动能定理的应用 同步测控
我夯基 我达标
1.下列关于运动物体所受合外力做功和动能变化的关系正确的是（ ）
A.如果物体所受合外力为零，则合外力对物体做的功为零
B.如果合外力对物体做的功为零，则每个力对物体做的功一定为零
C.物体在合外力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D.物体的动能不变，所受合外力一定为零
解析:物体所受合外力为零，则合外力做功为零，但合外力做功为零，并不一定各力做功都为零，有可能各力做功但代数和为零.所以选项A正确，B错误.物体做变速运动，合外力不为零，速度变化，但动能不一定变化，如匀变速圆周运动.所以选项C、D错误.
答案:A
2.一辆汽车以v1=6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行s1=3.6 m，如果改以v2=8 m/s的速度行驶时，同样情况下急刹车后滑行的距离s2为（ ）
A.6.4 m B.5.6 m C.7.2 m D.10.8 m
解析:急刹车后，车只受摩擦力的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零.设摩擦力为F，根据动能定理得：-Fs1=0-mv12，-Fs2=0-mv22.两式相除得：，故得汽车滑行距离s2=×3.6 m=6.4 m.
答案：A
3.速度为v的子弹，恰好可以穿透一块固定着的木板，如果子弹速度为2v，子弹穿透木板时阻力视为不变，则可穿透同样的木板（ ）
A.2块 B.3块 C.4块 D.1块
解析:设阻力为f，根据动能定理，初速度为v时，则-fs=0-mv2，初速度为2v时，则
-fns=0-m(2v)2，解得：n＝4.
答案:C
4.两个质量不等的小铅球A和B，分别从两个高度相同的光滑斜面和圆弧斜坡的顶端由静止滑向底部，如图3-3-7所示，下列说法正确的是（ ）
图3-3-7
A.下滑过程中重力所做的功相等 B.它们到达底部时动能相等
C.它们到达底部时速率相等 D.它们到达底部时速度相等
解析:根据动能定理得，铅球到达底部的动能等于重力做的功，由于质量不等，但高度相等，所以选项A、B错误.到达底部的速率都为v=2gh，但速度的方向不同，所以选项C正确，D错误.
答案:C
5.一人用力把质量为1 kg的物体由静止向上提高1 m，使物体获得2 m/s的速度，则（ ）
A.人对物体做的功为12 J B.合外力对物体做的功为2 J
C.合外力对物体做的功为12 J D.物体克服重力做功为10 J
解析:由动能定理得：W人-mgh=mv2-0，人对物体做的功为W人=mgh+mv2=12 J，故A对.合外力做的功W合=mv2=2 J，故B对，C错.物体克服重力做功为mgh＝10 J，故D对.
答案:ABD
6.用铁锤把小铁钉敲入木板，假设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比.已知第一次将铁钉敲入木板1 cm，如果铁锤第二次敲铁钉的速度变化与第一次完全相同，则第二次铁钉进入木板的深度是（ ）
A.(-1) cm B.(-1) cm C. cm D. cm
解析:设锤子每次敲击铁钉，铁钉获得的速度为v，以铁钉为研究对象，则d=·d=mv2，x=·x=mv2，解以上两式得：x=(-1) cm，故选B.
答案:B
7.被竖直上抛的物体初速度与回到抛出点的速度之比为K，而空气阻力在运动过程中保持大小不变，则重力与阻力的大小之比为（ ）
A.K B.（K+1）/（K-1） C.（K2+1）/（K2-1） D.1/K
解析:设竖直上抛物体上升的最大高度为H，对物体运动的全程和下落过程应用动能定理：
-f·2H=mv2-mv02，mgH-fH=mv2，K=，代入以上两式解得：.
答案:C
8.（经典回放）在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，当它落到地面时速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于（ ）
A.mgh-mv2-mv02 B.-mgh-mv2-mv02
C.mgh-mv2+mv02 D.mgh+mv2-mv02
解析:本题中阻力做功为变力做功.应用动能定理来求解，整个过程中只有重力做功和空气阻力做功，则：WG-Wf=mv2-mv02,
解得：Wf=mgh-mv2+mv02.
答案:C
9.跳水运动员从H高的跳台上以速率v1跳起，入水时的速率为v2，若运动员看成是质量集中在重心的一个质点，质量为m，则运动员起跳时所做的功是___________；运动员在跳水过程中克服空气阻力做功是___________.
解析:根据动能定理得，运动员起跳时所做的功就是运动员的动能变化mv12.研究运动员从起跳后到入水的全过程，根据动能定理得：mgH-Wf=mv22-mv12，解得：Wf＝mgH+mv12-mv22.
答案: mv12，mgH+mv12-mv22
10.一架喷气式飞机，质量m=5.0×103 kg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s=5.3×102 m，达到起飞速度v=60 m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的0.02倍（k=0.02）.求飞机受到的牵引力F.
解析:根据动能定理：W合=mv2-mv02
即(F-f)s=mv2
解得：F=+kmg=1.8×104 N.
答案:1.8×104 N.
11.如图3-3-8所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8 m，BC是水平轨道，长L=3 m，BC处的动摩擦因数为1/15.今有质量m=1 kg的物体，自A点从静止开始下滑到C点刚好停止.求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功.
图3-3-8
解析:在整个过程中有重力做功、AB段摩擦力做功和BC段摩擦力做功，由于物体在A、C两点的速度为零，所以用动能定理求解比较方便，
对全过程用动能定理：mgR-Wf-μmgL=0-0,
所以Wf=mgR-μmgL=1×10×0.8 J-×1×10×3 J=6 J.
答案:6 J
12.如图3-3-9所示，在水平恒力F作用下，物体沿光滑曲面从高为h1的A处运动到高为h2的B处，若在A处的速度为vA，B处速度为vB，则AB的水平距离为多大？
图3-3-9
解析：A到B过程中，物体受水平恒力F、支持力N和重力mg的作用.三个力做功分别为Fs、0和-mg(h2-h1)，由动能定理得：
Fs-mg(h2-h1)= m(vB2-vA2)
解得：s=［g(h2-h1)+(vB2-vA2)］.
答案:［g(h2-h1)+(vB2-vA2)］
我综合 我发展
13.质量为1 kg的物体在水平面上滑行，其动能随位移变化的情况如图3-3-10所示，取g＝10 m/s2，则物体滑行持续的时间为（ ）
图3-3-10
A.2 s B.3 s C.4 s D.5 s
解析:根据动能定理W＝Ek2-Ek1，由题图可知，动能在减小，说明阻力对物体做负功，所以有-Fs＝0-Ek
F=N=2 N
加速度a==m/s2=2 m/s2
由运动学公式s=at2得：t=s=5 s.
答案:D
14.（经典回放）如图3-3-11所示，质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（ ）
图3-3-11
A.mgR B.mgR C.mgR D.mgR
解析:如图3-3-11所示，小球在最低点A处
由牛顿第二定律：7mg-mg=m
所以mvA2=6mgR
小球在最高点B处
由牛顿第二定律：mg=m
所以mvB2=mgR
小球从A经半个圆周到B的过程中
由动能定理得：-W-mg·2R=mvB2-mvA2
所以W=mgR，故正确选项为C.
答案:C
15.如图3-3-12所示，质量为m的雪橇，从冰面上滑下，当雪橇滑到A点时，速度大小为v0，它最后停在水平冰面的B点，A点距水平地面高度为h.如果将雪橇从B点拉到A点拉力方向始终与冰面平行，且它通过A点时速度大小为v0，则由B到A的过程中拉力做功等于____________.
图3-3-12
解析:将物体上滑和下滑两个过程分别应用动能定理，则mgh-WF=0-mv02
WF′-mgh-WF=mv02，由以上两式可得：WF′=2mgh+mv02.
答案:WF′=2mgh+mv02
16.一条水平传送带始终匀速运动，将一个质量为m=20 kg的货物无初速地放在传送带上，货物从放上到跟传送带一起匀速运动，经过的时间为0.8 s,滑行距离为1.2 m（g取10 m/s2）.求：
(1)货物与传送带间动摩擦因数的值；
(2)这个过程中，动力对传送带做的功是多少？
解析:（1）货物在传送带上滑行是依靠滑动摩擦力为动力，即
μmg=ma
货物做匀加速运动s1=at2
解得μ=0.375.
(2)上述过程中，因传送带始终匀速运动，设它的速度为v,对传送带来说它们受的动力F和摩擦力f是平衡的，
即F动=f=μmg=0.375×20×10 N=75 N
此过程中传送带的位移为s2,则
v=at=μgt=0.375×10×0.8 m/s=3 m/s
s2=vt=3×0.8 m=2.4 m
则动力对传送带做的功是W=f·s2=75×2.4 J=180 J.
答案:（1）0.375 (2)180 J
17.如图3-3-13所示为汽车刹车痕迹长度x（即刹车距离）与车速v的关系图像，例如，当刹车长度痕迹为40 m时，刹车前车速为80 km/h.
处理一次交通事故时，交警根据汽车损坏程度估算出碰撞时的车速为40 km/h，并且已测出刹车痕迹长度是20 m，请你根据图像帮助交警确定出汽车刹车前的车速，由图像知汽车刹车前的车速为__________km/h.
图3-3-13
解析:由于撞击时车速为40 km/h，则可判断出对应的刹车痕长度为10 m，若不相撞刹车痕长度应为10 m+20 m=30 m，由图像可以判断其车速为75 km/h.
答案:75 km/h
动能定理的案例分析 同步练习
1.下列关于一定质量的物体的速度和动能的说法中，正确的是
A.物体的速度发生变化，其动能一定发生变化
B.物体的速度保持不变，其动能一定不变
C.物体的动能发生变化，其速度一定变化
D.物体的动能保持不变，其速度可能变化
答案：BCD
2.下列关于运动物体所受合外力做功和动能变化的关系正确的是
A.如果物体所受合外力为零，则合外力对物体做的功为零
B.如果合外力对物体做的功为零，则每个力对物体做的功一定为零
C.物体在合外力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D.物体的动能不变，所受合外力一定为零
答案：A
3.一辆汽车以v1=6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行s1=3.6 m，如果改以v2=8 m/s的速度行驶时，同样情况下急刹车后滑行的距离s2为
A.6.4 m B.5.6 m
C.7.2 m D.10.8 m
答案：A
4.速度为v的子弹，恰好可以穿透一块固定着的木板，如果子弹速度为2v，子弹穿透木板时阻力视为不变，则可穿透同样的木板
A.2块 B.3块
C.4块 D.1块
答案：C
5.某人从12.5 m高处向下抛出一质量为0.8 kg的物体，物体落地时的动能是抛出时动能的11倍.不计空气阻力，g取10 m/s2,则人抛出物体时，对物体所做的功为______.
答案：10 J
6.人从较高的地方跳到地面上容易造成骨折，一般成人胫骨的极限抗压强度为1.5×108 N/m2，胫骨最小横截面积为3.2 cm2，假若一质量为50 kg的人从一定高度直膝双足落地，落地时其重心又约下降1 cm.试计算一下，这个高度超过多少时，就会导致胫骨骨折？
答案：1.95 m
动能定理的案例分析-例题思考
应用动能定理分析问题时，要充分考虑到动能是状态量而功是过程量，既要重视初末状态的确定，又要注重过程的分析.解决问题的一般步骤是：①确定研究对象，明确研究过程；②分析物体在运动过程中的受力情况，明确各力是否做功，做的是正功还是负功；③明确起始状态和终了状态的动能；④用动能定理列方程求解、验证.
应用动能定理时需注意：①动能定理虽然是用一个物体受到的恒力作用且物体直线运动的简单情况下推导出来的，但它同样适用于变力做功的情况，也适用于物体做曲线运动的情况.②动能定理是一个适用面很广的定理，凡是涉及到力对物体做功过程中动能变化的问题几乎都能用.动能定理的表达式是一个标量式，应用起来比较方便.③物体运动的过程比较复杂时，运用动能定理列式求解的方法很灵活，有分段列式法和全程列式法.物体运动有几个过程时，对全程列式比较简单.对全程列式时，关键是分清整个过程有哪些力做功，且各力做功应与位移对应，并确定初始状态和终了状态的动能.④当研究的问题中涉及到几个物体，应用动能定理求解时，可分别对每个物体单独用动能定理列式，式中涉及的速度和位移都应是相对于地面的.
【例1】 如图所示，在一块水平放置的光滑板面中心开一小孔O，穿过一根细绳，细绳的一端用力F向下拉，另一端系一小球，并使小球在板面上以半径r做匀速圆周运动.现缓慢地增大拉力F，使小球的运动半径不断减小，若已知拉力变为8F时，小球的运动半径恰好减为r，求此过程中，绳子的拉力对小球所做的功.
思路：在本题中，绳中拉力为一大小不断变化的变力，不能利用功的计算式W=Fs直接来计算.中学阶段，计算变力做功的一般方法是依据动能定理进行求解.在本题中，要注意到小球做的是匀速圆周运动，我们要依据运动规律求解小球在初末状态的动能.
解析：当小球运动半径为r时，对球分析由牛顿第二定律得：F=m ①
当小球的运动半径为时，对球分析由牛顿第二定律得：8F=m ②
对小球的半径由r变为r的过程分析，对小球做功的只有绳中拉力，由动能定理得：
WF=mv22－mv12 ③
方程①②③联立可得：WF=
即在此过程中绳中拉力做的功为.
答案：
【例2】 质量为m的物体以初速度v0竖直向上抛出，物体落回地面时，速度大小为3v0/4，(设物体在运动过程中所受空气阻力大小不变)如图所示.求：
(1)物体运动过程中所受空气阻力的大小;
(2)物体以初速度2v0竖直向上抛出时的最大高度.
思路：解决本题要注意到空气阻力始终与物体运动方向相反，始终对物体做负功.而且还要注意应用动能定理时初末状态的选择.
解析：(1)设物体能够上升的最大高度为H，对上升过程分析，重力和空气阻力均对物体做负功，由动能定理可得：
－mgH－fH=0－ ①
对物体下落过程分析，重力对物体做正功而空气阻力对物体做负功，由动能定理得：
mgH－fH=m(v0)2－0 ②
由方程①②联立可解得：
f=mg.
(2)当物体的初速度为2v0时，设能够上升的最大高度为,对上升过程应用动能定理得：
所以，可以解得物体上升的最大高度为.
答案：(1)f= (2)
【例3】 在光滑水平地面上有一静止物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体，当恒力乙作用的时间与恒力甲作用的时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32 J，求在整个过程中恒力甲和恒力乙所做的功W1、W2.
思路：分析本题的关键是要清楚恒力甲与恒力乙的大小关系以及二力做功的关系，并且要分析出物体在运动的过程中，恒力甲和恒力乙都对物体做正功，二者对物体做的总功等于物体动能的增加量.
解析：设在恒力甲作用的过程中物体从A运动到B，发生的位移为s，在恒力乙作用下由B经C运动到A，A、B间距为s.则恒力甲对物体做正功为
W1＝F1s ①
在物体由B到C再由C回到B的过程中，恒力乙做的功为零，再由B回到A的过程中，恒力乙对物体做正功，所以恒力乙对物体做的功为
W2＝F2s ②
对物体运动的全程分析，由动能定理得：
W1＋W2＝Ek ③
又因为恒力甲与恒力乙作用时间相等，由匀变速直线运动规律：
对恒力甲作用过程
s= ④
对恒力乙作用过程(选向右为正)
－s= ⑤
由方程④⑤联立可得
F1=F2 ⑥
由方程①②③⑥联立，代入数据可解得
W1=8 J W2=24 J.
点评：本题是1996年全国高考物理试题，本题巧妙地考查了功的定义和计算、动能定理、物体做匀变速运动的规律.需要我们分析它详尽的运动过程并深刻理解功的定义以及物体做匀变速直线运动的规律.对于考查学生分析解决问题的能力，是一道不错的题目.
动能定理的案例分析-知识探讨
合作与讨论
1.根据前一节的学习，我们知道动能定理是解决合外力对物体做的功与物体的动能变化量之间的关系，是功能关系的具体体现.那么，你能应用动能定理分析生活中的一些实例吗？
一辆汽车以某一速度在平直的公路上行驶，由于操作不慎发生撞车事故，它在满载货物时与空载时都在相同的距离中停下来，哪一次汽车的损伤更大？(撞车过程中地面摩擦与撞击力比较，忽略不计)
2.根据前面我们知道,功是力对位移的积累，其计算公式为W=Fs，那么如果物体受到的力为变力，它对物体做的功还能用上述公式计算吗？
(1)一个小朋友在踢足球玩，他能够把质量为0.4 kg的足球以4 m/s的速度踢出去，那么小朋友对足球的作用力是恒力还是变力？他对足球做的功又是多大呢？
(2)如图，质量为m的小球用长为l的细绳悬挂于O点，小球在水平力F的作用下缓慢地由P位置移到Q位置，这时，悬线偏离竖直方向θ角.在这个过程中力F对小球做的功能不能表示为W=Flsinθ，为什么？
3.动能是与物体运动状态有关的状态量，功却是一个过程量，动能定理把二者联系起来.我们应用动能定理解决问题时的步骤是怎样的呢？
某消防队员从一平台上跳下，下落2 m后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自己的重心又下降了0.5 m.你能分析出地面对脚的缓冲力是他重力的多少倍吗？
我的思路:1.汽车撞车过程中，如果满载货物，汽车的动能大，要在相同的距离中停下来，受到的撞击力就大，汽车的损伤严重.
2.(1)小朋友对足球的作用力为变力，而求解变力对物体做的功需要依据动能定理来处理.对踢球过程分析，由动能定理W＝mv2/2=3.2 J.
(2)分析本题要注意小球被“缓慢”拉起，则施加的外力为变力，所以我们要依据动能定理来求解外力F对小球做的功，另外，要注意到求解恒力功时，应该是力与物体在力的方向上的位移的乘积，所以重力对物体做的功与路径无关.由动能定理得W－mgl(1－cosθ)=0，所以可得外力F对小球做的功为W=mgl(1－cosθ).
3.消防员在下落过程中，对其做功的只有重力和地面对脚的支持力，对全程用动能定理得mg(H+h)－Fh=0，代入数据分析可得，地面对双脚的缓冲力是其重力的5倍.
知识总结
通过本节的学习，要求学生充分理解动能定理的物理意义并总结应用动能定理解决问题的一般步骤.动能定理是定量地解决做功与物体动能变化之间的关系的物理规律，是在中学阶段求解变力做功的基本方法和依据.在应用动能定理解决问题时，需要注意:①注意初末状态的确定，对于一个复杂的物理过程既可以分成几个物理过程分别应用动能定理，也可以对全程应用动能定理.②动能定理表达式中的速度均为物体的对地速度，若题目中给出的不是物体的对地速度，需要先转化为对地速度再应用动能定理.③列动能定理的表达式时要注意，等号左侧是合外力对物体做的总功，右侧为物体动能的增量，不能混淆.
