圆周运动的案例分析 同步测控
我夯基 我达标
1.关于在公路上行驶的汽车正常转弯时，下列说法中正确的是（ ）
A.在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由静摩擦力提供
B.在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由滑动摩擦力提供
C.在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力和支持力的合力提供
D.在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力、摩擦力和支持力的合力提供
解析：汽车内外侧等高的水平公路上拐弯时，受重力、支持力和摩擦力.重力和支持力均在竖直方向，不能够提供向心力；向心力由摩擦力提供，由于轮胎与地面没有发生相对滑动，所以应为静摩擦力.在内侧低、外侧高的公路上转弯时，由于支持力向内倾斜，所以可以由重力和支持力的合力提供向心力；若这二者的合力不能够恰好提供向心力，则需要借助摩擦力来共同提供向心力.
答案:ACD
2.火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定.若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是（ ）
①当以速度v通过此弯路时，火车重力与轨道支持力的合力提供向心力 ②当以速度v通过此弯路时，火车重力、轨道支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 ③当速度大于v时，轮缘挤压外轨 ④当速度小于v时，轮缘挤压外轨
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
解析：规定速度是仅由重力和支持力的合力来恰好提供向心力时火车的速度.若火车的速度大于规定速度的时候，若仅仅由重力和支持力的合力来提供向心力是不够的，火车会有往外偏离轨道的趋势，这时就需要外轨道来阻挡，即由重力、支持力和外轨道向内的弹力共同提供向心力.同理，若火车的速度小于规定速度的时候，重力和支持力的合力就会大于其所需的向心力，火车会有往内侧偏离轨道的趋势，这时就需要内轨道来阻挡，即由重力、支持力和内轨道向外的弹力共同提供向心力.
答案:A
3.汽车以一定速率通过拱桥时，下列说法中正确的是…（ ）
A.在最高点汽车对桥的压力大于汽车的重力
B.在最高点汽车对桥的压力等于汽车的重力
C.在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力
D.汽车以恒定的速率过桥时，汽车所受的合力为零
解析：汽车的运动看成是匀速圆周运动，合外力提供向心力，不等于零.当位于拱桥的最高点时向心力（合外力）向下，所以支持力小于重力，处于失重状态.
答案:C
4.(经典回放)如图2-3-8所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
图2-3-8
A.a处为拉力，b处为拉力 B.a处为拉力，b处为推力
C.a处为推力，b处为拉力 D.a处为推力，b处为推力
解析：a处一定为拉力.小球在最低点时所需向心力沿杆由a指向圆心O，向心力是杆对小球的拉力与小球重力的合力，而重力方向竖直向下，故杆必定给球向上的拉力.小球在最高点时若杆恰好对球没有作用力，即小球的重力恰好提供向心力，设此时小球速度为vc，则mg＝m·vc2/R，当小球在最高点的速度v＞vc时，所需向心力F＞mg，杆对小球有向下的拉力；若小球的速度v＜vc，杆对小球有向上的推力，故正确选项为A、B.
答案:AB
5.（经典回放）如图2-3-9在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上，有两个质量相等的小球A和B，它们分别紧贴漏斗的内壁，在不同的水平面上做匀速圆周运动.则以下叙述中正确的是（ ）
图2-3-9
A.A的线速度大于B的线速度
B.A的角速度大于B的角速度
C.A对漏斗内壁的压力大于B对漏斗内壁的压力
D.A的周期大于B的周期
解析：重力、支持力的合力提供向心力，方向水平.由图可知，两个小球的受力情况一样.N=，所以两者所受内壁的支持力是相等的，即两者对内壁的压力相等.F向=mgcotθ,a向=gtanθ==rω2=4π2,由于两者的轨道半径不等，所以两者的线速度、角速度、周期不等.
答案:AD
6.如图2-3-10所示，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R.则下列说法正确的是（ ）
图2-3-10
A.小球过最高点时，绳子张力可以为零
B.小球过最高点时的最小速度为零
C.小球刚好过最高点时的速度是Rg
D.小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
解析:如图所示，小球在最高点时，受重力mg、绳子竖直向下的拉力F（注意:绳子不能产生竖直向上的支持力）
向心力为Fn=mg+F
根据牛顿第二定律得
mg+F=m
可见，v越大，F越大;v越小，F越小.当F=0时，Fn=mg=m得v最小=Rg.因此，正确选项为AC.
答案:AC
7.质量相等的两辆汽车以相同的速度v分别通过半径皆为r的凸形桥的顶部与凹形桥的底部，两桥面各受的压力之比为F凸∶F凹=____________.
解析：由受力分析可知：F凸=mg-，F凹=mg+.
答案:
8.如图2-3-11所示，两个完全相同的小球A、B用长为l=0.8 m的细绳悬于以v=4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两小球分别与小车的前后壁接触.由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中的张力之比为_____________.
图2-3-11
解析：当车突然停止后，B将随之停止，根据受力平衡，绳对B物体的拉力TB=mg.而A将做圆周运动，绳对A的拉力TA=mg+v2/r，代入数据得出结果.
答案:1∶3
9.汽车以速度v行驶，驾驶员突然发现前方有一条横沟，为了避免事故，驾驶员应该刹车好还是转弯好？
解析:无论刹车还是转弯，都是为了避免汽车驶入沟中，刹车时地面的摩擦力使车减速，转弯时摩擦力则使车速改变方向.
刹车时:μmg=ma
刹车距离为s=
转弯时:μmg=m
转弯半径为r=
因为r＞s，所以刹车更易避免事故.
答案:应该刹车
10.如图2-3-12所示是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面，若女运动员做圆锥摆时和竖直方向的夹角约为θ，女运动员的质量为m，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r，求：
图2-3-12
（1）男运动员对女运动员的拉力大小.
（2）两人转动的角速度.
（3）如果男、女运动员手拉手均做匀速圆周运动，已知两人质量比为2∶1，求他们做匀速圆周运动的半径比.
解析：设男运动员对女运动员的拉力大小为F
则：Fcosθ=mg,Fsinθ=mω2r，
所以（1）F=mg/cosθ；
（2）ω＝；
（3）F′=m1ω′2r1；F′=m2ω′2r2
所以r1∶r2=1∶2.
答案:（1）mg/cosθ （2） （3）1∶2
11.如图2-3-13所示，自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动.若自行车以速度v转过半径为R的弯道.（1）求自行车的倾角应多大？（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？
图2-3-13
解析：骑车拐弯时要不摔倒必须将身体向内侧倾斜.从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向α角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过共同的质心O，合力Q与重力的合力F是维持自行车做匀速圆周运动所需要的向心力.
（1）由图可知，向心力F=Mgtanα，由牛顿第二定律有：
mgtanα=m,得α=arctan.
（2）由图可知，向心力F可看作合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力f和支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F，即f=Mgtanα=M.
答案:（1）arctan （2）M
12.飞行员驾机在竖直平面内做圆周特技飞行，若圆周半径为1 000 m，飞行速度为100 m/s，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重量的多少倍.
解析：如图所示，飞至最低点时飞行员受向下的重力mg和向上的支持力T1，合力是向心力即Fn1=T1-mg；在最高点时，飞行员受向下的重力mg和向下的压力T2，合力产生向心力即Fn2=T2+mg.两个向心力大小相等且Fn=Fn1=Fn2=m,则此题有解：
因为向心力Fn=m
在最低点时,m=T1-mg
则T1=m(+g)
那么+1=2
在最高点时,m=T2+mg
T2=m(-g)
-1=0
则飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重量的两倍;飞至最高点时，飞行员对座椅无压力.
我综合 我发展
13.如图2-3-14所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为m的小球，试管的开口端加盖与水平轴O连接.试管底与O相距r，试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动(g取10 m/s2)，则
（1）转轴的角速度为_________时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍.
（2）转轴的角速度为_________时，会出现小球与试管底脱离接触的情况.
图2-3-14
解析：（1）根据题意，当试管转至竖直下方时，小球对试管底部的压力最大，压力大小Fmax=F向+mg=mrω2+mg；当试管转至竖直上方时，小球对试管底部的压力最小，压力大小Fmin=mg-F向=mg-mrω2，由Fmax=3Fmin可得ω=.
（2）这种情况发生在当试管转至竖直上方时，此时试管底部对小球没有压力，只由重力提供小球的向心力，mg=mrω2，ω=.
答案:(1) (2)
14.如图2-3-15所示，内壁光滑的导管弯成圆轨道竖直放置，轨道半径为r，连同底座质量为2m.小球质量为m，在管内滚动，当小球运动到最高点时，装置刚好要离开地面，此时小球速度多大?
图2-3-15
解析：根据题意，小球经过最高点时，装置受重力和小球的向上的弹力，两者大小相等2mg=F.小球受重力和管道的向下的弹力，两者提供向心力,mg+F=m，与上式结合得v=.
答案:v=
15.如图2-3-16所示，质量为m的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中AC绳长L=2 m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ2=45°，问：当细杆转动的角速度在什么范围内，A、B两绳始终张紧？
图2-3-16
解析：若角速度太小，则BC松弛，设角速度为ω1时，BC绳刚好伸直，则有：
mgtan30°=mrω12，r=Lsin30°得：ω1=
角速度为ω2时，AC绳就要松弛，则有：
mgtan45°=mrω22 ω2=.
答案:≤ω≤
16.人类将来要离开地球到宇宙中去生活，可以设计成如图2-3-17所示的宇宙村，它是一个圆桶形的建筑，人们生活在圆桶的内壁上.为了使人们在其中生活不致有失重感，可以让它旋转.设这个建筑的直径为200 m，那么，当它绕其中心轴转动的角速度为多大时人类感觉像生活在地球上一样（承受10 m/s2的加速度）？如果角速度超过了上述值，人们将有怎样的感觉？
图2-3-17
解析：处于宇宙空间的物体处于完全失重状态，现要生活在宇宙村中的人无失重感，就让该装置转动，处于宇宙村边缘的人随宇宙村一起旋转，当其向心加速度为题中所给的10 m/s2对应的角速度就是所求.由向心加速度的公式a=rω2，
ω==rad/s.
答案: =rad/s，超重感
17.如图2-3-18所示，在圆柱形屋顶中心天花板上O点，挂一根L=3 m的细绳.绳的下端挂一个质量m=0.5 kg的小球.已知绳能承受的最大拉力为10 N，小球在水平面内做圆周运动.当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9 m/s的速度恰落在墙角边，求这个圆柱形房顶的高度H和半径R（取g=10 m/s2）.
图2-3-18
解析:绳将要断时，小球在水平面内做匀速圆周运动，r表示轨迹半径，h表示房顶距轨迹平面的高度，如图所示，此时小球受到的向心力为:
Fn==5 N
向心加速度an==10 m/s2
绳与竖直方向的夹角为θ，则tanθ==，应有θ=60°
由图可知:r=L·sinθ=m
h=L·cosθ=m
用v0表示小球做匀速圆周运动的线速度，由an=得v0==3m/s
绳断后小球做平抛运动，落地前竖直分速度vy==6 m/s
那么H=+h=3.3 m
平抛运动的时间t==0.6 s
平抛运动的水平位移x=v0t=m
由几何知识知:R=x2+r2=4.8 m.
答案:H=3.3 m R=4.8 m
圆周运动的案例分析 同步练习
1.在水平面上转弯的汽车，向心力是
A.重力和支持力的合力 B.静摩擦力
C.滑动摩擦力 D.重力、支持力、牵引力的合力
答案：B
2.用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是
A.小球在圆周最高点时所受向心力一定是重力
B.小球在圆周最高点时绳子的拉力不可能为零
C.小球在圆周最高点时拉力一定大于重力
D.若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率是
答案：D
3.火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定.若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是
①当以速度v通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力 ②当以速度v通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 ③当速度大于v时，轮缘挤压外轨 ④当速度小于v时，轮缘挤压外轨
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
答案：A
4.汽车以一定速率通过拱桥时 ，下列说法中正确的是
A.在最高点汽车对桥的压力大于汽车的重力
B.在最高点汽车对桥的压力等于汽车的重力
C.在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力
D.汽车以恒定的速率过桥时，汽车所受的合力为零
答案：C
5.如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动.现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是
A.a处为拉力，b处为拉力 B.a处为拉力，b处为推力
C.a处为推力，b处为拉力 D.a处为推力，b处为推力
答案：AC
6.如图所示，在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上，有两个质量相等的小物块A和B，它们分别紧贴漏斗的内壁，在不同的水平面上做匀速圆周运动.则以下叙述中正确的是
A.物块A的线速度大于物块B的线速度
B.物块A的角速度大于物块B的角速度
C.物块A对漏斗内壁的压力大于物块B对漏斗内壁的压力
D.物块A的周期大于物块B的周期
答案：AD
7.质量分别为M和m的两个小球，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴M和m的悬线与竖直方向的夹角分别为α、β，如图所示.则
A.cosα= B.cosα=2cosβ
C.tanα= D.tanα=2tanβ
答案：A
8.飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径r＝180 m的圆周运动.如果飞行员的质量m＝70 kg，飞机经过最低点P时的速度v＝360 km/h，则这时飞行员对座位的压力为 .(g取10 m/s2)
答案：.4588.9 N
9.在双人花样滑冰的运动中，我们有时会看到女运动员被男运动员拉着做圆锥摆运动的精彩场面，如果目测女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角约为45°，那么她所受到的拉力是她体重的________倍.
答案：
10.质量相等的两辆汽车以相同的速度v分别通过半径皆为R的凸形桥的顶部与凹形桥的底部，两桥面各受的压力之比为F凸∶F凹_____.
答案：(g－)∶(g＋)
11.质量为800 kg的小汽车驶过一座半径为50 m的圆拱桥，到达桥顶时的速度为5 m/s，求此时汽车对桥的压力.
答案：7440 N
12.如图所示, 在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端加盖与水平轴O连接. 试管底与O相距5 cm，试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动. 求：(g取10 m/s2)
(1)转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍；
(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况?
答案：(1)20 rad/s (2)10 rad/s
13.如图所示，内壁光滑的导管弯成圆轨道竖直放置，其质量为2m，小球质量为m，在管内滚动，当小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，此时小球速度多大?(轨道半径为R)
答案：
14.如图所示，质量为m＝0.1 kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中AC绳长lA＝2 m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角θ1＝30°， θ2＝45°，g＝10 m/s2.求：当细杆转动的角速度在什么范围内，A、B两绳始终张紧？
答案： rad/s≤ω≤ rad/s
圆周运动的案例分析-例题思考
1.竖直面内的变速圆周运动是经常考查的一个重点内容.主要对两种物理情景进行考查，即线拉物体和杆连物体；主要对这两种情景中的物体在最高点和最低点两个状态进行考查.在最低点，不论是线拉物体还是杆连物体，线或杆的弹力指向圆心(竖直向上)，物体的重力竖直向下，二者的合力提供向心力，则有T－mg＝mrω2＝m;在最高点时，线拉物体的临界状态是T＝0，重力提供向心力mg＝m，即v＝.因此可以看出速度必须大于或等于才能保证物体做圆周运动.而杆连物体时，杆可以对物体提供支持力，因此物体在最高点速度可以为零.当0＜v＜时，杆对物体提供支持力；当v＝时，重力刚好提供向心力，杆施加的力为零；当v＞时，杆对物体施加的是拉力，此时和线拉物体的效果是一样的.
【例1】 如图所示，质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小杯通过最高点的速度为4 m/s，g取10 m/s2.求：
(1)在最高点时，绳的拉力；
(2)在最高点时水对小杯底的压力；
(3)为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?
思路：不论取杯子和杯子里的水为研究对象，还是只研究杯子里的水，这两种情况都属于线拉物体的模型，而这种模型中在最高点的研究是一个重点和难点.
解析：(1)求绳的拉力时，选杯子和杯子里的水这个整体为研究对象，它们做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力T的合力.则有
mg+T=m
代入数据，解得T＝9 N.
(2)求水对杯底的压力，应该以水为研究对象，先求杯底对水的压力，然后根据牛顿第三定律得到水对杯底的压力.水做圆周运动的向心力是重力和杯底对水的压力N的合力.即
mg+N=m，
代入数据解得N＝6 N.
(3)水不从杯子里流出的临界情况是水的重力刚好都用来提供向心力.即
mg=m
解得v= m/s.
【例2】 如图所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动.如果小球经过最高位置时，杆对球的作用力为拉力,拉力大小等于球的重力.求：
(1)球的速度大小；
(2)当小球经过最低点时速度为，杆对球的作用力的大小和球的向心加速度的大小.
思路：竖直平面内的杆连物体的圆周运动，主要就是注意在最高点时，有杆提供拉力、支持力和没有力三种情况.在受力分析时应该注意力的方向.
解析：(1)小球A在最高点时，对球作受力分析：重力mg、拉力F=mg.
根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力
mg+F=m ①
F=mg ②
解①②两式，可得v=.
(2)小球A在最低点时，对球作受力分析：设向上为正
根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力
F－mg=m,
解得F＝mg＋m=7mg
而球的向心加速度a==6g.
2.运动物体在转弯时所需的向心力也是由物体所受到的合力来提供的.这时应该注意做圆周运动的圆面和受力不在同一个平面内，但合力却一定在圆面内，沿半径方向.
【例3】 汽车与路面的动摩擦因数为μ，公路某转弯处半径为R(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力).问：
(1)若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？
(2)若将公路转弯处路面设计成外侧高、内侧低，使路面与水平面有一倾角α，如图所示，汽车以多大速度转弯时，可以使车与路面间无摩擦力？
思路：在路面水平的情况下，汽车转弯所需的向心力是由汽车和路面之间的静摩擦力来提供的，当公路转弯处是外高内低的斜面时，重力和斜面的支持力将在水平方向上提供一个合力，加上和路面的静摩擦力来提供向心力，此时，在同样的情况下，所需的静摩擦力就减小.
解析：(1)汽车在水平路面上转弯时，汽车转弯的向心力由静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大时，汽车的转弯速度最大.由
μmg=m解得v=.
(2)当转弯处路面倾斜，且重力和支持力的合力恰等于向心力时，车与路面间无摩擦力，转弯速度最为理想，则有mgtanα=m
解得v=.
【例4】 飞机俯冲拉起时，飞行员处于超重状态，即飞行员对座位的压力大于他所受的重力，这种现象也叫过荷，这时会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重.过荷过大时，飞行员还会暂时失明，甚至昏厥.飞行员可以通过加强训练来提高自己的抗荷能力.图是离心实验器的原理图，可以用离心实验器来研究过荷对人体的影响，测验人的抗荷能力.离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动，若被测者所受的重力为G，现观察到图中的直线AB(即垂直于座位的直线)与水平杆成30°角.求：
(1)被测者做匀速圆周运动所需的向心力多大？
(2)被测者对座位的压力多大？
解析：被测者做匀速圆周运动的向心力由他所受的重力和座位对他的支持力的合力来提供，对其受力分析如图所示.
(1)做匀速圆周运动需要的向心力
F向=Gcot30°=G.
(2)座位对其的支持力为F＝G/sin30°=2G
由牛顿第三定律可知，飞行员对座位的压力大小也为2 G.
点评：该题考查了做匀速圆周运动的物体的向心力是由物体所受的重力和支持力的合力来提供的.情景设置比较新颖，但题目的难度不大，乍看起来，好像是条件不足，但实际上，在解答时，只要正确地判断向心力的来源，能够作出力的合成图示，就可以正确地求解.
圆周运动的案例分析-知识探讨
合作与讨论
1.如图所示为课本图2-20的平面图，重做该实验，分析、讨论以下问题.
(1)小球做圆周运动时的向心力是由谁来提供的？
(2)在最高点时如果小球的速度为零，小球将做什么运动？
(3)如果圆周的半径为r，试求出做该圆周运动的最小速度.
(4)如果小球的释放高度太低，将不能完成一个完整的圆周运动，小球脱离轨道的位置有几个？分别做什么运动？
2.如图为汽车过拱桥时的图示，用玩具汽车和拱形路面做模拟实验，并分析讨论以下问题.
(1)汽车过拱桥时，在最高点时可以看作圆周运动的一部分，汽车的该圆周运动的向心力是由谁来提供的？
(2)为不脱离桥面，汽车的速度应不超过多少？
(3)如果汽车的速度太大，汽车将做什么运动？
3.用细线拴一个小球，手拉细线的一端，如图所示，使小球在水平面内做圆周运动，分析讨论以下问题.
(1)小球在水平面内的圆周运动的向心力是由谁来提供的？
(2)如果增大转速，将会发生什么现象？
(3)定量地写出受到的合力和圆周运动所需要的向心力之间的关系，并分析上述现象.
我的思路：1.小球此时做圆周运动时的向心力是由小球的重力和轨道的弹力的合力提供的，如果在最高点时速度为零，小球将做自由落体运动.由此可见，做圆周运动需要一个速度，竖直面内的圆周运动是变速的，随高度的增加速度逐渐减小，在最高点时具有一个最小速度，此时是物体能否做圆周运动的临界情况，即轨道对小球的弹力刚好为零.小球只有重力来提供向心力，则有mg＝m，即该圆周运动的最小速度为v＝.如果释放的高度太低，小球在运动的过程中有两种情况出现.如图所示：a是小球上升的高度大于轨道的半径r，此时如果小球所受到的弹力等于零，将导致小球开始与轨道脱离，脱离时小球有沿圆周切线方向的速度且只受重力，所以小球的运动将是一个斜抛运动，如图中的虚线是小球运动的轨迹.b是小球上升的高度小于轨道的半径r，此时小球将沿轨道原路返回.
2.在汽车过拱桥时，汽车的向心力是由汽车的重力和路面的支持力来提供的.当路面对汽车的支持力为零时，汽车将脱离路面，因此，必须保证支持力N＞0，即汽车在最高点时速度的最大值是刚好重力提供向心力，即mg＝m，即该圆周运动的最大速度为v＝，当速度为该值时，汽车将由沿桥面切线方向上的速度(水平速度)而做平抛运动.因此，汽车过拱桥时，速度应小于.
3.小球在水平面内的圆周运动的向心力是由重力和细线的拉力的合力来提供的，如图所示.由合力提供向心力可以得到mgtanθ＝mrω2＝mr4π2n2和圆周运动的半径r＝lsinθ可得n＝，由此式可以看出当n增大时，θ角变大.
知识总结
圆周运动题型分析：
1.竖直面上变速圆周运动，可归纳为线吊小球、杆连小球、轨道在外侧(汽车过拱桥)、轨道在内侧(翻滚过山车)等.
模型
共同点
不同点
线吊小球轨道在内侧
只受重力和弹力作用
(1)小球所受弹力指向圆心；(2)若刚能通过圆周的最高点A，则vA≥；(3)若到达最高点前在某点离开圆周，则该点对应于绳的张力T＝0，以后改做斜抛运动.
杆连小球
(1)小球所受弹力方向可以指向圆心或离开圆心；(2)如刚能通过圆周最高点A，则vA＝0；(3)只可能做圆周运动，不可能做抛体运动.
2.在水平面上的匀速圆周运动：飞机绕水平圆周盘旋、圆锥摆、火车转弯均属此类运动.此时物体所受合外力作为向心力.
