万有引力定律是怎样发现的 同步测控
我夯基 我达标
1.关于万有引力定律的正确说法是（ ）
A.天体间万有引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比
B.任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离平方成反比
C.万有引力与质量、距离和万有引力常量都成正比
D.万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体不适用
解析：根据公式F=G可以判断A、C错误，B正确.万有引力定律适用于任意两质点间，所以D错误.
答案：B
2.下列说法正确的是（ ）
A.万有引力定律是卡文迪许发现的
B.F=G中的G是一个比例常数，是没有单位的
C.万有引力定律只是严格适用于两个质点之间
D.物体引力的大小与质量成正比，与此两物间距离平方成反比
解析：万有引力定律是牛顿发现的，所以A错误.G是一个比例常数，并且有单位，所以B错误.万有引力定律适用于两质点之间，所以C正确.万有引力的大小与两物体质量的乘积成正比，与两物体间的距离平方成反比，所以选项D错误.
答案：C
3.人造卫星受到地球的万有引力为F，且F=G，下面说法正确的是（ ）
A.F的方向指向地心
B.式中r是卫星到地面的距离
C.由于卫星的质量m小于地球的质量M，所以卫星对地球的引力F′小于F
D.卫星对地球的引力F′与F是作用力和反作用力
解析：万有引力的方向应沿两质点的连线，地球的全部质量可以看作集中在地心，所以A正确.公式中r为应为卫星到地心的距离，所以B错误.两物体间的万有引力是相互的，为作用力与反作用力，所以C错误，D正确.
答案：AD
4.要使两物体间的万有引力减少到原来的1/4，下列办法可采用的是（ ）
A.使两物体的质量各减少一半，距离不变
B.使其中一个物体的质量减小到原来的1/4，距离不变
C.使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D.距离和两个物体的质量都减为原来的1/4
解析：根据F=G可以判断：A、B、C三个选项中的条件变化，都可使万有引力减小为原来的，A、B、C正确.距离和两个物体的质量都减为原来的1/4，万有引力则不变，D错误.
答案：ABC
5.地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（ ）
A.1∶27 B.1∶9 C.1∶3 D.9∶1
解析：根据F=G，由于引力相等即G，所以
，故选项B正确.
答案：B
6.设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g,则g/g0为（ ）
Ａ.1 Ｂ.1/9 Ｃ.1/4 Ｄ.1/16
解析：本题考查万有引力定律的简单应用.地球表面处的重力加速度和在离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有
F=G=mg,所以=1/16.
答案：D
7.火星的半径是地球半径的一半，火星的质量约为地球质量的，那么在地球上50 kg的人，如果在火星上质量是___________kg，火星表面的重力加速度为___________m/s2，此人在火星上体重为___________N.（取g＝9.8 m/s2）
解析：物体的质量与位置无关，人从地球到火星表面，其质量保持50 kg不变.根据G=mg得g=，g′=,则：=，解得：g′=g＝4.36 m/s2，此人在火星上的体重为G′=mg′＝218 N.
答案：50 4.36 218
8.月球质量是地球质量的，月球的半径是地球半径的.月球上空高500 m处有一质量为60 kg的物体自由下落.(1)它落到月球表面所需要的时间是多少?(2)它在月球上的重力和质量跟在地球上有没有不同(g地=9.8 m/s2)?
解析：(1)设月球表面的“重力加速度”为g月，物体在月球上的“重力”等于月球对它的引力.
mg月=G，mg地=G两式相比得：
×3.82≈
即g月=g地=m/s2≈1.75 m/s2
所以物体在月球上空500 m处自由落下到达月球表面所需要的时间
t=s≈24 s.
(2)物体的质量是恒定的，在月球和地球上的质量都是60 kg，但在月球和地球上的重力不同.
G地=mg地=60×9.8 N=558 N
G月=mg月=60×1.75 N=105 N
答案：（1）约24 s （2）见解析
我综合 我发展
9.荡秋千是大家喜爱的一项体育活动.随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其他星球上享受荡秋千的乐趣.假设你当时所在星球的质量是M、半径为R,可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G.那么，
（1）该星球表面附近的重力加速度g星等于多少？
（2）若经过最低位置的速度为v0,你能上升的最大高度是多少？
解：(1)设人的质量为m,在星球表面附近的重力等于万有引力，有
mg星=
解得g星=
(2)设人能上升的最大高度为h,由功能关系得
mg星h=mv02,解得h=.
答案：（1） (2)
10.（经典回放）宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M.
解析：设抛出点的高度为H，第一次平抛的水平射程为x，则有
x2+H2=L2①
由平抛运动规律得知，当初速度增大为原来的2倍，其水平射程也增大到2x,可得
(2x)2+H2=(L)2②
由方程①②解得H=L
设该星球上的“重力加速度”为g，由平抛运动的规律得
H=gt2③
由万有引力定律与牛顿第二定律得
mg=G④
式中m为小球的质量，联立以上各式，得
M=.
11.（经典回放）一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g行，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81,行星的半径R行与卫星的半径R卫之比R行/R卫=3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比r/R行=60，设卫星表面的重力加速度为g卫，则在卫星表面有：G=mg卫
经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一，上述结果是否正确？若正确，列式证明；若错误，求出正确结果.
解析：上述结果是错误的.题中GM是行星对卫星的万有引力，此万有引力充当卫星的向心力；g卫应是卫星的向心加速度，而非卫星表面重力加速度.
设卫星表面重力加速度为g1，行星表面重力加速度为g2，由万有引力定律得
Gm=g1R卫2，GM=g2R行2
故=0.16.
即卫星表面的重力加速度为行星表面重力加速度的0.16倍.
答案：0.16倍
12.地面上物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，即G，式中r为物体到地球中心的距离.某同学依据上式得出：物体越深入地面以下重力越增加，如果物体接近地球中心，其重力会趋向于无限大.你认为该同学的结论正确吗？
解析：该同学的结论不正确.物体深入地面以下时，应该将地球“分成”若干很小的部分，使每一部分均可视为质点，然后求出各质点对物体的作用力，再求合力.公式G仍可使用.但应注意：这时式中r仍是物体到地心的距离，它小于地球半径，M不表示地球的全部质量，而是指以r为半径的地球内部球体的质量.当物体接近地球中心时，由于地球质量分布的对称性，因此地球的各部分对物体引力的合力为零，即物体在地球中心处的重力为零.
答案：不正确.若物体接近地球中心，其重力为零.
13.某物体在地面上受到的重力为160 N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a＝的加速度加速上升时，在某高度处物体对飞船中支持面的压力为90 N，试求此时宇宙飞船离地面的距离是多少?（已知地球半径R＝6.4×103 km，取g＝10 m/s2）
解析：物体在地面时重力为160 N，则其质量
m＝＝16 kg.
物体在地面时有G=mg
在h高处时有FN-G=ma
解得()2==16
所以＝4，则h＝3R＝19.2×103 km.
答案：19.2×103 km
同步测控
万有引力定律是怎样发现的 同步练习
1.设地面附近的重力加速度为g0，地球半径为R0，人造地球卫星圆形运行轨道半径为R，那么下列说法正确的是
A.卫星在轨道上的向心加速度大小为g0R02/R
B.卫星在轨道上的运行速度大小为
C.卫星运行的角速度大小为
D.卫星运行的周期为2π
答案：ABD
2.人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度大小为v，周期为T.若要使卫星的周期变为2T，可能的办法是
A.R不变，使线速度大小变为v/2 B.v不变，使轨道半径变为2R
C.轨道半径变为R D.无法实现
答案：C
3.两颗靠得较近天体叫双星，它们以两者重心连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起.以下关于双星的说法中正确的是
A.它们做圆周运动的角速度大小与其质量成反比
B.它们做圆周运动的线速度大小与其质量成反比
C.它们所受向心力与其质量成反比
D.它们做圆周运动的半径与其质量成反比
答案：BD
4.两物体质量都是1 kg，相距1 m，则两物体间的万有引力是多少？
答案：6.67×10－11 N
5.1999年11月21日，我国“神舟”号宇宙飞船成功发射并收回，这是我国航天史上重要的里程碑.新型“长征”运载火箭，将重达8.4 t的飞船向上送至近地轨道1，飞船与火箭分离后，在轨道1上以速度7.2 km/s绕地球做匀速圆周运动.试回答下列问题：
(1)轨道1离地心的高度约为
A.8000 km B.1600 km C.6400 km D.42000 km
(2)飞船在轨道1上运行几周后，在Q点开启发动机短时间向外喷射高速气体使飞船加速.关闭发动机后飞船沿椭圆轨道2运行，到达P点开启发动机再次使飞船加速，使飞船速率符合圆轨道3的要求，进入轨道3后绕地球做圆周运动.利用同样的方法使飞船离地球越来越远，飞船在轨道2上从Q点到P点过程中，速率将如何变化？
(3)飞船在轨道1、2、3上正常运行时：
①飞船在轨道1上的速率与在轨道3上的速率哪个大？为什么？
②飞船在轨道1上经过Q点的加速度与飞船在轨道2上经过Q点的加速度哪个大？为什么？
③飞船在轨道1上经过Q点的加速度与飞船在轨道3上经过P点的加速度哪个大？为什么？
答案：(1)B (2)减小 (3)①轨道1上的大 ②一样大 ③轨道1上的大 理由略
万有引力定律是怎样发现的-例题思考
【例1】 假如一个做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则
A.根据公式v=rω，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B.根据公式F=m,可知卫星所需的向心力将减小到原来的
C.根据公式F=G，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D.根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
思路:解答这个问题不应靠想象和猜测，而应通过踏实的推导才能正确地选出答案.在推导的顺序上，可选择变量较少且不易出差错的选项入手.
解析:由于公式F=G中，G、M、m都是不变的量，因此推导F和r的关系不易出错.设人造地球卫星原来的圆周运动半径为r1，所受到的地球引力为F1；当人造地球卫星的轨道半径增为r2=2r1时,所受到的地球引力为F2，则：因为F1=G
所以F2=G.
由此可知：选项C是正确的.
将向心力的来源公式和向心力的效果公式联系起来，可以写出下列二式：
G ①
G ②
将r2=2r1代入②式可得：
G ③
将①③两式相除可导出：
即4=
所以v22=
v2=
由此可知：选项D也是正确的.
既然D是正确的，那么与其结果不同的A显然是不正确的.
“卫星所需的向心力”与“地球提供的向心力”应当是一致的.既然C是正确的，那么与其结果不同的B显然是不正确的.
答案:CD
万有引力定律是怎样发现的-例题解析
【例1】 两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB=1∶8.求：
(1)两颗人造卫星的轨道半径之比RA∶RB;
(2)两颗人造卫星的运动速率之比vA∶vB.
思路:设人造卫星的周期为T、轨道半径为R、地球的质量为M、卫星的质量为m、万有引力常量为G.
由于人造卫星所需的向心力来源于地球对卫星的万有引力，我们可以写出下式：
Gmω2R
将ω=代入上式可得：
G
上式可以化简为：
所以T==2π
这就是人造地球卫星运行周期的计算公式.由此式可看出：运行周期与卫星的质量m无关.轨道半径越小周期就越短，运动周期T与成正比.
解析:(1)对于人造卫星A可以写出下式：
G=m()2RA
可导出： ①
用同样的推导方法,对于人造卫星B也可写出下式：
②
将②①两式相除：
=
化简后可得：
还可变化为：
③
(2)根据v=,对于A、B两颗卫星可以写出下列二式：
vA= ④
vB= ⑤
将④⑤两式相除：
经化简后可得：
⑥
根据前面推导出的③式，并将已知量代入就可得出两颗人造卫星轨道半径之比：
根据前面推导出的⑥式，并将已知量代入就可得出两颗人造卫星运动速率之比：
.
点评:启发性问题:
(1)你能推导出人造地球卫星运行周期的公式吗？
(2)你知道两颗人造卫星的轨道半径与运行周期之间的比例关系吗？
(3)你知道两颗人造卫星的运动速率与运行周期和轨道半径之间的比例关系吗？
【例3】 如图所示,质量分别为m1和m2的两颗星围绕着一个共同的圆心O在两个半径不同的同心圆轨道上做匀速圆周运动，并且它们之间的距离L总是恒定不变的.求这两颗星运行的轨道半径r1和r2.(圆心O处无物体)
思路:1.由于圆心O处无物体存在，所以这两颗星做圆周运动所需的向心力只能由它们之间的万有引力互相提供——m2给m1的引力F1使m1做圆周运动；m1给m2的引力F2使m2做圆周运动.而且根据牛顿第三定律可知：F1=F2，且方向相反，分别作用在m1、m2两颗星上.
2.由于这两颗星之间的距离L总是恒定不变的，所以这两颗星的运行周期就必须相等，即T1=T2.
3.由于F1和F2承担着向心力的任务，所以它们都必须永远指向圆心O，又因两颗星的距离总是L，所以两颗星的连线必须始终通过圆心O，于是：r1+r2=L.(这在附图中已经显示出来了)
4.在解题过程中还需运用下列的导出关系式：
F=mω2r=m()2·r=
根据前面的导出关系式可以写出下列二式：F1=,F2=
根据1分析出的F1=F2，则可写出下式
根据2分析出的T1=T2可以将上式中的T12与T22消去(并将等式两边的4π2也消去)，于是写出了下式：
m1r1=m2r2 ①
再把3分析出的r1、r2与L的关系式写在下面：
r1+r2=L ②
由②式导出r2=L－r1,代入①式:
m1r1=m2(L－r1)
m1r1=m2L－m2r1
(m1+m2)r1=m2L
所以r1=L
由②式导出r1=L－r2代入①式:
m1(L－r2)=m2r2,
m1L－m1r2=m2r2
(m1+m2)r2=m1L
所以r2=L.
点评:解题后的思考
1.当m1》m2时(注意:必须是远远地大于),则:根据以上两式可以得出
r1→0 r2→L
这种情况说明：质量小的m2星围绕着质量很大的m1星做圆周运动，而且m1星近似地处于圆心处.由此可知：地球绕着太阳转，而太阳并不绕着地球转的原因.(注意：这只是一种简化的、理想化的论证.由于太阳系内还有其他许多行星存在，它们与太阳之间都存在着相互作用，而且太阳也不是绝对不动的，所以实际比上述的讨论要复杂得多.对此特别有兴趣的同学，今后在大学中学习天体力学和天文学等知识时，就会有更深入的了解)
2.当m1=m2时,根据以上两式推论
则：r1=r2=.
这种情况如图所示：两颗星围绕着一个无物存在的共同圆心，在同一圆轨道上运动，在天文学上称为“双星运动”.
万有引力定律是怎样发现的-知识探讨
合作与讨论
1.牛顿是怎样发现万有引力的？
2.卡文迪许是怎样测定引力常量的？
我的思路:
1.牛顿发现万有引力
伊萨克·牛顿，是17世纪人类最伟大的科学家，也是人类历史上屈指可数的几个科学巨人之一.他在物理学、数学和天文学方面的贡献，都是划时代的.
牛顿
1642年12月25日，牛顿出生在英国一个叫乌尔斯索普的小村子里.刚出生时极度衰弱，几乎夭折.牛顿自幼丧父，与母相依为命.1661年，他进入剑桥大学的三一学院学习.
1665至1667年间，牛顿已在思考引力的问题.一天傍晚，他坐在苹果树下乘凉，一个苹果从树上掉了下来.他忽然想到：为什么苹果只向地面落，而不向天上飞呢？他分析了哥白尼的日心说和开普勒的三定律，进而思考：行星为何绕着太阳运转而不脱离？行星速度为何距太阳近就快，远就慢？离太阳越远的行星，为何运行周期就越长？牛顿认为它们的根本原因是太阳具有巨大无比的吸引力.
经过一系列的实验、观测和演算，牛顿发现太阳的引力与它巨大的质量密切相关.牛顿进而揭示了宇宙的普遍规律：凡物体都有吸引力；质量越大，吸引力也越大；间距越大，吸引力就越小.这就是经典力学中著名的“万有引力定律”.
根据牛顿的发现，可测定太阳和行星的质量，确定计算彗星轨道的法则，说明月亮和太阳的引力造成了地球上的海洋潮汐现象，并推导出克服地球引力、飞向太阳系和飞出太阳系所需的最低速度，它们分别为每秒7.9千米、11.2千米和16.6千米，并依次命名为第一、第二和第三宇宙速度.牛顿不但验证了前辈们的成果，而且为未来空间运载工具的最低推力或速度下限值，提供了精确而权威的科学依据.
牛顿将其一生的成就写在《自然哲学与数学原理》一书中.他发现了物体运动的三大定律，创立了微积分数学.他后来在谈到自己所取得的成就时说：“如果我比其他人看得远些，那是因为我站在巨人的肩膀上.”
2.引力常量的测定
牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量.这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它显示出来.
1789年，即在牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许(1731~1810年)，巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量.
卡文迪许扭秤的主要部分是一个轻而坚固的T形架，倒挂在一根金属丝的下端.T形架水平部分的两端各装一个质量是m的小球，T形架的竖直部分装一面小平面镜M，它能把射来的光线反射到刻度尺上，这样就能比较精确地测量金属丝的扭转.
实验时，把两个质量都是的大球放在图中所示的位置，它们跟小球的距离相等.由于m受到的吸引，T形架受到力矩作用而转动，使金属丝发生扭转，而金属丝的形变又产生相反的扭转力矩，阻碍T形架转动.当这两个力矩平衡时，T形架停下来不动.这时金属丝扭转的角度可以从小镜子M反射的光点在刻度尺上移动的距离求出，再根据金属丝的扭转力矩跟扭转角度的关系，就可以算出这时的扭转力矩，进而求得m与的引力F.卡文迪许经过多次实验，证明牛顿的万有引力定律是正确的，并测出了引力常量.他的实验结果跟现代测量结果是很接近的.
引力常量的测出有着非常重要的意义，不仅用实验证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有了真正的实用价值.
由于引力常量很小，我们日常接触的物体的质量又不是很大，所以我们很难觉察到它们之间的引力.例如两个质量各为50 kg的人，相距1 m时，他们相互的引力只相当于几百粒尘埃的重量.但是如果物体的质量很大，这个引力就非常可观了.例如地球对地面上物体的引力就很显著.太阳和地球之间的吸引力就更大，大约等于3.56×1022 N.这样大的力如果作用在直径是9000 km的钢柱两端，可以把它拉断！正是由于太阳对地球有这样大的引力，地球才得以围绕太阳转动而不离去.
卡文迪许扭秤实验
卡文迪许实验示意图
知识总结
1.万有引力定律表达式：F=，其中万有引力常量G=6.67×10－11 N·m2/kg2该公式适用于质点间的相互作用.当物体间的距离远大于物体本身的体积大小时，公式也近似地适用，距离r应为物体质心间的距离.
2.分析天体运动时，把天体运动近似看成匀速圆周运动，万有引力提供所需的向心力，即G.
卫星运行的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
(1)由G得，v=,可见v与成反比.(r越大，v越小)
(2)由G=mω2r得ω=，可见ω与成反比.(r越大，ω越小)
(3)由G得T=2π,可见T与成正比.(r越大,T越大)
