机械能守恒定律、功能关系 同步练习
1．如图竖直轻弹簧下端固立在水平地面上，质量为m的小球，从轻弹簧的正上方某一高处自由落下，并将弹簧压缩，直到小球的速度变为零，对于小球、轻弹簧和地球组成的系统，在小球开始与弹簧接触到小球速度变为零的过程中，有（ A ）
A．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越大．
B．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越小．
C．小球的动能和重力势能的总和越来越大，小球的动能和弹性势能的总和越来越大．
D．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越小．
2．光滑水平面上有一个静止的木块，枪沿水平方向先后发射两颗质量和速度都相同的子弹，两子弹分别从不同位置穿过木块．假设两子弹穿过木块时受到的阻力大小相同，忽略重力和空气阻力的影响，那么在两颗子弹先后穿过木块的过程中（ C ）
?A．两颗子弹损失的动能相同? B．木块两次增加的动能相同
C．因摩察而产生的热量相同 D．木块两次移动的距离相同
3．如图所示，A、B两物体用一根轻弹簧相连，放在光滑水平地面上，已知mA = 2mB．A物体靠在墙壁上，现用力向左缓慢推B物体，压缩弹簧，外力做功W，突然撤去外力，B物体将从静止开始向右运动，以后将带动A物体一起做复杂的运动，从A物体开始运动以后的过程中，弹簧的弹性势能最大值为 （ B ）
A．W B．W C．W D．无法确定
4．在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m，现B球静止，A球向B球运动，发生正碰，已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为Ep，则碰前A球的速度等于（ C ）
A． B． C．2 D．2
5．如图所示，离水平地面高1．5L的一个光滑小定滑轮上，静止地搭着一根链条．该链条长为L，质量为m （可以看作质量分布均匀）．由于受到一个小小的扰动，链条开始无初速滑动，最后落到水平面上．问：
⑴当该链条的一端刚要接触地面的瞬间（整个链条还在空间），链条的速度是多大？
⑵现在用一根细绳的一端a系住链条的一端，轻绳跨过定滑轮后，将绳拉紧，并在其另一端b用竖直向下的力F缓慢地拉链条，使它仍然搭到定滑轮上去，最终重新静止在定滑轮上，那么拉力F做的功是多少？（不计空气阻力）
答案：（1）从图中可以看出该过程链条重心下降的高度为3L/4
链条下落过程用机械能守恒定律： 解得：
（2）从图中可以看出该过程链条重心上升的高度为5L/4
将链条拉回的全过程用动能定理： 因此
6.如图所示，半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：
（1）A球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
答案：该系统在自由转动过程中，只有重力做功，机械能守恒。设A球转到最低点时的线速度为VA，B球的速度为VB，则据机械能守恒定律可得：
mgr-mgr/2=mvA2/2+mVB2/2
据圆周运动的知识可知：VA=2VB
由上述二式可求得VA=
设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ，则据机械能守恒定律可得： mgr.cosθ-mgr(1+sinθ)/2=0 得θ=sin-13/5 。
7．质量为m的小球固定在光滑轻细杆的上端，细杆通过光滑限位孔保持竖直。在光滑水平面上放置一质量为M＝2m的凹形槽，凹形槽的光滑内表面如图所示，AB部分是斜面，与水平面成θ＝30°，BCD部分是半径为R的圆弧面，AB与BCD两面在B处相切。让细杆的下端与凹形槽口的左边缘A点接触。现将小球释放，求：
（1）当轻细杆的下端滑到凹形槽的最低点C时， 凹形槽的速度是多大；
（2）轻细杆的下端能否运动到凹形槽口的右边缘 D点；（只要回答“能”或“不能”，不需说明原因）
（3）当轻细杆的下端滑到B点的瞬间，小球和凹形槽的速度各是多大。
答案：（1）当轻细杆的下端运动到最低点C时，小球的速度为零，小球减少的重力势能转化为凹形槽的动能，由能量转化守恒定律 又 M=2m
得凹形槽的速度：
（2）能。
（3）当轻细杆的下端从A点相对滑动到B点时，
小球的速度v1与凹形槽的速度v2之间的关系如右图所示：得：
由系统能量转化守恒定律 又 M=2m
解得：
8．如图所示，劲度系数为k=200N/m的轻弹簧一端固定在墙上，另一端连一质量为M=8kg的小车a，开始时小车静止，其左端位于O点，弹簧没有发生形变，质量为m=1kg的小物块b静止于小车的左侧，距O点s=3m，小车与水平面间的摩擦不计，小物块与水平面间的动摩擦系数为μ=0.2，取g=10m/s2。今对小物块施加大小为F=8N的水平恒力使之向右运动，并在与小车碰撞前的瞬间撤去该力，碰撞后小车做振幅为A=0.2m的简谐运动，已知小车做简谐运动周期公式为T=2，弹簧的弹性势能公式为Ep=（x为弹簧的形变量），则
（1）小物块与小车磁撞前瞬间的速度是多大？
（2）小车做简谐运动过程中弹簧最大弹性势能是多少？小车的最大速度为多大？
（3）小物块最终停在距O点多远处？当小物块刚停下时小车左端运动到O点的哪一侧？
答案：（1）设磁撞前瞬间，小物块b的速度为v1，小物块从静止开始运动到刚要与小车发生碰撞的过程中，根据动能定理可知Fs-μmgs=mv1 解得v1=6m/s
（2）由于小车简谐振动的振幅是0.2m，所以弹簧的最大形变量为x=A=0.2m
根据弹性势能的表达式可知最大弹性势能Epm=kA2 解得Epm=4J
根据机械能守恒定律可知小车的最大动能应等于弹簧的最大弹性势能
所以kA2=Mvm2 解得小车的最大速度vm=1m/s
（3）小物块b与小车a磁撞后，小车a的速度为vm，设此时小物块的速度为v1/，设向右为正方向，由动量守恒定律有 mv1=mv/1+Mvm 解得v1/=--2m/s
接着小物块向左匀减速运动一直到停止，设位移是s1，所经历的时间为t1，根据动能定理可知
-μmgs1=0-mv1/2 解得s1=1m
物块作匀减速运动时的加速度为 a==μg=2m/s2 t1=1s
小车a振动的周期T=2s
由于T＞t1＞T，所以小车a在小物块b停止时在O点的左侧，并向右运动。
研究机械能守恒定律 同步测控
我夯基 我达标
1.关于机械能是否守恒的叙述，正确的是（ ）
A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B.做匀变速直线运动的物体机械能可能守恒
C.外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D.只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒
解析：机械能守恒的条件是除重力之外的力所做的功为零，所以选项C错误，D正确.若物体在竖直方向上做匀速直线运动，除重力外必定受到其他力的作用，机械能不守恒，所以选项A错误.若物体做匀变速直线运动（如自由落体运动），机械能可能守恒，所以选项B正确.
答案:BD
2.（经典回放）如图4-2-10所示的四个图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动.在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是（ ）
图4-2-10
解析：该题考查机械能守恒的判断，对于A、B选项外力F对物体做功，机械能不守恒.C选项中木块只有重力做功，机械能守恒.D选项中有摩擦力做功，机械能也不守恒.
答案:C
3.（经典回放）如图4-2-11所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是（ ）
图4-2-11
A.重力势能和动能之和总保持不变 B.重力势能和弹性势能总保持不变
C.动能和弹性势能之和总保持不变 D.重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
解析：此题用能量转化来判断，取小球、弹簧、地球为系统，在系统内，只有重力势能、弹性势能和动能的相互转化，没有机械能与其他形式能间的转化，所以机械能守恒.
答案:D
4.如图4-2-12所示，桌面高为h，质量为m的小球从桌面上方高为H处自由落下.不计空气阻力，假设桌面处为零势能位置，则小球落到地面前瞬间的机械能为（ ）
图4-2-12
A.mgh B.mgH C.mg(H+h) D.mg(H-h)
解析：题目规定桌面处为零势能位置，则开始时小球的动能为零，势能为mgH,所以总的机械能为mgH.小球下落过程中机械能守恒，所以小球运动到任意位置时机械能的总量均为mgH，故正确选项为B.
答案:B
5.将物体由地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H.当物体在上升过程中的某一位置，它的动能和重力势能相同，则这一位置的高度为（ ）
A.2H/3 B.H/2 C.H/3 D.H/4
解析：子弹在上升过程中机械能守恒，设刚发射时重力势能为零，由机械能守恒定律得：
mgH＝Ek+Ep，由题目条件得：Ek＝Ep，Ep＝mgh，解以上三式得：h＝H/2.
答案:B
6.一个质量为m的物体以a＝2g的加速度竖直向下加速运动，则在物体下落h高度的过程中，物体的…（ ）
A.重力势能减少了2mgh B.动能增加了2mgh
C.机械能保持不变 D.机械能增加了mgh
解析：物体以a＝2g的加速度竖直向下加速运动，则物体除重力外一定受到向下的外力F=mg的作用，机械能不守恒，选项C错误.机械能的增加量应等于外力F所做的功，即WF＝mgh，所以选项D正确.重力势能的减小量应等于mgh，所以选项A错误.根据动能定理，动能的增加量应等于合外力所做的功W合＝2mgh，所以选项B正确.
答案:BD
7.如图4-2-13所示，物体沿30°的固定斜面以g/2(g为重力加速度大小)的加速度匀减速上升，则在此过程中，物体的机械能是（ ）
图4-2-13
A.不变的 B.减小的 C.增加的 D.不能判断的
解析：本题考查判断机械能是否守恒.由物体沿30°的固定斜面以g/2(g为重力加速度大小)的加速度匀减速上升知，只有重力做功，因此机械能守恒.
答案:A
8.从空中某处平抛一个物体，不计空气阻力，物体落地时，末速度与水平方向的夹角为α，取地面物体重力势能为零，则物体抛出时，其动能与重力势能之比为（ ）
A.sin2α B.cos2α C.tan2α D.cot2α
解析：物体做平抛运动，落地时末速度与水平方向的夹角为α，如图所示知水平方向和竖直的关系为cotα=，物体抛出时的动能是mv02,取地面为零势能面，物体抛出时的重力势能为mgh，由动能定理知
mgh＝mv2-mv02=mvy2=m(v0tanα)2=mv02tan2α,所以=cot2α.
答案:D
9.如图4-2-14所示，轻质弹簧的一端与墙相连，质量为2 kg的滑块以5 m/s的速度沿光滑水平面运动并压缩弹簧，则弹簧在被压缩过程中最大弹性势能为__________J，当滑块的速度减为2 m/s时，弹簧的弹性势能为_____________J.
图4-2-14
解析：该题考查机械能的转化与守恒.滑块和弹簧组成的系统的机械能是守恒的，当滑块的动能全部转化为弹性势能时，弹性势能最大，即Ep=mv2=×2×52=25 J；
当滑块的速度为2 m/s时，Ep=mv02-mvt2=×2×52 J-×2×22 J=21 J.
答案:25 21
10.（经典回放）随着人类能源消耗的迅速增加，如何节约能源、有效地提高能源利用率是人类所面临的一项重要任务.如图4-2-15所示是上海“明珠线”某轻轨车站的设计方案，与站台连接的轨道有一个小的坡度.
图4-2-15
（1）探究这种设计方案的优点.
（2）如果坡高h＝1.8 m，电车到达A点便切断电源，如果不考虑电车所受的摩擦力，则电车能冲上站台的最小速度是多少？
解析：（1）列车进站时，利用上坡使一部分动能转化为重力势能，减少了因刹车而损耗的能量，列车出站时利用下坡再把储存的重力势能转化为动能，从而起到节能的作用.
（2）列车在上坡过程中机械能守恒
ΔEp=mgh
ΔEk=0-mv2
又因为ΔEk+ΔEp=0
所以v=60 m/s
答案:（1）见解析 （2）6 m/s
11.用细绳拴着质量为m的小球，绳长为l，如图4-2-16所示，今将小球拉到水平位置，然后放手.求：
图4-2-16
(1)小球到达最低点B时的速度.
(2)小球到达最低点B时，绳对它的拉力.
解析：考查圆周运动和机械能守恒.小球从A点运动到B点过程中做圆周运动，只有重力做功，弹力不做功，机械能守恒.根据机械能守恒可求出小球到达最低点B时的速度，由圆周运动可求出小球在B点所受到的拉力.
(1)小球在运动过程中受重力mg和绳的拉力T的作用，由于小球在竖直平面内做圆周运动，T和小球的位移方向垂直，不做功，只有重力对小球做功，因此机械能守恒.以最低点B为零势能位置，则
在A点时，动能EkA=0，重力势能EpA=mgl
在B点时，动能EkB=mvb2，重力势能EpB=0
EkA+EpA=EkB+EpB
mgl=mvb2
vb=.
(2)小球运动到B点时，受竖直向下的重力mg和竖直向上的拉力Tb作用，合力即为小球做圆周运动时所需的向心力.
所以Tb-mg=,而vb2=2gl
所以Tb=mg+m =3mg.
答案:（1） （2）3mg
12.(高考北京卷)如图4-2-17是简化后跳台滑雪的雪道示意图.整个雪道由倾斜的助滑雪道AB和着陆雪道DE，以及水平的起跳平台CD组成，AB与CD圆滑连接.运动员从助滑雪道AB上由静止开始，在重力作用下，滑到D点水平飞出，不计飞行中的空气阻力，经2 s在水平方向飞行了60 m，落在着陆雪道DE上，已知从B点到D点运动员的速度大小不变.（g取10 m/s2）求：
图4-2-17
（1）运动员在AB段下滑到B点时的速度大小；
（2）若不计阻力，运动员在AB段下滑过程中下降的高度.
解析：(1)运动员从D点飞出时的速度v==30 m/s
依题意，下滑到助滑雪道末端B点的速度大小是30 m/s.
(2)在下滑过程中机械能守恒，有
mgh=mv2
下降的高度h==45 m.
答案:（1）30 m/s （2）45 m
13.(高考全国卷Ⅱ)如图4-2-18所示，一固定在竖直平面内的光滑半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5 m，轨道在C处与水平地面相切.在C放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5 m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D间的距离s.取重力加速度g=10 m/s2.
图4-2-18
解析：设小物块的质量为m，过A处时的速度为v，由A到D经历的时间为t，有
mv02=mv2+2mgR
2R＝gt2
s=vt
代入数据得
s＝1 m.
答案:1 m
14.(广东高考大综合A卷)游乐场的过山车的运动过程可以抽象为图4-2-19所示模型.弧形轨道下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开.试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点（已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力）.
图4-2-19
解析：由机械能守恒定律得:mgh＝mg2R+mv2
在圆轨道最高处：mg＝m
v＝v0
h=R.
答案:R
我综合 我发展
15.如图4-2-20所示为一物体从离地面某一高度开始自由下落过程中,动能、势能、机械能随下落距离h变化的图像，下列判断正确的是（ ）
图4-2-20
A.Oc表示重力势能 B.Oc表示动能
C.ab表示重力势能 D.ac表示机械能
解析：在下落过程中，由于机械能守恒，动能等于重力势能的减小量，即动能与h成正比，所以选项B正确.机械能由于守恒而保持不变，重力势能逐渐减小，所以选项A错误，C、D正确.
答案:BCD
16.如图4-2-21所示，一小球从倾角为30°的固定斜面上的A点水平抛出，初动能为6 J，落至斜面上B点时，其动能为_____________.
图4-2-21
解析：小球由A至B做平抛运动，由平抛运动的规律及几何知识有：
gt2＝v0ttan30°，即t＝v0
小球到达B点时竖直方向分速度为：vy＝gt＝v0
小球到达B点时的动能为：Ek＝mvB2＝m(v02+vy2)＝·mv02＝14 J.
答案:14 J
17.如图4-2-22所示，质量皆为m的小球分别用细绳和弹簧连接，绳与弹簧的另一端固定在同一水平面上的O1、O2两点.将两球从同一高度释放后（开始时弹簧无形变且绳长相等），关于两球的机械能是否守恒，有甲、乙两个同学作了如下分析：
图4-2-22
甲：两球的机械能都守恒，根据机械能守恒的条件，如果只有重力和弹力做功，则机械能守恒，在a图中，绳的拉力不做功，重力对球做功，机械能守恒；在图b中，弹簧的拉力和重力对球做功，b球的机械能也守恒.
乙：a球的机械能守恒,b球的机械能不守恒，在a图中，只有重力势能和动能的转化，球的机械能守恒;在b图中，在球摆动过程中，球的机械能与弹簧的弹性势能发生转化，所以b球的机械能不守恒.
根据所学过的知识，判断哪个同学分析得对.
解析：对b球来说，除了重力做功外，弹簧的弹力对b球也做功，而弹力对b球应为外力，所以b球的机械能不守恒，但若选b球和弹簧为系统，则系统的机械能守恒.
答案:乙同学分析得对.
18.如图4-2-23所示，质量均为m的三个小球A、B、C用两条长为l的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上，l＞h，A球刚跨过桌边.若A球、B球相继下落着地后均不再反弹，求：
图4-2-23
（1）B球离开桌边的速度大小;
（2）C球离开桌边的速度大小.
解：（1）设B离开桌边的速度为vb
A球下落的过程中，A、B、C系统机械能守恒
ΔEp=-mgh
ΔEk=3×mvb2
因为ΔEp+ΔEk=0
所以vb=.
（2）设C球离开桌边的速度为vC
B球下落的过程中，B、C系统机械能守恒
ΔEp=-mgh
ΔEk=2×mvC2-2×mvB2
因为ΔEp+ΔEk=0
所以vc=.
答案:（1） （2）
19.(经典回放)如图4-2-24所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k, A、B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.若将C换成另一个质量为（m1+ m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度大小是多少？已知重力加速度为g.
图4-2-24
解析：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1=m1g①
挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有
kx2=m2g②
B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为
ΔE＝m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2)③
C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得
(m3+m1)v2+m1v2=(m3+m1)g(x1+x2)－m1g(x1+x2)－ΔE④
由③④式得(m3+2m1)v2=m1g(x1+x2)⑤
由①②⑤式得v=.
答案:
研究机械能守恒定律 同步练习
1.关于机械能是否守恒的叙述，正确的是
A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B.做变速运动的物体机械能可能守恒
C.外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D.若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
答案：BD
2.将物体由地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H，当物体在上升过程中的某一位置，它的动能和重力势能相同，则这一位置的高度为
A.2H/3 B.H/2
C.H/3 D.H/4
答案：B
3.一个质量为m的物体以a＝2g的加速度竖直向下运动，则在物体下落h高度的过程中，物体的
A.重力势能减少了2mgh B.动能增加了2mgh
C.机械能保持不变 D.机械能增加了mgh
答案：BD
4.如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的过程中，下列关于能量的叙述中正确的是
A.重力势能和动能之和总保持不变
B.重力势能和弹性势能之和总保持不变
C.动能和弹性势能之和保持不变
D.重力势能、弹性势能和动能三者之和保持不变
答案：D
5.以初速度30 m/s竖直上抛一个物体，并以抛出点所处的水平面为参考平面，当物体的重力势能为其动能的2倍时，物体所处的高度为_____m；当物体的动能为其重力势能2倍时，其速度大小为v＝_______m/s.(g＝10 m/s2)
答案：30 10
6.要使一个小球着地后回跳的最大高度超过小球初位置高度的5倍，必须用多大的初速度将它竖直上抛？(不计空气阻力以及球和地面碰撞时的机械能损失，设小球抛出时离地高为h)
答案：v=2
7.跳台滑雪起源于挪威，又称跳雪.1860年，挪威德拉门地区的两位农民在奥斯陆举行的首届全国滑雪比赛上表演了跳台飞跃动作，后逐渐成为一个独立项目并得到推广.跳台滑雪在1924年被列为首届冬奥会比赛项目.如图为一跳台的示意图.假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他机械，沿光滑的雪道到达跳台的B点时速度为多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，取g＝10 m/s2)
答案：vB=4 m/s vB=16.73 m/s
8.物体的质量为m，沿光滑的弯曲轨道滑下，轨道的形状如图所示，与弯曲轨道相接的圆轨道的半径为R，要使物体沿光滑圆轨道能通过最高点，物体应从离轨道最低点多高的地方由静止滑下？
答案：R
机械能及其守恒定律 同步练习
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.关于功率公式和P=Fv的说法正确的是 （ ）
A.由知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
B.由P=Fv只能求某一时刻的瞬时功率
C.从P=Fv知汽车的功率与它的速度成正比
D.从P=Fv知当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
2.下列物体中，机械能守恒的是 （ ）
A.做平抛运动的物体
B.被匀速吊起的集装箱
C.光滑曲面上自由运动的物体
D.以的加速度竖直向上做匀减速运动的物体
3.下列几种情况下力F都对物体做了功
①水平推力F推着质量为m的物体在光滑水平面上前进了s ②水平推力F推着质量为2m的物体在粗糙水平面上前进了s ③沿倾角为θ的光滑斜面的推力F将质量为ｍ的物体向上推了s。下列说法中正确的是（ ）.
A.③做功最多 B.②做功最多 C.做功都相等 D.不能确定
4.两个物体质量比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比为（ ）
A.1∶1 B.1∶4 C.4∶1 D.2∶1
5.下列关于运动物体所受合外力做功和动能变化的关系正确的是（ ）
A.如果物体所受合外力为零，则合外力对物体做的功一定为零
B.如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零
C.物体在合外力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D.物体的动能不变，所受合外力一定为零
6.质量为m的子弹，以水平速度v射入静止在光滑水平面上质量为M的木块，并留在其中，下列说法正确的是（ ）
A.子弹克服阻力做的功与木块获得的动能相等
B.阻力对子弹做的功与子弹动能的减少相等
C.子弹克服阻力做的功与子弹对木块做的功相等
D.子弹克服阻力做的功大于子弹对木块做的功
7.关于机械能是否守恒的叙述，正确的是（ ）
A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B.做变速运动的物体机械能可能守恒
C.外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D.若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
8.物体在地面附近以2 ｍ/s2的加速度沿竖直方向匀减速上升，则在上升过程中，物体的机械能的变化是（ ）
A.不变 B.减少 C.增加 D.无法确定
9.质量为m的物体，在距地面h高处以的加速度由静止竖直下落到地面，下列说法中正确的是（ ）
A.物体重力势能减少 B.物体的机械能减少
C.物体的动能增加 D.重力做功mgh
10.如图所示，站在汽车上的人用手推车的力为F，脚对车向后的静摩擦力为F′，下列说法正确的是（ ）
A.当车匀速运动时，F和F′所做的总功为零
B.当车加速运动时，F和F′的总功为负功
C.当车加速运动时，F和F′的总功为正功
D.不管车做何种运动，F和F′的总功都为零
二、填空题（每题4分，共20分）
11.如图：用F =40 Ｎ的水平推力推一个质量m＝3.0 kg的木块，使其沿着光滑斜面向上移动2 ｍ，则在这一过程中，F做的功为_____J，重力做的功为_____J.（g＝10ｍ/s2）
12.设飞机飞行时所受的阻力与其速度的平方成正比.如果飞机以速度v匀速飞行时其发动机的功率为P，则飞机以2 v的速度匀速飞行时其发动机的功率为__ ___.
13.从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受到的空气阻力是它重力的k倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，则小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程为
14.一个质量为m的小球拴在绳一端，另一端受大小为F1的拉力作用，在水平面上做半径为R1的匀速圆周运动，如图所示.今将力的大小变为F2，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径变为R2，则此过程中拉力对小球所做的功为 .
15.用汽车从井下提重物，重物质量为m，定滑轮高H，如图所示.已知汽车由A点静止开始运动至B点时速度为vB，此时细绳与竖直方向夹角为θ，则这一过程中绳的拉力做的功为 .
三、实验题（12分）
16. 在“验证机械能守恒定律”的实验中，已知打点计时器所用电源的频率为50Hz。查得当地的重力加速度为g＝9.80m／s2，某同学选择了一条理想的纸带，用刻度尺测量时各计数点对应刻度尺的读数如图所示。图中O点是打点计时器打出的第一个点，A、B、C、D分别是每打两个点取出的计数点，则重物由O点运动到B点时，求；（重物质量为m）
（1）重力势能减小量为多少？（4分）
（2）动能的增加量是什么？ （4分）
（3）根据计算的数据可得出什么结论？产生误差的主要原因是什么？（4分）
四、计算题（共28分）
17.（8分）某人利用如图所示的装置，用100N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端，将物体从水平面上的A点移到B点.已知α1=30°，α2＝37°，h=1.5m.不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦.求绳的拉力对物体所做的功.
18. （8分）人的心脏每跳一次大约输送8×10-5m3的血液，正常人血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值约为1.5×104Pa，心跳约每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率.
19.（12分）人从一定的高度落地容易造成骨折。一般人胫骨的极限抗压强度约为1.5×108N/m2，胫骨最小横截面积大多为3.2cm2。假若一质量为50kg的人从某一高度直膝双足落地，落地时其重心又下降约1cm。试计算一下这个高度超过多少时，就会导致胫骨骨折。（g取10m/s2）
参考答案
1.D 2.AC 3.C
4.C 由动能定义：Ek1∶Ek2＝m1v12∶m2v22＝4∶1.
5.A 如果合外力做的功为零，但合外力不一定为零.可能物体的合外力和运动方向垂直而不做功，B选项错.物体做变速运动可能是速度方向变化而速度大小不变.所以，做变速运动的物体，动能可能不变，C选项错.物体动能不变，只能说合外力不做功，但合外力不一定为零，D选项错.
6.BD 子弹击中木块打入一定的深度并留在其中.子弹和木块所受水平作用力（相互摩擦力）大小相等，可认为是恒力.但二者的位移大小不同，做功不同，故二者的动能变化并不相等.
7.BD 判断机械能是否守恒，依据是重力以外的力是否做了功，不管物体是做匀速运动还是变速运动，也不管物体是做直线运动还是做曲线运动，只要重力以外的力不做功，机械能就一定守恒.外力做功为零，并不意味着重力以外的力做功为零，所以，机械能不一定守恒.选项B、D正确.
8.C 物体加速度2m/s2，方向向下，除重力外，必定受到向上的作用力，物体上升过程中除重力外其它力对物体作正功，其机械能一定增加。
9.B D
10.A B
11. 69.3 J；－30 J
12.8P
13.H/k
14.（F2R2-F1R1）
15.WT = mgH（）+mvB2sin2θ
16. 解： （1）重力势能的减小量为：（J）
（2）重锤下落到B点时的速度为（m/s）
重锤下落到B点时增加的动能为（J）
（3）在实验误差允许的范围内，重锤减小的重力势能等于其动能的增加，验证了机械能守恒定律。
重锤减小的重力势能略大于其增加的动能，其原因是重锤在下落时要受到阻力作用（对纸带的摩擦力、空气阻力），必须克服阻力做功，减小的重力势能等于增加的动能加上克服阻力所做的功。
点拨：本题是一个非常典型的验证机械能守恒定律的题目。它涉及到了验证机械能守恒定律的基本原理和误差来源的分析。要验证机械能守恒定律必须利用力学知识及动能、势能知识来解决。
17. 解析：绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所以，不能直接根据W=Fscosα求绳的拉力对物体做的功.由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力F做的功和绳的拉力对物体做的功相等.本题可以通过求恒力F所做的功求出绳的拉力对物体所做的功.由于恒力F作用在绳的端点，需先求出绳的端点的位移s，再求恒力F的功.由几何关系知，绳的端点的位移为
=0.5m.
在物体从A移到B的过程中，恒力F做的功为
W=Fs=100×0.5J=50J
所以，绳的拉力对物体做的功为50J.
18. 解析：人的心脏每跳一次输送的血液看作长为L，截面积为S的液柱，心脏每跳一次需做的功为Ｗ＝FL＝pSL=pΔV
心跳每分钟70次，则心脏工作的平均功率为
W=1.4W
说明：这类题目的研究对象不是太明确.解题时首先要明确心脏对血液做功，其次，要建立研究对象的模型（如本题中的圆柱体模型），从而推出功和功率的表达式.
19解析：由题意知，胫骨最小处所受冲击力超过
F=时会造成骨折。
设下落的安全高度为h1，触地时重心又下降高度为h2，落地者质量为m，落地速度为v，与地碰撞时间为
由动能定理mg（h1+h2）-Fh2=0
所以h1=
代入数据得h1=
研究机械能守恒定律-例题思考
机械能是由于物体的机械运动而具有的能量，它包括动能、重力势能和弹性势能三种形式的能量，当能量仅在这三种形式的能量之间转化时，物体的机械能保持不变，这就是机械能守恒.要应用机械能守恒分析问题，必须明确机械能守恒的条件：只有重力(或弹簧中弹力)对物体做功；除重力和弹簧中弹力以外的其他力对物体做功为零.另外，使用机械能守恒定律Ek1+Ep1=Ek2+Ep2分析问题时，其研究对象是一个物体系统，并且要选择势能零点.
【例1】 下列物体中，机械能守恒的是
A.做平抛的物体
B.被匀速吊起的集装箱
C.光滑曲面上自由运动的物体
D.以4g/5的加速度竖直向上做减速运动的物体
思路：物体的运动形式可能有多种，判断机械能是否守恒，关键看是否只有重力做功.机械能守恒常见的情况有：一是物体只受重力作用；二是物体虽然受到除重力以外的其他力作用，但只有重力做功.物体在做平抛运动或沿光滑曲面下滑时，对物体做功的只有重力，机械能守恒；物体向上匀速运动和以4g/5的加速度向上减速运动时，除重力以外的其他力都要做功，机械能不守恒.
答案：AC
【例2】 如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根长为L的轻杆连接(杆的质量可不计)，两小球可绕穿过杆中心O的水平轴无摩擦地转动，现让轻杆处于水平位置，然后无初速释放，重球b向下，轻球a向上，产生转动，在杆转至竖直的过程中
A.b球的重力势能减少，动能增加 B.a球的重力势能增加，动能增加
C.a球和b球的总机械能守恒 D.a球和b球的总机械能不守恒
思路：由于不计一切摩擦和阻力，a和b两个球组成的系统中，只存在动能和重力势能的相互转化，系统的机械能守恒.其中a球的动能和势能均增加，机械能增加，杆中力对a做正功；b球的重力势能减少，动能增加，总的机械能减少，杆中力对b球做负功.
答案：ABC
【例3】 如图所示，均匀铁链长为L，平放在光滑的水平桌面上，其中五分之一悬垂于桌边，从静止开始释放铁链，当铁链全部离开桌面的瞬间，铁链的速度为多大？
思路：本题考查了机械能守恒定律的应用.注意在铁链释放前其重心虽然在桌面上，但是释放后只有脱离桌面部分的重力才是做功的，所以在释放前要表示铁链的重力势能，需要分段处理.
解析：对铁链分析，在下落过程中对其做功的只有重力，所以铁链的机械能守恒，选择桌面处为重力势能零点，则由机械能守恒得：－mg·L=－mgmv2
所以可解得v=.
答案：v=
【例4】 在利用打点计时器验证自由下落的物体机械能守恒的实验中，设在打O点时释放物体，打点计时器打A点时物体的速度为v，如图所示.一个同学在实验报告中称，他测得v=2.36 m/s，h=28.76 cm,据此可得：v2=2.785 m2/s2,gh=2.718 m2/s2，在误差范围内两者相等，老师批阅：“数据非实验所得”.其理由是__________.
思路：分析本题的关键是要清楚，我们在做验证机械能守恒定律的实验中，摩擦和阻力是不可能避免的，因此，重物在下落过程中减少的重力势能不会比动能的增加量小.
解析：由题目中所给的数据分析，重物在从O点下落到A点的过程中，动能的增加量为ΔEk=2.785m，减少的重力势能为ΔEp=2.718m，即ΔEk＞ΔEp，这是进行正确的实验操作不可能得到的数据，故题目中所述数据非实验所得.
答案：由于阻力存在，重锤动能增量不可能大于重力势能减少量.
【例5】 荡秋千是一种常见的娱乐休闲活动，也是我国民族运动会上的比赛项目.若秋千绳的长度为2.0 m，荡到最高点时秋千绳与竖直方向成60°角，求荡到最低点时秋千的速度大小.(忽略空气阻力和摩擦)
思路：秋千在摆动的过程中，做的是曲线运动，利用前面我们学过的牛顿第二定律和匀变速运动规律是无法处理的，但是只要注意到秋千在摆动过程中做功的只有重力，其机械能守恒，我们就可以轻松求解了.
解析：摆动过程对秋千受力分析如图.在下摆过程中绳中拉力始终与速度方向垂直，对秋千不做功，做功的只有重力，故秋千摆动过程中机械能守恒.设秋千摆动到最低点时的重力势能为零，由机械能守恒定律得：
mgl(1－cosθ)=mv2
所以v==4.4 m/s.
答案：4.4 m/s
点评：本题利用生活中常见的实例，引导学生利用所学的知识进行解释、分析，有利于培养学生理论联系实际的能力，并且也符合新课程标准的要求.另外，本题还提供了一种分析解决曲线运动的方法.
研究机械能守恒定律-知识探讨
合作与讨论
1.骑自行车以某一速度上坡时，如果我们不再用力蹬车，随着高度的增加，车速会逐渐减小，这是为什么呢？
(1)上坡过程中，如果不计摩擦阻力，你分析一下，对人和车做功的有几个力？
(2)上坡的过程中人和车的重力势能如何变化？他们的动能又如何变化？
(3)你能猜想一下，不计阻力的情况下，上坡过程中人和车具有的动能和势能之和如何变化吗？
2.打桩机在打击铁桩时，先把它的重锤高高地拉起，然后由静止释放，落下打在铁桩上，这里面包含了什么样的物理知识呢？
(1)重锤被拉高的过程中，对其做功的有几个力？他们分别对其做正功还是负功？重锤的机械能如何变化？
(2)重锤下落的过程中，如果不计空气阻力，其能量是如何转化的？总的机械能如何变化？你能根据前面所学过的知识试着分析、计算吗？
3.跳台跳水是奥运会的重要的比赛项目，也是我国的传统强项.图为跳水运动员跳水过程中的情景，假设她由静止离开跳台，并且在下落过程中空气阻力不计，你能分析她在下落过程中运动到某位置时的速度和机械能吗？
(1)运动员在下落过程中做什么运动？回忆过去我们学过的知识，试着分析一下.
(2)设运动员在下落过程中可以看成质点，A、B是她运动过程中的两点，A在跳台的下方的高度为h，B在A的下方H处，你能求出她到达A、B两点的速度为多大吗？
(3)设运动员的质量为m，选择跳台处为重力势能零点，你能写出她在A、B两点的机械能吗？试着写出来，并比较它们的大小关系.
4.机械能包含动能、重力势能和弹性势能，当能量只在这三种形式的能量之间转化时，物体所具有的总能量保持不变，也就是机械能守恒.机械能守恒的条件是只有重力(或弹簧中弹力)对物体做功；或除重力、弹簧中弹力以外的其他力做功为零.你分析一下下列实例中物体的机械能是否守恒.
(1)荡秋千是小朋友们喜欢的活动，如图所示，一个小朋友正在荡秋千，如果不计一切阻力和绳索的重力，小朋友的机械能守恒吗？
(2)瀑布是水流从高处落下形成的美丽自然景观.水流在下落过程中的能量如何转化？如果不计一切阻力，水流在下落过程中的机械能守恒吗？
(3)流星从高空向地球坠落的过程中，在进入大气层之前，可以看作只受地球的引力作用，那么，流星在进入大气层之前的机械能守恒吗？
(4)射箭的时候，运动员先把弓弦拉满，储存弹性势能，然后放手释放弹性势能，你分析一下，运动员松手后，箭和弓弦组成的系统中，能量如何转化？总的机械能是否守恒？
5.在课本第63页中，提供的实验二是我们常用的验证机械能守恒的实验装置和方案.你能根据对实验的分析回答下列问题吗？
(1)在本实验中，我们要验证机械能守恒定律，必须尽可能地减小阻力的影响，为此我们应该选择什么样的重锤呢？打点计时器应该如何架放？
(2)实验时，我们是先打开电源还是先释放纸带？为什么？
(3)在选择纸带时，我们要求除了点迹清晰以外，还要求第一、二点间距接近2 mm，这是为什么呢？
(4)本实验要验证机械能守恒定律，我们需不需要用天平测重锤的质量？为什么？
(5)在处理数据时，我们得到的物体重力势能的减少量总是比物体动能的增加量大一些，这是为什么？你能解释一下吗？
我的思路:1.(1)车上坡过程中，对车做功的只有重力，人和车的动能减少，重力势能增加.
(2)人和车重力势能与动能之和保持不变(可由动能定理推证)
2.(1)重锤被提高的过程中，对重锤做功的有钢索的拉力和重力，拉力做正功，重力做负功，重锤总的机械能变大.
(2)重锤在下落的过程中，只有重力做功，能量从重力势能转化为动能，总的机械能保持不变.
3.(1)运动员由静止从跳台上落下，仅受重力作用，她做的是自由落体运动.
(2)由自由落体运动的规律可得
vA=,vB=.
(3)运动员在A点的机械能为EA=－mgh+mvA2=0;
在B点的机械能为
EB=－mg(H+h)+ mvB2=0,
所以运动员在A、B两位置的机械能相等.
4.机械能包括动能、重力势能、弹性势能三种形式的能量，能量只在这三种形式的能之间转化时，机械能的总量保持不变，机械能守恒.其条件是只有重力或弹簧中弹力对物体做功.在(1)(2)(3)中，对物体做功的只有重力，机械能守恒；在(4)中做功的是重力和弹力，能量在三种形式的能之间转化，机械能守恒.
5.(1)为减小阻力的影响，应该选择密度大、体积小的铁质重锤，打点计时器必须竖直架放.
(2)实验时，应该先开电源后放纸带.
(3)如果重锤做自由落体运动，在一个打点间隔(0.02 s)中，重锤下落的距离为2 mm.如果纸带的第一、二点间距接近2 mm，说明打下第一个点时，纸带的速度为零，并且阻力影响较小.
(4)在本实验中我们得到的表达式为重力势能的减少量等于动能的增加量即mgh=mv2，式中m可以约去，所以不需要用天平测质量.
(5)在本实验中，空气阻力及摩擦不可避免，存在机械能的损失，故重力势能的减少量一定大于动能的增加量.
知识总结
机械能守恒定律是我们中学阶段学习的一条重要的物理规律，也是解决物理问题的重要依据之一.利用机械能守恒定律解题的一般步骤是：①明确研究对象；②对物体进行受力分析，研究运动中各力是否做功，判断物体的机械能是否守恒；③选取参考平面，确定物体在初末状态的机械能；④根据机械能守恒定律列方程求解(选取不同的参考平面，方程的形式不同，但不影响解题结果，故参考平面的选取应以解题方便为原则，一般的是选取地面或系统的最低点).
