《怎样描述圆周运动》习题课教案
教学目标：1、圆周运动的临界问题
2、“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系
3、求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围
重 点： 圆周运动的临界问题
难 点：求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围
知识简析 一、圆周运动的临界问题
1.圆周运动中的临界问题的分析方法
首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．
2.特例（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R→v临界=（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）
注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度V临≠
②能过最高点的条件：v≥，当V＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
③不能过最高点的条件：V＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）
（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：
注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．
①当v＝0时，N＝mg（N为支持力）
②当 0＜v＜时， N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力．
③当v=时，N＝0
当v＞时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心）
注意：管壁支撑情况与杆子一样
若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力．
注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。
二.“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系
（1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动，所以质点在做变速运动，处于非平衡状态。
(2）物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态。对于物体上不在转动轴上的任意微小质量团（可说成质点），则均在做匀速圆周运动。
规律方法 1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程
【例1】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO/旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A，设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L。将物块置于离圆心R处，R＞L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A相对圆盘始终未惰动。当ω增大到时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。
【解析］对物块A，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω0，此时向心力仅为弹簧弹力；若ω＞ω0，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若ω＜ω0，则需要较小的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。
依向心力公式有mω02R=k(R－L)，所以，故时,得ω＞ω0。可见物块所受静摩擦力指向圆心。
【例2】如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？
分析与解：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为m，则有：
要使列车能通过圆形轨道，则必有V>0,解得。
【例3】如图所示，细绳长为L，一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为+q的小球，置于电场强度为E的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？
解析：小球至最高点时能以L为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力，则Mg＋Eq=mv02/L，得，故小球在竖直平面内能够做圆周运动时，小球至最高点的速度
拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右．如图，当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为A点，物理最低点为B点，而几何最高点为C点，几何最低点为D点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合）．
A处速度的最小值（临界速度）应满足：
思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？
【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足怎样的关系式?
解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。
据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有①
同理m2在最高点有②
m2球由最高点到最低点机械能守恒③又N1=N2……④
【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。
【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作900转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r1和r2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？
分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为vm。转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到vm。车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定．
对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为v2，则应有mv22/r2=μmg解得v2=
如图所示，设车自M点开始减速，至N点其速度减为v2，且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=μmg/m=μg
此减速过程中行驶的路径长度（即MN的长度）为x2==－
车沿弯道到达A点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为x2的路程上加速，才能达到速度vm。上述过程所用的总时间为
t2=t减速＋t圆弧＋t加速=＋＋=－（2－）
同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为t1=－（2－）
另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多走了长度 ΔL＝ r2－ rl
同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度
Δx=2x1－2x2= r2－ rl
由于上述的ΔL和Δx刚好相等，可见车在直道上以vm匀速行驶的路程长度对于内外两道来说是相等的．这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的t1和t2即可由于 t2＜t1，显然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为
Δt=t1一t2=
2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围
【例6】如图，直杆上0102两点间距为L，细线O1A长为，O2A长为L,A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？
解析:当ω较小时线O1A拉直，O2A松弛，而当ω太大时O2A拉直, O1A将松弛．
设O2A刚好拉直,但FO2A仍为零时角速度为ω1，此时∠O2O1A =300,对小球：
在竖直方向FO1A·cos300＝mg……①
在水平方向：FO1A·sin300＝……②
由①②得
设O1A由拉紧转到刚被拉直,FO1A变为零时角速度为ω2
对小球：FO2A·cos600=mg……③
FO2A·sin600=mω22L·sin600………④
由③④得,故
【例7】一根长约为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面内转动，杆最初在水平位置。杆上距O为a处放有一个小物体B（可视为质点）。杆与其上小物体最初均处于静止状态，若此杆突然以匀角速度ω绕O轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰。
【解析】杆开始转动后，两物体的运动状态分别为：A做匀速转动，B做自由落体运动。若B能与杆相碰，只可能在B下落的竖直线上，那么，杆转动的高度范围就被确定了，即如图所示的转角范围。
我们分两种情况进行讨论：
（1）当杆的转速ω较小时，物体B有可能追上细杆与细杆相碰。设物体B下落到C作用的时间为t1，杆转过Φ角所用时间为t2，两物要能相碰，t1和t2就满足下列条件：t1≤t2…①
又因为LBC＝?gt12，Φ=ωt2，由几何关系LBC=，LcosΦ=a，所以LBC＝?gt12=解得t1=
由Φ=ωt2=arccosα/L解得t2=arccos（a/L）
将tl、t2代入①式，得 ≤arccos（a/L）解得ω≤arccos（a/L）/ （2）当杆的转速ω较大时，杆转过一周后有可能追上B而与物体B相碰，设杆转过中角所用的时间为t2/，杆要与B相碰，t2/和tl必须满足下列条件：tl≥t2/
由2π+Φ=ωt2/，所以t2/=（2π+Φ）=（2π+arccos（a/L））/ω代入得≥（2π+arccos（a/L））/ω，解得ω≥arccos（a/L）/
由以上分析可知，当杆转动的角速度满足：ω≤arccos（a/L）/或ω≥arccos（a/L）/时，物体B均有可能和细杆相碰。
怎样描述圆周运动 同步练习
1.下列四组物理量中，都是矢量的一组是
A.线速度、转速 B.角速度、角度
C.时间、路程 D.线速度、位移
答案：D
2.当物体做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是
A.物体处于平衡状态
B.物体由于做匀速圆周运动而没有惯性
C.物体的速度由于发生变化而会有加速度
D.物体由于速度发生变化而受合力作用
答案：C
3.如图所示，a、b是地球赤道上的两点，b、c是地球表面上不同纬度上的两个点，若a、b、c三点随地球的自转都看作是匀速圆周运动，则下列说法中正确的是
A.a、b、c三点的角速度相同 B.a、b两点的线速度相同
C.b、c两点的线速度相同 D.b、c两点的轨道半径相同
答案：AB
4.关于线速度和角速度，下列说法中正确的是
A.半径一定，线速度与角速度成正比 B.半径一定，线速度与角速度成反比
C.线速度一定，角速度与半径成反比 D.角速度一定，线速度与半径成反比
答案：AC
5.甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿半径为2R的圆周匀速跑步，在相同时间里，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则
A.ω1>ω2,v1>v2 B.ω1<ω2,v1C.ω1=ω2,v1答案：C
6.如图所示，皮带传动装置转动时，皮带上A、B点及轮上C点的运动情况是
A.vA=vB,vB>vC B.ωA=ωB,vB>vC
C.vB=vC,ωA=ωB D.ωA>ωB,vB=vC
答案：A
7.时钟正常工作时，时针、分针、秒针都在做匀速转动，那么
A.时针的周期为1小时，分针的周期为1分钟，秒针的周期是1秒钟
B.时针尖端的转速最小，分针次之，秒针尖端的转速最大
C.秒针每隔1分钟与分针相遇一次
D.秒针的角速度是分针的60倍，分针的角速度是时针的60倍
答案：B
8.圆环在水平面上做匀速滚动，跟平面没有相对滑动.已知环心对地的速度为v，则环上各点中相对地面的最小速度和最大速度的大小分别是
A.v,2v B.0,2v
C.0,v D.0.5v,1.5v
答案：B
9.选择一个指针式钟或表，先利用公式分别求出时针、分针、秒针的角速度；再用一把毫米刻度尺量出指针的半径；然后根据公式分别求出时针、分针、秒针尖端的线速度.
答案：π/21600 π/1800 π/30
10.上海和北京处在地球不同的纬度上，试比较这两地的建筑物随地球自转时角速度、线速度的大小关系.
答案：角速度相同 上海线速度大
11.图中是便携式放音机的基本运动结构示意图.在放音乐时，应保持磁带盘边缘线速度不变还是保持磁带盘角速度不变？为什么？
答案：保持磁带盘边缘线速度不变，原因略
12.在半径为15 m的圆形杂技场进行马术表演时，马沿着场地边缘奔跑，把马的运动看成是匀速圆周运动，马的线速度是8 m/s，求马的运动周期、转速和角速度.
答案： s π r/s rad/s
13.砂轮机在磨削金属时，砂轮和金属的碎屑因高温而形成火星，你注意到火星沿什么方向飞行？如果砂轮的半径是10 cm ，转速是1080 r/min ，火星刚飞出时的速度是多少？砂轮上半径为5 cm 处的角速度是多少？
答案：沿砂轮边缘的切线方向 v＝3.6π m/s，ω=36π rad/s
怎样描述圆周运动-例题思考
1.线速度就是曲线运动中的瞬时速度，线速度的方向沿圆周的切线方向.线速度的定义式是v＝s/t.角速度是物体做圆周运动时，连接它与圆心的半径转过的角度跟所用时间的比值，定义式是ω＝.物体做圆周运动一周所用时间叫做圆周运动的周期，周期的倒数就是频率(f)，是单位时间内做圆周运动的圈数，又叫转速(n).转速的单位除用转每秒(r/s)外，还有转每分(r/min)和转每小时(r/h)等.
线速度和角速度的关系：v＝rω，和周期、转速的关系：v＝,ω＝,n＝＝.
【例1】 地球半径为 6400 km，地球赤道上的物体随地球自转的角速度是多少？线速度是多少？
思路：地球自转时，地球上所有物体都在做圆周运动，它们的角速度都相同，线速度与地理纬度有关，纬度越低圆半径越大.赤道的圆半径最大，物体的线速度也最大.
解析：地球自转一周，转过的弧度为2π，所用时间为24 h，由角速度公式可得
ω=φ/t=2π/24×3600 rad/s≈7.27×10－5 rad/s
由线速度公式可得
v=2πr/t=2π×6400×103/(24×3600) m/s≈465 m/s.
【例2】 电唱机转盘每分钟转45 圈，在唱片离转轴0.1 m 处有一个小螺帽，求小螺帽做匀速圆周运动的周期、角速度、线速度.
思路：周期、角速度、线速度和转速都反映匀速圆周运动的快慢，它们有一定的关系，知道其中一个量，就可求出其他量.题中给出每分钟转数，先要将它化为每秒转数.
解析：由周期和转速的关系可求周期
T＝1/n＝60/45 s≈1.33 s .
由周期和角速度的关系可求角速度
ω=2π/T=3π/2 rad/s≈4.71 rad/s.
由线速度和角速度的关系可求线速度
v=ωr=0.1×4.71 m/s=0.471 m/s.
2.在分析传动装置的各个物理量的关系时，要抓住不等量和相等量之间的关系.在同一转动物体上，即物体上各点具有同一个转动轴时，各点具有相同的角速度，不同物体上的各点通过齿轮、链条和皮带相连时，线速度相同.
【例3】 如右图所示皮带传动装置，主动轴O1上有两个半径分别为R和r的轮，O2上的轮半径为r′，已知R＝2r，R＝，设皮带不打滑，A、B、C分别为半径r、R、轮缘上的点，问:ωA∶ωB＝? ωB∶ωC＝? vA∶vB＝? vA∶vC＝?
思路：A、B两点都绕相同的转动轴转动，属于共轴的关系，具有相同的角速度，B、C两点用皮带相连，具有相同的线速度，然后利用它们之间关系公式，就可以求得和其他点之间的线速度和角速度的关系.
解析：A、B同轴，故ωA∶ωB＝1∶1
因B与C用皮带传动，所以 vB∶vC＝1∶1
vB=ωBR vC=ωCr′
,.
【例4】 一把雨伞，圆形伞面的半径为r，伞面边缘距地面的高度为h.以角速度ω旋转这把雨伞，问伞面边缘上甩出去的水滴落在地面上形成的圆的半径R为多少？
解析：水滴从伞面边缘甩出去以后做平抛运动.水滴的水平速度为v0＝ωr
水滴在空中做平抛运动的时间t＝
水滴做平抛运动的水平射程
s=v0t=ωr
如图所示，为水滴飞离伞面后的俯视图，水滴从a点甩离伞面，落在地面上的b点；O是伞柄的位置，可见水滴落在地面上形成的圆的半径为
R=.
点评：这是一个涉及匀速圆周运动和平抛运动的综合性题目，正确解答该题的关键有三点：一是知道水滴离开伞边缘时的速度方向与伞边缘相切，且线速度的大小与伞边缘的线速度大小相同；二是认识到水滴离开伞缘后做平抛运动；三是正确画出示意图.将三维空间的运动情况化为平面图形，画出示意图往往帮助大脑形成清晰的物理情景，若能养成画示意图的良好习惯，对于提高解题能力是十分有益的.
怎样描述圆周运动-知识探讨
合作与讨论
1.如图所示，水滴沿旋转的伞的边缘飞出的图片，据此分析
(1)从上往下看，雨伞是顺时针旋转还是逆时针旋转？
(2)没有飞出前伞上的水滴做什么运动？
(3)水滴飞出的方向是什么方向？说明了什么问题？
2.月亮绕地球运动，地球绕太阳运动，这两个运动都可看成是圆周运动，怎样比较这两个圆周运动的快慢？请看下面地球和月亮的对话.
地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动1 s 要走29.79 km，你绕我运动1 s 才走1.02 km.
月亮说：不能这样说吧.你一年才绕一圈，我28 d(天)就绕了一圈，到底谁转得慢？
(1)地球说得对，还是月亮说得对？
(2)月亮运动的轨道半径大约为3.8 ×105 km，地球运动的轨道半径大约为1.5 ×108 km.通过计算，验证在地球和月亮的对话中，地球说的速度是否正确，到底谁的线速度大？
(3)是否线速度大就说明物体转动得快？用角速度的定义来计算月亮和地球的角速度.验证一下.
3.图中表示自行车最主要的传动部件，“牙盘”(大齿轮)和 “飞”(小齿轮)用链条相连，踏脚曲柄和 “牙盘” 固定连接，后车轮与 “飞” 固定连接.当用力踏踏脚板时，后车轮就会转动.请实地把一辆自行车支撑起来，使后车轮离开地面
(1)观察上述自行车主要的传动部件，有哪些部件在做圆周运动？这些部件的线速度之间、角速度之间有什么关系？
(2)用力驱动踏脚曲柄，体验如何改变后车轮转动的快慢.
(3)探究在图中所示的自行车中，踏脚板中心与后轮边缘上任一点的线速度、角速度、周期、转速之间的定量关系.如轮胎直径 “26 英寸”(66.04 cm)，计算出踏脚板转动一周，该辆自行车前进多少米.(精确到毫米单位)
我的思路：1.从上往下看，从雨滴甩出的方向可以看出雨伞是顺时针旋转的.在没有飞出以前，水滴跟着伞一起按照顺时针旋转，当水滴和伞之间的作用力不足以使雨滴跟着伞一起旋转时，雨滴将沿雨伞的切线飞出.雨滴从切线方向飞出说明了雨滴飞出前在做圆周运动时的速度方向也是沿圆周的切线方向.
2.描述圆周运动快慢的物理量是线速度、角速度和周期，单独的一个物理量无法准确地描述圆周运动的快慢，地球和月亮因为描述圆周运动快慢的标准不同，所以地球和月亮的说法都是片面的.地球阐述的是线速度，从线速度的定义式可以看出地球的线速度v1＝29.79 km/s，月亮的线速度为1.02 km/s.而月亮阐述的依据是角速度，从角速度的定义式可以看出地球的角速度为ω1＝ rad/s，而月亮的角速度为ω2＝ rad/s.根据角速度和线速度的关系v＝ωr，也可解得ω1＝ rad/s＝1.986×10－7 rad/s，ω2＝ rad/s＝2.68×10－6 rad/s.
3.自行车的踏脚、牙盘、飞轮和前后轮都在做圆周运动.踏脚和牙盘是共轴的，角速度相同；牙盘的边缘和飞轮用链条相连，具有相同的线速度，而飞轮和后轮也是共轴的，角速度相同.前轮和后轮通过地面相连，具有相同的线速度.
知识总结
1.速度v(线速度)
定义
文字表述 ：物体经过的圆弧的长度s跟经过这段圆弧所用时间t的比值；
公式表示：v＝s/t
线速度的其他计算公式：v＝、v＝2πrn,n是转速.
2.角速度ω
定义
文字表述：物体做圆周运动时，连接它与圆心的半径转过的角度Δθ跟所用时间t的比值；
公式表示：ω=Δθ/t
角速度的其他计算公式：ω=、ω=2πn
线速度和角速度的关系：v=rω.
3.匀速圆周运动：物体做圆周运动时，如果在相等的时间里通过的弧长相等，物体就做匀速圆周运动.匀速圆周运动线速度的大小不变，但方向时刻改变，是变速运动；加速度大小不变，方向时刻改变，是一种变加速运动.线速度、角速度和周期都表示匀速圆周运动的快慢.
