的实际力．
【例4】质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动（如图3－19）．已知木块受到的动摩擦因数为，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪一个（ ）
A．mg B．（mg＋Fsin）
C．（mg－Fsin） D．Fcos
思路：分析木块受到四个力 ( http: / / www.21cnjy.com )的作用，在物体受到四个或四个以上的力的问题时可以采用正交分解法来解答，即先选定直角坐标系，然后分别将各个力投影到坐标轴上．
解析：木块匀速运动时受到四 ( http: / / www.21cnjy.com )个力的作用：重力、推力F、支持力N、摩擦力f．沿水平方向建立坐标轴，将F进行正交分解（如图3－20），这样建立坐标系只需分解F．由于木块做匀速直线运动，所以在x轴上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y轴上，向上的力等于向下的力（竖直方向上、下力平衡）．即：
Fcos＝f
N＝mg＋Fsin
又由于f＝N
所以f＝（mg＋Fsin）
故B、D答案是正确的．
有些人，比如电梯修理员，牵引专家 ( http: / / www.21cnjy.com )和赛艇运动员，常需要知道绳或金属线中的张力，可又不可能到那些绳、线的自由端去测量．一家英国公司制造出一种夹在绳子上的仪表，用一个杠杆使绳子的某中点有一个微小偏移量，如图3－21所示．仪表很容易测出垂直于绳的恢复力，推导一个能计算绳中张力的公式．如果偏移量为12mm，恢复力为300N，计算绳中张力．
解析：如图3－22所示，将力F沿着拉伸的方向分解成T1和T2，显然T1＝T2＝T，根据三角形相似的性质：F/2T＝sin；而由于角很小，所以sin约等于tan，而tan＝12/125，因此T＝F/2sin＝F/2tan＝300/2tan＝1563N．
点评：该题从生活生产实际出发， ( http: / / www.21cnjy.com )充分利用所学物理知识解决生产生活中的问题，培养学生将实际问题抽象成物理模型，并从理论上进行具体的计算，帮助学生提高解决问题的能力．力的合成与分解 同步练习
知识要点梳理 阅读课本理解和完善下列知识要点
1.合力、分力、力的合成：一个力产生的 ( http: / / www.21cnjy.com )效果如果能跟原来几个力共同产生的 这个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力．求几个力的合力叫 ．力的合成实际上就是要找一个力去代替几个已知的力，而不改变其 ．
2.共点力：几个力如果都作用在物体的 ，或者它们的 相交于同一点，这几个力叫做共点力．
3.力的平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为
作 ， 就表示合力的大小和方向，这就是力的平行四边形定则．
力这种既有大小又有方向的物理量，进行合成运算时，一般不能用代数加法求合力，而必须用平行四边形定则．
4.矢量和标量： 的物理量叫矢量， 的物理量叫标量．标量按代数求和．
5．一个力，如果它的两个分力的作用线已经给定，分解结果可能有 种（注意：两分力作用线与该力作用线不重合）
6．一个力，若它的两个分力与该力均在一条直线上，分解结果可能有 种。
7．一个力，若它的一个分力作用线已经给定（与该力不共线），另外一个分力的大小任意给定，分解结果可能有 种。
8．有一个力大小为100N，将它分解 ( http: / / www.21cnjy.com )为两个力，已知它的一个分力方向与该力方向的夹角为30°，那么，它的另一个分力的最小值是 N，与该力的夹角为 。
针对训练
1如图所示．有五个力作用于一点P，构成一个正六边形的两个邻边和三条对角线，设F3=10N，则这五个力的合力大小为（ ）
A．10（2＋）N B．20N
C．30N D．0
2．关于二个共点力的合成．下列说法正确的是 （ ）
A．合力必大于每一个力
B．合力必大于两个力的大小之和
C．合力的大小随两个力的夹角的增大而减小
D．合力可以和其中一个力相等，但小于另一个力
3．如图所示 质量为m的小球被三根相同 ( http: / / www.21cnjy.com )的轻质弹簧a、b、c拉住，c竖直向下a、b、c三者夹角都是120°，小球平衡时，a、b、c伸长的长度之比是3∶3∶1，则小球受c的拉力大小为 （ ）
A．mg B．0.5mg
C．1.5mg D．3mg
4．如图所示．物体处于平衡状态，若保持a不变，当力F与水平方向夹角β多大时F有最小值 （ ）
A．β＝0 B．β＝
C．β＝α D．β＝2α
5．如图所示一条易断的均匀细绳两端固定在天花板的A、B两点，今在细绳O处吊一砝码，如果OA＝2BO，则 （ ）
A．增加硅码时，AO绳先断
B．增加硅码时，BO绳先断
C．B端向左移，绳子易断
D．B端向右移，绳子易断
6．图所示，A、A′两点很接 ( http: / / www.21cnjy.com )近圆环的最高点．BOB′为橡皮绳，∠BOB′＝120°，且B、B′与OA对称．在点O挂重为G的物体，点O在圆心，现将B、B′两端分别移到同一圆周上的点A、A′，若要使结点O的位置不变，则物体的重量应改为
A．G B．
C． D．2G
7．长为L的轻绳，将其两端 ( http: / / www.21cnjy.com )分别固定在相距为d的两坚直墙面上的A、B两点。一小滑轮O跨过绳子下端悬挂一重力为G的重物C，平衡时如图所示，求AB绳中的张力。
( http: / / www.21cnjy.com )
8如图所示，质量为m，横截面为直角形的物快 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC，∠ABC＝α，AB边靠在竖直墙上，F是垂直于斜面BC的推力，现物块静止不动，求摩擦力的大小。
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
1．C 2．B 3．B 4．C 5．BD 6．D
7．FT＝ 8．f=mg+Fsinα
附：阅读材料
“顶”风破浪的帆船?
谁都知道，顺风扬帆，乘风破浪，风对船帆的压力 ( http: / / www.21cnjy.com )是推动帆船前进的动力。可是，如果遇上了逆风，帆船还能依靠风的力量前进吗 有没有“顶”风破浪的帆船呢 ?
回答是肯定的。?
帆船是怎样从逆风那里获得动力的呢 如图所示，先让我们一起来做一个小实验。?
将直角三角板的一边紧贴着水平桌面。左 ( http: / / www.21cnjy.com )手的两个手指放在它的两侧，使它不会倒下。伸出右手的一个手指(或用一支铅笔)在斜边上，对三角板施加一个向右下方的压力。看一看，三角板将向哪边运动 ?
你一定会惊奇地发现，三角板并没有向右边滑动，而是向左运动!这是怎么回事呢 向右下方的压力怎么成了三角板向左滑动的动力了呢 ?
如果你仔细地研究一下作用在三 ( http: / / www.21cnjy.com )角板上的压力F，就会发现，当斜边十分光滑的时候，它的作用效果和垂直于斜边向下的压力F′几乎相同。根据F′的作用效果，我们又可以将F′分解为水平向左的力F1和竖直向下的力F2。其中F1就是使三角板向左滑动的动力。当三角板受到的摩擦阻力比较小的时候，就会向左运动了。
帆船遇到逆风的时候，它的受力情况 ( http: / / www.21cnjy.com )同这个小实验中的三角板非常相似。只要操纵得当就能从逆风那里得到前进的动力，“顶”风破浪，照样能高速前进。你知道吗 加拿大运动员普林斯就是一位敢于向逆风挑战的英雄!在狂风暴雨的恶劣天气中，他硬是驾驶着心爱的轻便小帆船，“顶”狂风，破恶浪，创造出平均速度为225km/h的世界最好成绩。
在逆风中行船，关键在于随时随地都要有 ( http: / / www.21cnjy.com )效地控制好船身和巧妙地使用风帆。必须避免让风垂直地吹到帆面上。如果有一股强劲的顶头风从正前方吹来，我们就要顺势将船头和帆面拨到两个不同的方向上，避免和逆风正向接触，让它斜向吹到风帆的一侧。跟小实验中的情形相似，这时作用在帆上的风力F可以分解成垂直于帆面的分力F′和沿帆面向后的分力F″，如右图所示。显然，F″对帆船的前进几乎没有影响，而垂直于帆面的分力F′却为帆船的前进提供了动力。可以再把F′分解成沿着船的龙骨线、指向前进方向的分力F1和垂直于龙骨线的分力F2。分力F 1当然就成了前进的动力，与船的前进方向垂直、横向推船的分力F 2 被这个方向上水对船的阻力平衡掉了。就这样，人们从逆风中获得了使船前进的动力!而且，大量的试验和实践告诉我们：当风帆正好处在船的龙骨线和风向所夹角的平分线上时，船就能从逆风那里得到最大的动力。因此，“顶”风破浪的帆船，实际上并不是真的和风向在一条直线上面对面地蛮“顶”，而是偏过船头跟风的方向成一个锐角，巧妙地“顶”，从而从逆风那里得到前进的动力。
细心的同学可能已经发现了问题：为了避免正面顶风航行，船头已经偏离了原来的航向。这样下去，不就无法到达目的地了吗
其实，只要进一步观察，你就会发现，“顶 ( http: / / www.21cnjy.com )”风行驶的帆船并不是始终朝一个方向行驶的。逆风中的帆船一般总是沿着S形的航线迂回前进的。当船偏左航行一段路程后，再将船头和帆偏向右前方。这时风仍然斜吹在船帆上，照样为帆船提供向前所需的动力。这样，帆船沿着S形的路线，“顶”风波浪，顺利地到达了目的地。水手们常把这种逆风驶帆的方法形象地称作“抢风行船”。如右图所示。
如果你有机会驾驶帆船，不防根据上面 ( http: / / www.21cnjy.com )的道理，亲自试一试。不断实践，不断总结，你一定会获得更多的经验，说不定还会超过普林斯，创造出新的世界纪录呢!力的合成与分解-知识探讨
合作与讨论
1．公园滑梯的倾角比较大，而高大的桥要修很长的引桥来减小倾角，为什么？
2．公园中架设的缆车钢索，是尽量绷直好呢，还是让它稍松弛一些？如果你是工程技术人员，应怎样处理？
3．两个力气大的同学使劲拉直一根绳 ( http: / / www.21cnjy.com )子，但是一个力气弱小的女同学轻轻地在中间一拉，两个大力气的同学立刻移动了，正所谓一两拨千斤。请同学们讨论产生这种现象的原因．
思路：1．公园滑梯的 ( http: / / www.21cnjy.com )倾角比较大，目的是使人在上面滑得顺畅；而高大的桥要修很长的引桥来减小倾角，无非是使车辆容易爬坡．为什么可以达到这些目的？我们可以从力的实际作用效果的角度来考虑问题．
2．由于钢索要承担缆车的重力，究竟 ( http: / / www.21cnjy.com )是直好还是松弛些好，我们要从两种情况下钢索承担的力的大小去考虑，而钢索承担力的大小又要服从力的平行四边形定则，所以我们可以利用平行四边形定则，结合力的示意图，问题就很容易解决了．
3．讨论的思路可以参照上题，利用力的平行四边形定则，通过作图分析合力与分力大小的关系．
思路分析
本节利用上节实验探究的结 ( http: / / www.21cnjy.com )果，总结出合力和分力的关系服从力的平行四边形定则．力的合成和分解的思想是物理学中等效思想的具体应用，是一种很重要的思维方法，而平行四边形定则是合成和分解的灵魂．合成与分解互为逆过程，都遵循平行四边形定则，分解应根据力的实际作用效果来进行．
关于力的合成与分解需要突破以下几个方面的问题：
一、实际问题中合力的求法——图解法
用图解法求作用在同一点的两个互成角度的力的合力时，程序一般是：
（1）选标度；
（2）用一个点表示物体，分别作F1、F2的图示；
（3）作辅助线，形成平行四边形；
（4）作出两分力所夹的平行四边形的对角线，即合力F；
（5）用刻度尺量出该对角线的长度，计算合力的大小；
（6）量出合力F与F1的夹角，表示合力的方向．
二、合力与分力大小关系的分析
1．共点的两个力F1 ( http: / / www.21cnjy.com )、F2的合力F的大小，由力的平行四边形可知，合力F与F1、F2构成一个三角形，合力F与F1、F2分别为三角形的三边，因此合力与分力大小关系也就是三角形三边边长的关系，即合力的大小最大等于F1、F2大小之和（两分力方向相同时），最小等于两分力大小之差（两分力方向相反时），即合力可在｜F1－F2｜到（F1＋F2）间取任意值．合力可大于任何，一个分力，也可以等于或小于任何一个分力．
2．两个分力在不同的夹角条件下，有下面的特点：
（1）当＝时，F＝F1＋F2
（2）当＝时，F＝｜F1－F2｜
（3）当＝时，F＝
（4）当＝时，且F1＝F2时，F＝F1＝F2
（5）当在0～时，当增大时，F随之减小，减小时，F随之增大
三、力的分解的方法
1．按力的作用效果分解
在进行力的分解时，可 ( http: / / www.21cnjy.com )以按力的作用效果进行分解．如在光滑斜面上静止的物体，其重力产生的效果是：一是使物体有沿斜面下滑的趋势，二是使物体压紧斜面（如图a）．但不能就此认为斜面上的物体的重力都这样分解．（如图b所示）光滑小球被竖直挡板挡在斜面上静止，此时其重力产生的效果是：一是球压紧竖直挡板，二是球压紧斜面．所以进行力的分解时，要视实际情况而定，灵活解决实际问题．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
2．正交分解法
正交分解法的一般程序：
（1）确定研究对象；
（2）进行受力分析；
（3）正确选定直角坐标系；
（4）分别将各个力投影到坐标轴上．
说明：由于每个力作正交分解的过程以及最终 ( http: / / www.21cnjy.com )由合力的x轴分量和y轴分量来求合力的大小和方向的过程，都是求解直角三角形问题．可见，正交分解法在共点力运算中较为简便．
相关链接
“顶”风破浪的帆船
谁都知道，顺风扬帆，乘风破浪，风对 ( http: / / www.21cnjy.com )船帆的压力是推动帆船前进的动力．可是，如果遇上了逆风，帆船还能依靠风的力量前进吗？有没有“顶”风破浪的帆船呢？
回答是肯定的．
帆船是怎样从逆风那里获得动力的呢？如左下图所示，先让我们一起来做一个小实验．
( http: / / www.21cnjy.com )
将直角三角板的一边紧贴着光滑的水平桌面． ( http: / / www.21cnjy.com )左手的两个手指放在它的两侧，使它不会倒下．伸出右手的一个手指（或用一枝铅笔）在斜边上，对三角板施加一个向右下方的压力．看一看，三角板将向哪边运动？
你一定会惊奇地发现，三角板并没有向右边滑动，而是向左运动！这是怎么回事呢？向右下方的压力怎么成了三角板向左滑动的动力了呢？
如果你仔细地研究一下作用在三角板上的压力F，就会发现，当斜边十分光滑的时候，它的作用效果和垂直于斜边向下的压力几乎相同．根据的作用效果，我们又可以将分解为水平向左的力F1和竖直向下的力F2．其中F1就是使三角板向左滑动的动力．当三角板受到的摩擦阻力比较小的时候，就会向左运动了．
帆船遇到逆风的时候，它 ( http: / / www.21cnjy.com )的受力情况同这个小实验中的三角板非常相似．只要操纵得当就能从逆风那里得到前进的动力，“顶”风破浪，照样能高速前进．你知道吗？加拿大运动员普林斯就是一位敢于向逆风挑战的英雄！在狂风暴雨的恶劣天气中，他硬是驾驶着心爱的轻便小帆船，“顶”狂风，破恶浪，创造出平均速度为225km/h的世界最好成绩．
在逆风中行船，关键在于随时随地都要有效地控制好船身和巧妙地作用风帆．必须避免让风垂直地吹到帆面上．如果有一股强劲的顶头风从正前方吹来，我们就要顺势将船头和帆面拨到两个不同的方向上，避免和逆风正向接触，让它斜向吹到风帆的一侧．跟小实验中的情形相似，这时作用在帆上的风力F可以分解成帆面的分力和沿帆面向后的分力，如图所示．显然，对帆船的前进几乎没有影响，而垂直于帆面的分力却为帆船的前进提供了动力．可以再把分解为沿着船的龙骨线、指向前进方向的分力F1和垂直于龙骨线的分力F2．分力F1当然就成了前进的动力，与船的前进方向垂直、横向推船的分力F2被这个方向上水对船的阻力平衡掉了．就这样，人们从逆风中获得了使船前进的动力！而且，大量的试验和实践告诉我们：当风帆正好处在船的龙骨线和风向所夹角的平分线上时，船就能从逆风那里得到最大的动力．因此，“顶”风破浪的帆船，实际上并不是真的和风向在一条直线上面对面地蛮“顶”，而是偏过船头跟风的方向成一个锐角，巧妙地“顶”，从而从逆风那里得到前进的动力．
细心的同学可能已经发现了问题：为了避免正面顶风航行，船头已经偏离了原来的航向．这样下去，不就无法到达目的地了吗？
其实，只要进一步了解， ( http: / / www.21cnjy.com )你就会发现，“顶”风行驶的帆船并不是始终朝一个方向行驶的．逆风中的帆船一般总是沿着S形的航线迂回前进的．当船偏左航行一段路程后，再将船头和帆偏向右前方．这时风仍然斜吹在船帆上，照样为帆船提供向前所需的动力．这样，帆船沿着S形的路线，“顶”风破浪，顺利地到达了目的地．水手们常把这种逆风驶帆的方法形象地称作“抢风行动”．如图所示．
如果你有机会驾驶帆船，不妨根据上面的道理 ( http: / / www.21cnjy.com )，亲自试一试．不断实践，不断总结，你一定会获得更多的经验，说不定还会超过普林斯，创造出新的世界纪录呢！
知识总结
1．力的合成和分解的思想是物理学中等效思想的具体应用，是一种很重要的思维方法，而平行四边形定则是合成和分解的灵魂．
2．合成与分解互为逆过程，都遵循平行四边形定则，分解应根据力的实际作用效果或正交分解法来进行．
3．在进行力的分解时，分力唯一确定的三 ( http: / / www.21cnjy.com )种情况，一是已知合力的大小和方向及其中一个分力的大小和方向；二是已知合力的大小和方向及两个分力的方向，三是已知合力的大小与两个分力的大小．力的合成与分解 练习与解析
1．关于合力与分力，下列说法正确的是（ ）
A．合力的大小一定大于每个分力的大小
B．合力的大小至少大于其中的一个分力的大小
C．合力的大小可以比两个分力都大，也可以比两个分力都小
D．合力不可能与其中的一个分力相等
答案：C
解析：根据合力和分力的关系，合力的大小可能比最大的分力大，也可能比最小的分力小．
2．如图3－23所示，两个共点力F1、F2的大小一定，夹角＝角从逐渐增大到的过程中，合力F的大小变化情况为（ ）
A．从最小逐渐增加到最大
B．从最大逐渐减小到零
C．从最大逐渐减小到最小
D．先增大后减小
答案：C
解析：根据合力与两分力夹角的变化关系，正确的答案是C．
3．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为时合力大小为20N；则当它们间的夹角为时，合力的大小为（ ）
A．40N B．10N
C．20N D．10N
答案：B
解析：根据平行四边形定则，两个分力的大小为10N，当两分力的夹角为时，分力和表示合力的对角线构成一个等边三角形，故此时合力为10N．
4．两个共点力的大小分别为F1＝15N，F2＝9N，它们的合力不可能等于（ ）
A．9N B．25N C．6N D．21N
答案：B
解析：两力进行合成时，合力最大为两分力之和，最小为两分力之差，故选B．
5．弹簧秤两端各拴一端，用大小都等于F、方向相反的两个力分别拉住两绳．则弹簧秤的读数F1和弹簧秤所受的合力F2分别为（ ）
A．F1＝2F，F2＝2F B．F1＝0，F2＝0
C．F1＝2F，F2＝0 D．F1＝F，F2＝0
答案：D
解析：弹簧的读数显示的是拉力的大小，而弹簧本身受到两根绳的拉力的作用，这一对力是平衡力，所以弹簧的合力为0，故正确答案是D．
6．如图3－24所示，力F分解为F1、F2两个分力，则下列说法正确的是（ ）
A．F1、F2的合力就是F
B．由F求F1或F2叫做力的分解
C．由F1、F2求F叫做力的合成
D．力的合成和分解都遵守平行四边形定则
答案：ABCD
7．如图3－25所示，细绳MO与NO所能承受的最大拉力相同，长度MO＞NO，则在不断增加重物G重力的过程中（绳OC不会断）（ ）
A．ON绳先被拉断
B．OM绳先被拉断
C．ON绳和OM绳同时被拉断
D．因无具体数据，故无法判断哪条绳先被拉断
答案：A
解析：如右图将重力G沿OM和ON方向分解，由于MO＞NO，所以绳ON承担的力较大，在不断增加重物G的重力的过程中绳ON先断．所以选A．
8．如图3－26所示，一个半径为r，重为G的光滑均匀球，用长度为r的细绳挂在竖直光滑的墙壁上，绳子和墙壁的夹角是，则绳子的拉力F和球对墙壁压力N的大小分别是（ ）
A．G，G/2 B．2G，G
C．G，G/2 D．2G/3，G/3
答案：D
解析：如右图，根据平行四边形定则，将重力沿绳子方向和墙壁对球的弹力方向分解得到G1和G2，显然N＝G1＝Gtan＝G/3
F＝G2＝G/cos＝2/3．
9．已知力F的大小和方向，在以下三种条件下（如图3－27），通过作图求两个分力F1和F2．
图3—27
（1）图甲，已知两分力的方向，求两分力的大小．
（2）图乙，已知一个分力F1的大小和方向，求另一个分力F2的大小和方向．
（3）图丙，已知F1和F1的大小，求F1和F2的方向．
答案：略
解析：根据力的平行四边形定则，答案如下图：
10．两个力的合力的大小随这两个力夹角变化的情况如图3－28所示，由图中提供的数据求出这两个力的大小．
答案：F1＝4N，F2＝3N或F1＝3N，F2＝4N
解析：从图可知两力合力夹角为时为5N，夹角为时，最小值为1N，即
＝5；|Fl—F2|＝1，
解这个方程组得到F1＝4N，F2＝3N或F1＝3N1，F2＝4N．
此题考查学生用数学知识解决物理问题的能力．力的合成与分解 同步练习
1、两个共点力F1=6N,F2=10N，则其合力大小一定不能等于（ ）
A、10N B、6N C、8N D、3N
2、三个力的大小分别为2N、6N 、10N。这三个力的合力可能是（ ）
A、3N B、8N C、11N D、19N
3、如图，F1=3N，F2=4N，F3=12N，则此三个力的合力等于
4、下列说法中正确的是（ ）
一个向东的力可以分解出一个向南和一个向北的分力
无论如何，分解一个力的结果是唯一的
一个向东的力不可以分解出两个同方向的分力
一个向东的力不可以分解出两个向西的分力
5、两个互成120O的共点力，大小均为F，则它们的合力大小为（ ）
A、F B、2F C、F D、3/2F
6、用表示两个共点力的线段为邻边作 ，则这两个邻边所夹的对角线可表示
。这个结论叫做力的平行四边形定则。
7、共面的5个共点力的合成恰好为0，若将其中4N的力在力的作用的面内转过90O，则这5个合力的大小为（ ）
A、4N B、8N C、4N D、2N
8、以下说法正确的是（ ）
一个2N的力能够分解为6N和3N的两个共点力
一个2N的力能够分解为6N和5N的两个共点力
一个10N的力能够分解为5N和4N的两个共点力
一个10N的力能够分解为两个大小皆为10N的共点力
9、有两个大小相等的、互成120O的力的合力大小为10N，若不改变大小，当它们变成互成90O时，合力大小变为 N。
10、两个共点力的大小均等于F，如果它们的合力大小也等于F，则这两个共点力之间的夹角是 。
11、两个共点力，当它们同方向时合力的大小为7N，当它们反方向时合力的大小为1N，问它们互相垂直时的合力大小和方向。
12、物体在光滑的水平地面上受两个力作用而加速运动，如图。其中F1=6N，F2=-10，则使物体前进的动力多大？
答案：
1、D 2、ABC 3、略4、D 5、A
6、略7、BD
8、略 9、10 10、120o 11、略 12、略
53O
37O
F3
F2
F1
F1
F2
30O
45O力的合成与分解 同步练习
1．两个共点力的大小分别为3N和4N，它们合力的大小不可能是 [ ]
A．1N B．2N C．7N D．9N
2．两个共点力的合力为F，如果它们之间的夹角θ固定不变，而其中一个力增大，则 [ ]
A．合力F一定增大 B．合力F的大小可能不变
C．合力F可能增大，也可能减小 D．当0°＜θ＜90°时，合力F一定减小
3．将力F分解为两个力，已知其中一个分力F1的方向与F的夹角为θ（图1-21），则 [ ]
A．只要知道另一个分力的方向，就可得到确定的两个分力
B．只耍知道F1的大小，就可得到确定的两个分力
C．如果知道另一个分力的大小，一定可以得到两个确定的分力
D．另一个分力的最小值是Fsinθ
5．用两根细绳AO、BO系住一个重G=100N的物体，当两绳与竖直方向间夹角
α=30°、β=60°时，物体对地面恰无压力（图1-22），则AO、BO绳中的
拉力分别为F1=____，F2=____．
6．一个重G=10N的物体放在倾角α=30°的斜面上时恰能匀速下滑．现将斜面倾角变为
β=60°，则物体受到的合力为____．
7．用长度分别为a、b的两根轻质杆在墙上组成一个斜三角支架，如图1-23所
示，A、B两固定点间相距为c，当在C点悬挂一个重力G的物体时，AC杆受
到的力F1=____，方向____；BC杆受到的力F2=____，方向____．
8．某压榨机的结构如图1-24所示．其中B为固定绞链，C为滑块，通过滑
轮可沿光滑壁移动，D为被压榨的物体．当在铰链A处作用一垂直于壁的
压力F时，物体D所受的压力等于____．
9．设计一个测定细棉纱线能承受最大张力的实验．要求说明实验方法、应测定的物理量，
列出最大张力表达式．
参考答案
1．D 2．B、C 3．A、B、D．
4．1N 或3N，3N或1N．
5．86.6N，50N．
6．5.77N．
8．5F．
9．略．力的合成与分解 同步练习
1如图所示．有五个力作用于一点P，构成一个正六边形的两个邻边和三条对角线，设F3=10N，则这五个力的合力大小为（ ）
A．10（2＋）N B．20N
C．30N D．0
2．关于二个共点力的合成．下列说法正确的是 （ ）
A．合力必大于每一个力
B．合力必大于两个力的大小之和
C．合力的大小随两个力的夹角的增大而减小
D．合力可以和其中一个力相等，但小于另一个力
3．如图所示 质量为m的小球被三根相同的 ( http: / / www.21cnjy.com )轻质弹簧a、b、c拉住，c竖直向下a、b、c三者夹角都是120°，小球平衡时，a、b、c伸长的长度之比是3∶3∶1，则小球受c的拉力大小为 （ ）
A．mg B．0.5mg
C．1.5mg D．3mg
4．如图所示．物体处于平衡状态，若保持a不变，当力F与水平方向夹角β多大时F有最小值 （ ）
A．β＝0 B．β＝
C．β＝α D．β＝2α
5．如图所示一条易断的均匀细绳两端固定在天花板的A、B两点，今在细绳O处吊一砝码，如果OA＝2BO，则 （ ）
A．增加硅码时，AO绳先断
B．增加硅码时，BO绳先断
C．B端向左移，绳子易断
D．B端向右移，绳子易断
6．图所示，A、A′两点很接近圆环的最高点 ( http: / / www.21cnjy.com )．BOB′为橡皮绳，∠BOB′＝120°，且B、B′与OA对称．在点O挂重为G的物体，点O在圆心，现将B、B′两端分别移到同一圆周上的点A、A′，若要使结点O的位置不变，则物体的重量应改为
A．G B．
C． D．2G
7．如图所示，在“共点力合成”实验中，橡皮 ( http: / / www.21cnjy.com )条一端固定于P点，另一端连接两个弹簧秤，分别用F1与F2拉两个弹簧秤，将这端的结点拉至O点。现让F2大小不变，方向沿顺时针方向转动某一角度，要使结点仍位于O点，则F1的大小及图中β角相应作如下哪些变化才有可能 答：_______。
A．增大F1的同时增大β角
B．增大F1而保持β角不变
C．增大F1的同时减小β角
D．减小F1的同时增大β角
8．如图所示．质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β为多大时，AO所受压力最小？
9．图所示，两根相同的橡皮绳OA、OB，开始夹角为0 ，在O点处打结吊一重G＝50 N的物体后，结点O刚好位于圆心。
（1）将A、B分别沿圆周向两边移至A′、B′，使∠AOA′＝∠BOB′＝60°。欲使结点仍在圆心处，则此时结点处应挂多重的物体
（2）若将橡皮绳换成无明显 ( http: / / www.21cnjy.com )弹性的轻绳，结点仍在圆心O，在结点处仍挂重G＝50 N的重物，并保持左侧轻绳在OA＇不动，缓慢将右侧轻绳从OB＇沿圆周移动，当右侧轻绳移动到什么位置时右侧轻绳中的拉力最小？最小值是多少？
10．A的质量是m，A、B始终相对静止 ( http: / / www.21cnjy.com )，共同沿水平面向右运动。当a1=0时和a2=0.75g时，B对A的作用力FB各多大？
参考答案
1．C 2．B 3．B 4．C 5．BD 6．D
7．ABC （结点O的位置不变，则 ( http: / / www.21cnjy.com )F1和F2的合力不变化，作出F1和F2合成的矢量三角形，如图所示，可知增大F1的同时，β角可以增大，可以不变，也可以减小。故ABC都是正确的。）
8．解析：以球为研究对象，球所受重 ( http: / / www.21cnjy.com )力产生的效果有两个：对斜面产生的压力N1、对挡板产生的压力 N2，根据重力产生的效果将重力分解，如图所示，
当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，N1大 ( http: / / www.21cnjy.com )小改变但方向不变，始终与斜面垂直，N2的大小和方向均改变，如图中虚线所示，由图可看出挡板AO与斜面垂直时β=90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力N2min =mgsinα。
9．（1）设OA、OB并排吊起重物时，橡皮条产生的弹力均为F，则它们的合力为2F，与G平衡，所以
2F＝G，F＝＝25 N。
当A′O、B′O夹角为120°时，橡皮条伸长不变，故F仍为25 N，它们互成120°角，合力的大小等于F，即应挂G＇＝25 N的重物即可。
（2）以结点O为对象，受三 ( http: / / www.21cnjy.com )个力作用，重物对结点向下的拉力G，大小和方向都不变；左侧轻绳OA＇的拉力FOA，其方向保持不变；右侧轻绳OB＇的拉力拉力FOB。缓慢移动时三力平衡。由矢量三角形可知，当右侧轻绳移动到与左侧轻绳垂直时，右侧轻绳中的拉力最小，此时右侧轻绳与水平方向的夹角为θ＝60 。由矢量直角三角形可知，拉力的最小值为：
Fmin＝Gsin60 ＝。
10．解析：一定要审清题：B对A的作用力FB是B对A的支持力和摩擦力的合力。而A所受重力G=mg和FB的合力是F=ma。
当a1=0时，G与 FB二力平衡，所以FB大小为mg，方向竖直向上。
当a2=0.75g时，用 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形定则作图：先画出重力（包括大小和方向），再画出A所受合力F的大小和方向，再根据平行四边形定则画出FB。由已知可得FB的大小FB=1.25mg，方向与竖直方向成37°角斜向右上方。
P
A
A′
B
B′
O
A
B
v
a
G
FOA
FOB
Fmin
FB
G
F
α
