万有引力定律与天文学的新发现 同步测控
我夯基 我达标
1.航天飞机中的物体处于失重状态是指这个物体……（ ）
A.不受地球的吸引力 B.地球吸引力和向心力平衡
C.对支持它的物体的压力为零 D.以上说法都不对
解析：宇宙飞船上的物体处于失重状态，是指重力全部提供向心力，其视重为零，并不是不受重力，所以选项A错误，C正确.向心力是一种效果力，本题中的向心力是由地球的吸引力提供的，所以选项B错误.
答案：C
2.物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，这说明了（ ）
A.地球半径是月球半径的6倍
B.地球质量是月球质量的6倍
C.月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6
D.物体在月球表面的重力是其在地球表面重力的1/6
解析：物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，根据牛顿第二定律可得物体在月球表面的重力也是其在地球表面的重力的1/6，所以选项D正确，选项A、B、C错误.
答案：D
3.两颗人造地球卫星，都在圆形轨道上运行，它们的质量相等，轨道半径之比r1/r2＝2.则它们的动能之比E1/E2等于（ ）
A.2 B. C.1/2 D.4
解析：根据G=m可得：卫星的动能E＝，所以=.
答案：C
4.把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳较远的行星（ ）
A.周期较小 B.线速度较小 C.角速度较小 D.加速度较小
解析：行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力由太阳对行星的万有引力提供.G=m，v=.r越大，线速度越小，B正确.G=mrω2，ω=.R越大，角速度越小，C正确.ω越小，则周期T=`越大，A错误.G=ma，a＝,r越大，则a越小，D正确.
答案：BCD
5.（北京高考）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行.认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量（ ）
A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期 D.行星的质量
解析：万有引力提供向心力，则G=m，由于飞行器在行星表面附近飞行，其运行半径r近似等于行星半径，所以满足M＝ρ·πr3，联立得：ρ＝.
答案：C
6.假如一个做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A.根据公式v=rω，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B.根据公式F=m，可知卫星所需的向心力将减小到原来的
C.根据公式F=G，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D.根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
解析：由于公式F=G中，G、M、m都是不变的量，因此推导F和r的关系不易出错.设人造地球卫星原来的圆周运动半径为r1，所受到的地球引力为F1；当人造地球卫星的轨道半径增为r2=2r1时，所受到的地球引力为F2，则：因为F1=G,所以F2=G=G=G=F1
由此可知，选项C正确,B错误.
将万有引力公式和向心力公式联系起来，可以写出下列两式：
G=m①
G=m②
将r2=2r1代入②式可得：G③
将①③两式相除可导出：,即4=
所以v22==v12
v2=v1.
由此可知，选项D正确，A错误.
答案：CD
7.（经典回放）地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%.经估算，地核的平均密度为__________kg/m3.（结果取两位有效数字，引力常量G＝6.7×10－11 N·m2/kg2、地球半径R＝6.4×106 m）
解析：设g为地球表面的重力加速度，由mg＝得地球平均密度
ρ＝=，代入数据G、R数值得：ρ＝5.5×103 kg/m3,据题设=0.34
即=0.34,又＝0.16得地核平均密度ρ1＝×5.5×103 kg/m3=1.2×104 kg/m3.
答案：1.2×104
8.两颗行星绕某恒星运动，它们的运动周期之比为27∶1，则它们的轨道半径之比为多少？
解析：只有v一定时，r与T成正比.实际上，由于r、v、T有“连带”关系，当其中一个物理量发生变化，其余的物理量都要跟着发生变化.
由G=m（）2r
可得：T=2π，即r∝
所以r1∶r2=∶ =∶=9∶1.
答案：9∶1
9.（经典回放）已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地球做圆周运动，由G=m()2h得M=.
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由.如不正确，请给出正确的解法和结果.
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果.
解析：（1）不正确.应为G=m()2(R+h)，得M=.
（2）由mg=得M=或由G=m()2r得M=.
答案：见解析
10.（经典回放）据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的八大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年.若把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆，问它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍？（最后结果可用根式表示）
解析：新行星和地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力.
答案：设太阳质量为M,地球质量为m0，地球绕太阳运行的公转周期为T0，与太阳的距离为R0，由于万有引力提供向心力，则有：G=m0R0()2，对新行星同理可得：G=m′R′()2，由以上两式解得：≈44.
11.为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M.已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量m＝6×1024 kg，日地中心的距离r＝1.5×1011 m，取地球表面处的重力加速度g＝10 m/s2，1年约为3.2×107 s，试估算目前太阳的质量M.（保留一位有效数字，引力常量未知）
解析：根据太阳对地球的引力提供地球绕太阳做圆周运动（近似处理）的向心力列出相关方程，再根据地球表面物体重力等于引力列出方程联立求解.
答案：设T为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得：G=mr()2，对地球表面物体m′，又有=m′g，由以上两式解得：M=，代入已知数据可得M＝2×1030 kg.
12.一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T.求该行星的质量和平均密度.
解析：设宇宙飞船的质量为m，行星的质量为M.宇宙飞船围绕行星做匀速圆周运动.
G=m()2R
所以M=
又v=πR3
所以ρ==.
答案：
13.某人在某一星球上以速度v竖直上抛一物体，经时间t落回抛出点，已知该星球的半径为R，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？
解析：星球表面的重力加速度g=
人造星体靠近该星球运转时：
mg=G=m(M:星球质量,m:人造星体质量)
所以v′=.
我综合 我发展
14.探测器探测到土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定（ ）
A.若v∝R，则该环是土星的一部分
B.若v2∝R，则该环是土星的卫星群
C.若v∝1/R，则该环是土星的一部分
D.若v2∝1/R，则该环是土星的卫星群
解析：若为土星的一部分与土星为一整体，则它们的角速度与周期相同，根据v＝ωr可知v∝R.若为卫星群，则万有引力为卫星提供向心力，由公式G=m可得：v=，所以v2∝1/R.故A、D正确，B、C错误.
答案：AD
15.一艘宇宙飞船飞近某一不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作.宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程.
答案：使宇宙飞船靠近行星表面做匀速圆周运动，设行星质量为M，宇宙飞船质量为m，行星半径为r，测出飞船运行周期为T.G=mr()2，所以M=.又行星的体积V=πr3，所以ρ==，即宇航员只需测出T就能求出行星的密度.
16.（经典回放）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小.计算时不计火星大气阻力，已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T0.火星可视为半径为r0的均匀球体.
解析：以g′表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m′表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
G=m′g′
G=mr
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有
v1=
v=
由以上各式解得
v=.
答案：v=
17.（经典回放）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落后的12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射.
解析：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离.
有G=mr()2
春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心.由图可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它.据此再考虑到对称性，有
rsinθ＝R
t=T
=g
由以上各式可解得t=arcsin(.
答案：arcsin(
万有引力定律的案例分析 同步练习
1.航天飞机中的物体处于失重状态是指这个物体
A.不受地球的吸引力 B.地球吸引力和向心力平衡
C.对支持它的物体的压力为零 D.以上说法都不对
答案：C
2.物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6,这说明了
A.地球半径是月球半径的6倍
B.地球质量是月球质量的6倍
C.月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6
D.物体在月球表面的重力是其在地球表面重力的1/6
答案：D
3.两颗人造地球卫星，都在圆形轨道上运行，它们的质量相等，轨道半径之比r1/r2＝2.则它们的动能之比E1/E2等于
A.2 B.
C.1/2 D.4
答案：C
4.两颗行星A和B各有一卫星a和b,卫星的轨道接近各自行星的表面.如果行星质量之比MA/MB＝p，两行星半径之比RA/RB＝q，则两卫星周期之比Ta/Tb为
A.q B.q
C.p D.pq
答案：A
5.某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为60 m，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，射程应为
A.10 m B.15 m
C.90 m D.360 m
答案：A
6.地球同步卫星到地心的距离r可由r3＝求出，已知式中a的单位是m,b的单位是s,c的单位是m/s2，则
A.a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B.a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星运动的加速度
C.a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度
D.a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
答案：AD
7.可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道
A.与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆
B.与地球上某一经线决定的圆是共面同心圆
C.与地球上赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面静止
D.与地球上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是运动的
答案：CD
8.有关人造地球卫星,以下说法正确的是
A.人造卫星的轨道不可能通过地球南北上空
B.人造卫星就是指地球的同步卫星，可用于通讯
C.只要有三颗同步卫星就可以实现全世界(包括南、北极)的电视转播
D.同步卫星轨道只有一个，它属于全人类的有限资源，不能变成发达国家垄断的地方
答案：D
9.由于地球的自转，地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以
A.地球表面各处具有相同大小的线速度
B.地球表面各处具有相同大小的角速度
C.地球表面各处具有相同大小的向心加速度
D.地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心
答案：B
10.以下说法中正确的是
A.质量为m的物体在地球上任何地方其重力都一样
B.把质量为m的物体从地面移到高空中，其重力变小
C.同一物体在赤道上的重力比在两极处重力大
D.同一物体在任何地方质量都是相同的
答案：BD
11.已知地球质量大约是M=6.0×1024 kg，地球半径为R=6370 km，地球表面的重力加速度g=9.8 m/s2.求：
(1)地球表面一质量为10 kg物体受到的万有引力;
(2)地球表面一质量为10 kg物体受到的重力;
(3)比较万有引力和重力的大小.
答案：(1)98.6 N (2)98.0 N (3)万有引力比重力大
万有引力定律的案例分析-例题解析
1.关于双星的例题
【例1】 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两行星中心距离为R，其周期为T.求两行星的总质量.
解析:由万有引力定律得：G
所以,所以m2=
同理：G所以m1=所以m1+m2=
又因为：R1+R2=R,所以m1+m2=,而ω=
解得：m1+m2=.
2.关于“和平号”空间站的例题
【例2】 1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在太平洋.“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章.
“和平号”空间站总质量137 t，工作容积超过400 m3.是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称.在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确降落在预定海域，这在人类历史上还是第一次.“和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约是350 km.为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局控制中心对空间站的运行作了精心的安排和控制.在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240 km.在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7 km.
设“和平号”空间站正常运行时沿高度为350 km圆形轨道运行，在坠落前沿高度240 km的指定圆形低空轨道运行.而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理.
(1)空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值是多大？(计算时保留两位有效数字)
(2)空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？(计算中取地球半径R=6.4×103 km，计算时保留一位有效数字)
解析:(1)根据a=,a1∶a2=0.97.
(2)h=2.7 km.
万有引力定律的案例分析-知识总结
1.万有引力定律在天文学上的应用
(1)万有引力是天体间的主要作用力，万有引力定律的发现对天文学的发展起到了巨大的推动作用.
(2)计算中心天体的质量.①观测行星围绕恒星做匀速圆周运动的轨道半径r和运转周期T，则可以根据万有引力提供向心力的道理计算出中心天体(恒星)的质量M.②根据同样的道理，只要观测某行星的一颗卫星围绕行星做匀速圆周运动的轨道半径和周期，就能测出该中心天体(行星)的质量.
G
M=()().
(3)如果围绕中心天体运动的轨道半径r很小、与中心天体自身的半径R相差无几，即r=R，则可以进一步估算出中心天体的平均密度：.
(4)未知行星——海王星、冥王星的先后被发现，是天文学上应用万有引力定律的成功范例.
2.应用万有引力定律分析天体(人造卫星)的运动
(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.
公式：G =m()2r=m(2πf)2r.
解决问题时可根据情况选择公式分析、计算.
(2)求天体的质量和密度的方法
通过观察天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力提供向心力得：
Gr
得天体质量M=
①若天体的半径为R，则天体的密度
ρ=
②若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度
2.物体的重力随离地面高度h的变化情况：物体重力近似等于地球对物体的万有引力，即等于，可见重力随h的增大而减小.
3.设地面附近的重力加速度为g0，离地面高度为h处的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响，则有
mg0=G
mg=G
可得g=.
