牛顿第二定律的应用-练习与解析
1．一个静止在水平面上的物体，质量是2kg，在水平方向受到5.0N的拉力，物体运动的加速度是1.5m/s2．（g＝10m/s2）
（1）求物体和水平面间的动摩擦因数；
（2）如果把水平拉力改为斜向下且与水平面成角，其他条件不变，结果又如何？
答案：（1）0.1（2）0.06
解析：本题属于类型二．已知物体的运动 ( http: / / www.21cnjy.com )情况，求物体受到的力．本题是例1的变式．分别在水平和竖直方向列出牛顿第二定律和平衡方程即可求解．千万不要一开始就乱套公式．
（1）如图（1）所示．
F－N＝ma N＝mg
＝＝0.1．
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（2）如图（2）所示，
Fcos－N＝ma N＝mg＋Fsin
＝＝0.06．
2．质量为m＝2kg的物体以v0＝5m/s的初速度冲上倾角为＝的斜面，斜面的动摩擦因数为＝0.2，求物体向上运动的加速度．
解析：作好物体的受力分析图，如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示．学生常见的错误是：认为还有一个沿斜面向上的力．沿斜面和垂直斜面分解力，沿斜面方向列出牛顿第二定律方程，垂直斜面方向合力为零．
mgsin＋N＝ma N＝mgcos
a＝g（sin＋cos）＝6.6m/s2
方向沿斜面向下．牛顿第二定律的应用-例题思考
一、牛顿第二定律是解决力学问题的核心工具之一．从宏观上，要能把握区分两类问题．
类型一、已知物体的受力情况，要求确定物体的运动状态．
处理方法：先根据牛顿第二定律求出物体 ( http: / / www.21cnjy.com )的加速度，再根据运动学规律求出描述运动状态的物理量（如位移、速度、时间等），从而确定运动状态．同时要注意利用物体的初始条件（初位置和初速度）．
类型二、已知物体的运动状态，要求推断物体的受力情况（确定力的大小和方向）．
处理方法：先由运动学规律求出加速度，再根据牛顿第二定律确定力的大小、方向．
求解这两类问题的思路，可用下面的框图来表示．
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二、用牛顿第二定律解题的一般步骤．
1．选择研究对象．
2．分析研究对象的受力情况（画受力图）．
3．建立直角坐标系．一般尽量使一条坐标轴与加速度方向重合．对只有两个力的简单情况，可直接用平行四边形定则．
4．分解研究对象所受的力．
5．根据牛顿第二定律列方程（分别沿两坐标轴方向列两个方程）．
6．联立方程求解．
7．分析解方程所得结果的合理性，确定最后结果．
【例1】一个静止在水平面上的物体，质量是2kg，在水平方向受到5.0N的拉力，物体跟水平面的滑动摩擦力是2.0N．
（1）求物体在4.0s末的速度；
（2）若在4s末撤去拉力，求物体继续滑行的时间．
思路：该题属类型一：已知物体的受力情况，要求物体运动的速度和时间．
前4.0s内和4.0s后物体所受力的大 ( http: / / www.21cnjy.com )小和方向都已明确知道．前4.0s内，物体在拉力和摩擦力作用下由静止做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可求出物体的加速度，再依据初始条件（v0＝0）和运动学公式就可解出这一段运动的末速度．该末速度就是4.0s后物体运动的初速度，4.0s后物体在摩擦力的作用下做匀减速直线运动，用同样的思路可解答后一段运动的滑行时间．
该题中，因所受的力互相垂直，不需要再分解．
解：确定研究对象，分析过程（画过程图），进行受力分析（画受力图）．
前4.0s：根据牛顿第二定律列方程：
水平方向：F－f＝ma竖直方向：N－G＝0
a＝＝m/s2＝1.5m/s2 v0＝0 vt＝at＝1.5×4.0m/s＝6.0m/s
4.0s后水平方向：－f＝m竖直方向：N－G＝0，
＝－＝－＝m/s2＝－2.5m/s2
＝vt＝1.5m/s
由vt＝v0＋ ＝＝s＝2.4s．
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图4—6
思考：如没有第一问而只有第二问，又如何解？
实际上第一问的结果是第二问的初始条件，所以解题的过程不变．
这一类问题是运用已知的力学规律，作出明 ( http: / / www.21cnjy.com )确的预见．它是物理学和技术上进行正确分析和设计的基础，如发射人造地球卫星进入预定轨道等都属这一类型．
【例2】一辆质量为1.0×103kg的小汽车以10m/s的速度行驶，现在想使它在12.5m的距离内匀减速地停下来，求所需的阻力．
思路：该题属类型二：根据运动情况求解汽车所受的阻力．
研究对象：汽车m＝1.0×103kg；
运动情况：匀减速运动至停止vt＝0，s＝12.5m；
初始条件：v0＝10m/s，求阻力f．
根据运动学公式可求出加速度，再根据牛顿第二定律求出汽车受的合外力，最后由受力分析可知合外力即阻力．
解：画图分析
由运动学公式vt2＝v02＋2as得
a＝＝m/s2＝－4m/s2
据牛顿第二定律列方程：
竖直方向 N－G＝0
水平方向 f＝ma＝1.0×103×（－4）N＝－4.0×103N
f为负值表示力的方向跟速度方向相反．
这一类题目除了包括求出 ( http: / / www.21cnjy.com )人们熟知的力的大小和方向，还包括探索性运用，即根据观测到的运动去认识人们还不知道的物体间的相互作用的特点．牛顿发现万有引力定律，卢瑟福发现原子内部有个原子核都属于这类探索．
课堂练习1：一物体正以10m/s的速度沿水平面运动，撤去拉力后匀减速滑行12.5m，求物体与水平面间的动摩擦因数．
解：由vt2－v02＝2as得 a＝＝m/s2＝－4m/s2
据牛顿第二定律 ＝ma
有：－mg＝ma
消去m得：＝＝＝0.4．
课堂练习2：一木箱质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为，现用斜向右下方与水平方向成角的力F推木箱，求经过ts时木箱的速度．
解：画图分析：木箱受4个力，
将力F沿运动方向和垂直运动方向分解：
水平分力为Fcos，竖直分力为Fsin
据牛顿第二定律列方程
竖直方向N－Fsin－G＝0 ①
水平方向Fcos－f＝ma ②
f＝N ③
由①式得N＝Fsin＋mg 代入③式有：f＝（Fsin＋mg）
代入②式有Fcos－（Fsin＋mg）＝ma得
a＝．
可见解题方法与受水平力作用时相同．牛顿运动第二定律的应用 同步练习
A组
1．如图所示，质量为M的框 ( http: / / www.21cnjy.com )架放在水平地面上，一轻弹簧上端固定一个质量为m的小球，小球上下振动时，框架始终没有跳起。当框架对地面压力为零瞬间，小球的加速度大小为
A．g B． g
C．0 D． g
2．如图所示，A、B两小球分别连在弹簧两端 ( http: / / www.21cnjy.com )，B端用细线固定在倾角为30°的光滑斜面上，若不计弹簧质量，在线被剪断瞬间，A、B两球的加速度分别为
A．都等于 B．和0
C．和0 D．0和
3．如图，质量为m的物体A放置在质量为M的物 ( http: / / www.21cnjy.com )体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐振动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于
A．0
B．kx
C．（）kx
D．（）kx
4．质量为 m的物块B与地面的动摩擦因数为μ ( http: / / www.21cnjy.com )，A的质量为2 m与地面间的摩擦不计。在已知水平推力F的作用下，A、B做匀加速直线运动，A对B的作用力为____________。
5．某人在地面上，最多可举起 ( http: / / www.21cnjy.com )m=60kg的物体，而在一个加速下降的电梯里最多可举起m1=80kg的物体，则此电梯的加速度为 m/s2，若电梯以此加速度上升，此人在电梯里，最多能举起质量为m2= kg的物体（g=10m/s2）。
6．A的质量m1=4 m，B的质 ( http: / / www.21cnjy.com )量m2=m，斜面固定在水平地面上。开始时将B按在地面上不动，然后放手，让A沿斜面下滑而B上升。A与斜面无摩擦，如图，设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了。求B上升的最大高度H。
7．质量为200 kg的物体，置于升降机内 ( http: / / www.21cnjy.com )的台秤上，从静止开始上升。运动过程中台秤的示数F与时间t的关系如图所示，求升降机在7s钟内上升的高度（取g＝10 m/s2）
8．空间探测器从某一星球表面竖直升空。 ( http: / / www.21cnjy.com )已知探测器质量为1500Kg，发动机推动力为恒力。探测器升空后发动机因故障突然关闭，图6是探测器从升空到落回星球表面的速度随时间变化的图线，则由图象可判断该探测器在星球表面达到的最大高度Hm为多少m？发动机的推动力F为多少N？
B组
1．如图所示，一个质量为M的人站在 ( http: / / www.21cnjy.com )台秤上，用跨过定滑轮的绳子，将质量为m的物体自高处放下，当物体以a加速下降（a＜g)时，台秤的读数为 （ ）
A．（M－m）g＋ma
B．（M＋m）g－ma
C．（M－m）g
D．（M－m）g－ma
2．一个静止于光滑水平面上的物体受到水平力F1的作用，如果要使物体产生与F1成θ角方向的加速度a，如图所示，则应 （ ）
A．沿a方向施加一个作用力F2
B．加在物体上的最大作用力F2=
C．加在物体上的最小作用力F2=F1sinθ
D．在物体上施加一个与F1大小相等，与a方向也成θ角的力F2，且F2方向在a的另一侧
3．如图所示，ab、bd、cd是 ( http: / / www.21cnjy.com )竖直平面内三根固定的细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中末画出）。三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d点所用的时间，t1、t2、t3之间的关系为___________。
4．一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧 ( http: / / www.21cnjy.com )，上端固定，下端系一质量为m的物体。有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度，如图所示。现让木板由静止开始以加速度a匀加速向下移动，且a＜g。经过t=___________多长时间木板开始与物体分离。
5．如图所示，A、B两木块的质量分别为mA、mB，在水平推力F作用下沿光滑水平面匀加速向右运动，求A、B间的弹力FN。
6．如图，倾角为α的斜面与水平面间 ( http: / / www.21cnjy.com )、斜面与质量为m的木块间的动摩擦因数均为μ，木块由静止开始沿斜面加速下滑时斜面始终保持静止。求水平面给斜面的摩擦力大小和方向。
7．如图所示，mA=1kg，mB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )kg，A、B间静摩擦力的最大值是5N，水平面光滑。用水平力F拉B，当拉力大小分别是F=10N和F=20N时，A、B的加速度各多大？
8．如图所示，质量为M的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的，即a=g，则小球在下滑的过程中，木箱对地面的压力为多少？
9．质量为60kg的人站在升降机中的台 ( http: / / www.21cnjy.com )秤上，升降机以2m/s的速度竖直下降，此人突然发现台秤的示数变为630N，并持续2s，求升降机在这两秒的时间内下降了多少米？（g=10m/s）
10．一个物体从长s=9 ( http: / / www.21cnjy.com )m，倾角为α=37 的斜面顶端由静止开始滑下，已知物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，则它滑到斜面底端所用的时间t和末速度v分别是多少？
11．如图所示，固定在水平面上的斜 ( http: / / www.21cnjy.com )面其倾角θ=37 ，长方体木块A的MN面上钉着一颗小钉子，质量m=1.5kg的小球B通过一细线与小钉子相连接，细线与斜面垂直。木块与斜面间的动摩擦因数μ=0.50。现将木块由静止释放，木块将沿斜面下滑。求在木块下滑的过程中小球对木块MN面的压力。（取g=10m/s2，sin37 =0.6，cos37 =0.8）
参考答案
A组
1．D 2．D 3．D 4．N=（F+2μmg）
5．2.5 48
解析 某人在地面上，最 ( http: / / www.21cnjy.com )多可举起60kg的物体，说明人能产生最大的向上举的力为Fm=mg，这个力保持不变。在一个加速下降的电梯里最多可举起m1=80kg的物体，设此电梯的加速度为a，根据牛顿第二定有：
m1g－Fm=m1a
解得：a=2.5m/s2。
若电梯以此加速度上升，根据牛顿第二定有：
Fm－m2g=m2a
解得：m2=48kg。
6．H=1.2 s
7．解析：在０～2s这段时间内台秤示数为3000Ｎ，即超重1000N，这时向上的加速度；在2～5s这段时间内台秤的示数为2000 N，等于物体的重力，说明物体做匀速运动；在5～7s这段时间内，台秤的示数为F3＝1000 N，比物重小1000N，即失重，这时物体做匀减速上升运动，向下的加速度。画出这三段时间内的v - t图线如图所示，v - t图线所围成的面积值即表示上升的高度，由图知上升高度为：h＝50 m.
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8．Hm=480m F= 11250 N
B组
1．A
【解析】对人和物体分别进行受力分析后，根据牛顿第二定律写出方程：
对人有：FT＋FN=Mg,
对m有：mg－FT=ma
由此解得FN=(M－m)g＋ma
利用超重、失重的概念解答是很简捷的，如果物体不动那么绳对物体的拉力=mg,此时台秤读数=Mg－=(M－m)g。当物体以a加速下降时，由于失重，此时绳对物体的拉力FT=m(g－a)，所以，此时台秤读数为FN=Mg－FT=(M－m)g＋ma。
2．CD
解析 根据牛顿第二定律，应使物体 ( http: / / www.21cnjy.com )所受的合力方向沿加速度a的方向。沿a方向施加一个作用力F2，F1与 F2的合力方向不能沿a的方向，所以A错。加在物体上的最大作用力F2无法确定，所以B错。加在物体上的最小作用力F2=F1sinθ，C正确。在物体上施加一个与F1大小相等，与a方向也成θ角的力F2，且F2方向在a的另一侧时可使合力方向与加速度方向一致，D正确。
3．t1=t2=t3
解析 设弦bd与直径弦ad的夹角为α，由几何知识可知：
bd=adcosα ①
环在bd弦上下滑的加速度为
a=g cosα ②
由s=可得
adcosα= ③
由③式解得：
t= ④
由以上分析可得，时间t与弦的夹角无关，故t1=t2=t3。
4．
解析 设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力kx和平板的支持力FN作用。据牛顿第二定律有：
mg－kx－FN=ma
得FN=mg－kx－ma
当FN=0时，物体与平板分离，所以此时
根据运动学关系有：
所以，。
5．解析：这里有a、FN两个未知数，需要要建立两个方程，要取两次研究对象。比较后可知分别以B、（A+B）为对象较为简单（它们在水平方向上都只受到一个力作用）。可得
点评：这个结论还可以推广到水平面 ( http: / / www.21cnjy.com )粗糙时（A、B与水平面间μ相同）；也可以推广到沿斜面方向推A、B向上加速的问题，有趣的是，答案是完全一样的。
6．解：以斜面和木块整体为研究对象，水平方向仅受静摩擦力作用，而整体中只有木块的加速度有水平方向的分量。可以先求出木块的加速度，再在水平方向对质点组用牛顿第二定律，很容易得到：
如果给出斜面的质量M，本题还可以求出这时水平面对斜面的支持力大小为：
FN=Mg+mg（cosα+μsinα）sinα，这个值小于静止时水平面对斜面的支持力。
7．解析：先确定临界值，即刚好使A ( http: / / www.21cnjy.com )、B发生相对滑动的F值。当A、B间的静摩擦力达到5N时，既可以认为它们仍然保持相对静止，有共同的加速度，又可以认为它们间已经发生了相对滑动，A在滑动摩擦力作用下加速运动。这时以A为对象得到a =5m/s2；再以A、B系统为对象得到 F =（mA+mB）a =15N
（1）当F=10N<15N时， A、B一定仍相对静止，所以
（2）当F=20N>15N时，A、B间一定发生了相对滑动，用质点组牛顿第二定律列方程：，而a A =5m/s2，于是可以得到a B =7.5m/s2
8．解法一：（隔离法）
木箱与小球没有共同加速度，所以须用隔离法.
取小球m为研究对象，受重力mg、摩擦力Ff，如图，据牛顿第二定律得：
mg-Ff=ma ①
取木箱M为研究对象，受重力Mg、地面支持力FN及小球给予的摩擦力Ff′如图.
据物体平衡条件得：
FN -Ff′-Mg=0 ②
且Ff=Ff′ ③
由①②③式得FN=g
由牛顿第三定律知，木箱对地面的压力大小为
FN′=FN =g.
解法二：（整体法）
对于“一动一静”连接体，也可选取整体为研究对象，依牛顿第二定律列式：
（mg+Mg）-FN = ma+M×0
故木箱所受支持力：FN=g，由牛顿第三定律知：
木箱对地面压力FN′=FN=g.
9．解析：升降机有向上的加速度a
则 N－mg=ma
其中 N=630N mg=60kg
解得 a=0.5m/s2
升降机在2秒时间内下降h
h=v0t－
解得 h=3m
10．解：物体从斜面顶端由静止开始滑下，受重力mg、支持力FN和滑动摩擦力F1三个力作用。沿斜面方向，根据牛顿第二定律有
mgsinα－F1=ma ①
在垂直斜面方向，有
FN=mgcosα ②
根据滑动摩擦定律有
F1=μFN ③
联立①②③三式解得：a=2m/s2
根据运动学公式有
④
v=at ⑤
联立④⑤两式解得：t=3s，v=6m/s。
11．解：以木块和小球整体为对象，设木块的质量为M，下滑的加速度为a，沿斜面方向，根据牛顿第二定律有：
（M＋m）gsin37 －μ（M＋m）gcos37 =（M＋m）a
解得：a=g（sin37 －μcos37 ）=2m/s2
以小球B为对象，受重力mg，细线拉力T和MN面对小球沿斜面向上的弹力FN，沿斜面方向，根据牛顿第二定律有：
mgsin37 －FN=ma
解得：FN=mgsin37 －ma=6N。
F1
a
θ
O
b
c
d
α
a
α
A
B F
A
θ
B
M
N牛顿第二定律的应用-知识探讨
合作与讨论
高速公路上行车，如果车辆发生故障，要停车检修时，应在离车150m远的地方，竖立好警示牌，请同学们讨论，这150m的依据是什么？
我的思路：考虑高速公路行车最高速度、路面材料、司机反应时间等．
思路分析
按照传统的观点，本节的重点是用牛顿第 ( http: / / www.21cnjy.com )二定律解决问题的一般方法和步骤，但是，从学习者的心理来看，学生在学习了牛顿定律后，最想了解的还是所学知识的应用、怎样用来解决实际问题，因此，让学生经历实际问题的解决过程、认识到物理规律在生产生活之中的巨大作用、并进而激发学生学习物理的兴趣和动力也应是本节教学的重点．
义务教育阶段课程改革后，物理方面 ( http: / / www.21cnjy.com )对初中学生的要求有了很大的改变，特别是对抽象思维、逻辑推理能力的要求大大降低了要求．运用牛顿定律解决实际问题需要学生具备良好的过程分析能力、思维能力和逻辑推理能力和一定的数学能力，实际上要求学生有较高的综合素质，这些对刚入高中的学生而言，是有相当难度的，教学中必须设置“梯子”，便于学生“上爬”．教材中该节的两个例题，如一开始就提供给学生，学生会感觉“很难”，有必要另行设计过渡性的题目．
以往不少教师处理该节的方法通常是： ( http: / / www.21cnjy.com )先列出一条条的“方法”“步骤”，然后要求学生严格按此“方法”“步骤”进行解题训练．从“理论到理论”，枯燥乏味．本节尝试首先以实际问题激发学生的好奇、兴趣．建议教学时把本节中的例1、例2完全交给学生．在学生自行解决的基础上再启发学生自己构建“一般方法”“步骤”，然后再引导不同层次的学生在课堂（或课外）选做后面的练习（比如还可以选择本章后“迁移应用部分”的一些联系实际的题目做补充例题）．
相关链接
用动力学方法测质量
在动力学问题中，如果知道物体的受力情况和加速度，也可以测出物体的质量，就是说，质量可以用动力学的方法来测定．
1966年就曾在地球的上空 ( http: / / www.21cnjy.com )完成了以牛顿第二定律为基础的测定质量的实验．实验时，用双子星号宇宙飞船m1，去接触正在轨道上运行的火箭组m2，接触以后，开动飞船尾部的推进器，使飞船火箭组共同加速（如图）．推进器的平均推力F等于895N，推进器开动7s，测出飞船和火箭组的速度改变是0.91m/s．已知双子星号宇宙飞船的质量m1＝3400kg．据此可求火箭组的质量m2．
推进器的推力使宇宙飞船和火箭组产生的加速度：
a＝m/s2＝0.13m/s2．
根据牛顿第二定律F＝ma＝（m1＋m2）a得：
m2＝－m1＝kg－3400kg≈3500kg．
实际上，火箭组的质量已经被独立地测 ( http: / / www.21cnjy.com )出．实验的目的是要发展一种技术，找出测定轨道中人造卫星或其他物体的未知质量的方法．事先已测出火箭组的质量为3660kg，因而实验误差不大于5％——正好在预期的误差范围之内．
知识总结
1．运用牛顿定律解决问题时，受力分析是基础，加速度是联系运动学和动力学的桥梁，正确地求得加速度是解决问题的关键．
2．求解过程中，用字母表示有关的物理量时，为避免运算中出错，该字母最好只表示物理量的大小．
3．牛顿定律依然是目前大多数工程技术的基础．
