专题3.21整式及其加减 全章知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题3.21 整式及其加减（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】整式的相关概念
1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
特别说明：
（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
特别说明：
（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
特别说明：
（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
【知识点2】要点二、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
特别说明：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
特别说明：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
【考点一】整式及相关概念
单项式及其系数和次数
1．找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
，，，，，，，．
【举一反三】
2．的系数与次数分别是（ ）
A． B． C． D．
3．观察下列单项式特点：，，，，…，第n个单项式为 （n为正整数）．
多项式的项和次数
4．已知是六次四项式，且的次数与它相同．
(1)求、的值；
(2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和．
【举一反三】
5．若关于，的多项式与的差不含三次项，则数的值为（　　）
A． B． C． D．9
6．关于x、y的多项式是四次二项式，则 ．
【考点二】同类项及合并同类项
7．已知单项式与是同类项，多项式是五次三项式，求的值．
【举一反三】
8．下列判断正确的是（ ）
A．与不是同类项 B．不是整式
C．单项式的系数是 D．是二次三项式
9．若，则 ．
【考点三】去（添）括号
10．以下是马小虎同学化简代数式的过程．
…………第一步，
…………第二步，
…………第三步，
(1)马小虎同学解答过程在第___________步开始出错，出错原因是___________．
(2)马小虎同学在解答的过程用到了去括号法则，去括号的依据是___________．
(3)请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程．
【举一反三】
11．下列去括号或添括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图，化简的结果是 ．
13．若，求的值．
【举一反三】
14．若时，式子的值为10，则当时，式子的值为（ ）
A．12 B．10 C．7 D．4
15．已知，则 ．
【考点四】整式的加减
16．计算：
(1)
(2)
【举一反三】
17．在计算：时，嘉琪同学将括号前面的“”号抄成了“+”号，得到的运算结果是，你认为多项式M是（ ）
A． B． C． D．
18．已知，，则 ．
【考点五】化简求值
19．已知，求的值．
【举一反三】
20．（1）若，化简并求代数式值．
（2）已知， ，当时，求的值．
21．阅读材料：
我们把看成一个整体，
则．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，则将合并的结果为________；
(2)如果，求的值；
(3)拓广探索：已知，求的值．
【考点六】整式加减中的无关型问题
22．学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务：
已知，自行给取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值．
．小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果．
【举一反三】
23．小明在计算代数式的值时，发现当和时，他们的值是相等的．小明的发现正确吗？说明你的理由．
24．已知代数式．
(1)当时，求的值；
(2)若的值与的取值无关，求的值．
【考点七】整式加减中的应用
25．疫情肆虐，为了满足市场上对口罩的需求，某厂家决定生产、两种款式的口罩，每天两种口罩的生产量共个，两种口罩的成本和售价如下表：
成本（元/个） 售价（元/个）
A 0.5 1
B 2.5 4
设每天生产种口罩个．
(1)① 每天生产种口罩__________________个；
② 用含的代数式表示该工厂每天的生产成本，并进行化简；
(2)用含的代数式表示该工厂每天获得的利润（利润=售价-成本），并将所列代数式进行化简；
(3)当时，求每天获得的利润．
【举一反三】
26．某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价200元，运动袜每双定价40元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一双运动鞋送一双运动袜；方案二：运动鞋和运动袜都按定价的90%付款，现某客户要到该商场购买运动鞋10双和运动袜x双（）．
(1)若该客户按方案一购买，需付款________元；（需化简）若该客户按方案二购买，需付款________元．（需化简）
(2)按方案一购买比按方案二购买省多少钱？
(3)当时，通过计算说明上面的两种购买方案哪种省钱？
【考点七】整式中的规律问题
27．每年春节前夕，某古镇老街居民都将在千米长街上大摆百家宴，吸引众多游客慕名前来，共享团圆宴．百家宴用的桌子都是一样的，一张桌子可坐6人，有如图所示两种摆放方式：

(1)若有8张这样的桌子按第一种摆放方式能坐___________人；
(2)若有n张这样的桌子按第二种摆放方式能坐___________人；
(3)有若干名游客预约了今年除夕的午餐，由于人数较多，古镇老街决定分批接待这些游客，现已备好480张这样的餐桌按第一种或第二种摆放方式摆放，若想要同时接待2000位游客共同就餐，古镇老街备好的这些餐桌够用吗？如果够用，请说明理由；如果不够用，请计算说明至少还需要准备多少张这样的餐桌？
【举一反三】
28．探索规律是深入认识事物的一种方法，通过观察、归纳、猜想、验证等思维方式，历经从具体到抽象的过程来揭示一般规律．
问题情景：如图1所示，把火柴棒搭成正方形．

(1)问题提出：①按图1的方式，搭4个正方形需要 根火柴棒；
②学生A是按照图2思考的，根据他思考的方法求出搭x个正方形所需火柴棒根数的代数式；
(2)问题解决：你还有其他的思考方法也能得到正方形的个数x与火柴棒的根数之间的关系吗？说明思考方法，画出对应图形，求出代数式；
(3)问题运用：改变火柴棒的摆放方法搭成别的图形，画出图形，求出图形个数x与火柴棒根数之间关系的代数式．
29．将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的正方形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的正方形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．
(1)如果剪n次共能得到个正方形，试用含有n，的等式表示它们之间的数量关系；
(2)若原正方形的边长为1，设表示第n次所剪出的正方形的边长，如．
①试用含n的式子表示　 　；
②试用含n的式子表示　 　；
(3)运用（2）的结论，计算的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．见解析
【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个字母或一个数也是单项式，所有字母次数的和是单项式的次数．
【详解】解：以上代数式是单项式的有：，，，，，．
的系数为，次数为3；
的系数为，次数为1；
，系数为，次数为7；
，系数为，次数为6；
2，系数为2，次数为0；
，系数，次数为1．
【点睛】本题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目．
2．A
【分析】根据单项式系数、次数的定义求解即可．
【详解】解：单项式的系数与次数分别为，
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键．
3．
【分析】根据已知的4个单项式找出规律即可求解．
【详解】解：当n是奇数时，第n个单项式是正数，n是偶数时，则第n个单项式是负数．
当时，系数的绝对值为，x的次数为2，a的次数为2；
当时，系数的绝对值为，x的次数2，a的次数为3；
当时，系数的绝对值为，x次数为2，a的次数为4
…以此类推，则可以判断当第n个单项式时，其表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查学生结合整式知识点探究归纳规律，解题的关键是根据已知的单项式，总结出一般规律．
4．(1)，
(2)多项式的各项为：，，，；各项的系数和为
【分析】（1）用多项式的次数，单项式的次数分别列方程求解即可；
（2）由（1）得到的值，代入计算得到该多项式的各项及各项系数，再把系数求和即可．
【详解】（1）解：是六次四项式，
，
解得，
的次数也是六次，
，
，
，；
（2）解：该多项式为，
多项式的各项为：，，，，
各项的系数和为：．
【点睛】本题考查了多项式的次数和系数的概念，单项式的次数的概念，一元一次方程的应用，理解基础概念是解题关键．
5．D
【分析】计算两个多项式的差并合并同类项，根据两个多项式的差不含三次项可得，即可求解出的值．
【详解】
∵这两个多项式的差不含三次项
∴
解得
故答案为：D．
【点睛】本题考查了多项式的加减运算，掌握多项式的性质以及加减运算法则是解题的关键．
6．2或
【分析】直接利用多项式的次数与系数确定方法分析得出答案．
【详解】解：∵关于x、y的多项式是四次二项式，
∴当，|m+1|=3时，
∴m=2；
当m+3=0时，m=-3，原多项式为，
综上所述，m的值为2或．
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确分类讨论得出m的值是解题关键．
7．
【分析】根据同类项的定义和多项式的次数和项的定义列式计算即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴．
∵多项式是五次三项式，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同类项即含有字母相同且相同字母的指数也相同，多项式的次数即多项式中次数最高的项的次数，熟练掌握定义是解题的关键．
8．C
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项）、整式的定义（整式包括单项式和多项式）、单项式的系数（只含有数与字母的积的式子叫做单项式）、多项式的项与次数的定义（多项式中每一个单项式称为该多项式的项；次数最高的项的次数即为该多项式的次数）即可得．
【详解】解：A、与是同类项，则此项错误，不符合题意；
B、是整式，则此项错误，不符合题意；
C、单项式的系数是，则此项正确，符合题意；
D、是三次三项式，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同类项、整式、单项式的系数、多项式，熟练掌握相关概念是解题关键．
9．5
【分析】由题意，得：为同类项，利用同类项的定义，字母和字母的指数都相同，求出，再代值计算即可．
【详解】解：，
∴为同类项，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键．
10．(1)一，去掉括号时，没有变号
(2)乘法分配律
(3)见解析
【分析】（1）根据去括号法则得出答案即可；
（2）根据去括号法则得出答案即可；
（3）先根据去括号法则去括号，再合并同类项即可；
【详解】（1）马小虎同学解答过程在第一步开始出错，出错原因是去掉括号时，没有变号；
（2）乘法分配律
（3）
【点睛】本题考查了整式加减和去括号法则能正确根据知识点进行计算是解此题的关键．
11．C
【分析】根据去括号法则或添括号法则计算判断即可．
【详解】解：A．，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．，故本选项正确；
D．，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了去括号法则，添括号法则，熟练掌握法则是解题的关键．
12．a
【分析】据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：由图可知：，
∴，，，
∴，
故答案为：a．
【点睛】此题考查了数轴，整式的加减以及化简绝对值，根据题意得出绝对值里边式子的正负是解本题的关键．
13．10
【分析】先把原代数式化为：，再整体代入求值即可.
【详解】解：
原式＝
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键.
14．D
【分析】先根据时，式子的值为10，可得，再把代入，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵时，式子的值为10，
∴，
∴，
当时，
∴
．
故选D．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．
15．3
【分析】将整体代入即可求解．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了已知式子的值求解代数式的值的知识，注重整体代入的思想是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）直接合并同类项即可得出结果；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查整式加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．．
17．A
【分析】根据题意列出算式，去括号后求出即可．
【详解】解：根据题意得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键．
18．4
【分析】由变形为，然后再整体代入计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
=
=
=
=
=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．
【分析】先去括号，然后合并同类项把所求的式子化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
，
，
原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．
20．（1）；；（2）
【分析】（1）先去括号，合并同类项进行化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，代入化简后的式子进行计算即可得；
（2）根据题意先化简，然后再将数值代入进行计算即可
【详解】（1）原式＝
，
∵，
∴，
∴原式；
（2）∵，
∴
，
当时，
原式＝
．
【点睛】本题考查整式的加减混合运算，属于常考题，其中去括号时每一项的符号是易错点，熟练掌握合并同类项是解题的关键．
21．(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）根据合并同类项的计算法则求解即可；
（2）将所求式子变形为，然后根据已知条件进行求解即可；
（3）先把所求式子化简，然后根据进行求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的相关计算法则是解题的关键．
22．，理由见解析，29
【分析】先去括号，再合并即可化简，做出判断，再代入进行计算即可求出值．
【详解】解：
，
化简后的结果与无关，
虽然三人给取的值都不同，但计算结果却完全一样，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键．
23．小明的发现是正确的，理由见解析
【分析】根据去括号、合并同类项的法则将代数式化简后可知答案．
【详解】解:小明的发现是正确的．
理由：，
由计算可知：结果与x的取值无关，所以小明的发现是正确的．
【点睛】本题考查了去括号、合并同类项，运用这些法则对代数式进行化简是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）先根据整式的运算法则计算出的值，再代入进行计算即可；
（2）先根据整式的运算法则计算出的值，再根据的值与的取值无关可得，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：
，
的值与的取值无关，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式加减—化简求值，整式的加减—无关型问题，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
25．(1)①②元
(2)（元
(3)55000 元
【分析】（1）①根据每天两种口罩的生产量共50000个，即可得出答案；
②由题意A种口罩成本为0.5元/个，B种口罩的成本为2.5元/个，列代数式即可得出答案；
（2）由题意A种口罩利润为0.5元/个，B种口罩的利润为1.5元/个，列代数式即可得出答案；
（3）根据（2）所得结果即可得出答案．
【详解】（1）①若设每天生产A种口罩x个，则每天生产B种口罩个．
故答案为：．
②根据题意可得，该工厂每天的生产成本为：
（元）；
（2）根据题意可得，该工厂每天获得的利润为：
（元）；
（3）当时，（元）．
所以当 时，每天获得的利润为55000元．
【点睛】本题主要考查了列代数式及代数式求值，根据题意列出代数式是解决本题的关键．
26．(1)，；
(2)元
(3)方案一更省钱，理由见解析
【分析】（1）方案一：买完10双鞋子后送10双袜子，即袜子只需要买双，据此列式计算即可，方案二：根据运动鞋和运动袜都按定价的付款列式计算即可；
（2）根据（1），用方案二的付款减去方案一的付款即可；
（2）将x分别代入代入（1）中的两个式子中计算，然后再比较即可．
【详解】（1）解：按方案一购买：需付款元；
按方案二购买：需付款元．
故答案为：，．
（2）解：，
∴方案一购买比按方案二购买省（）元．
答：方案一购买比按方案二购买省元．
（3）解：当时，
方案一：元，
方案二：元，
∵，
∴方案一更省钱．
【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减运算等知识点，根据题意正确列出方案一与方案二的付款数是解题的关键．
27．(1)34
(2)
(3)不够用，20张
【分析】（1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；
（2）旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题；
（3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断.
【详解】（1）解：（1）第一种摆放方式可坐人数为：（人）;
（2）解：（2）第二种摆放方式可坐人数为：（人）;
（3）解：（3）当时，第一种摆放方式可坐人数为：（人），
当时，第二种摆放方式可坐人数为：（人），
∵，
∴无论选用哪一种摆放方式，餐桌都不够用，
，
答：至少还需要准备这样的餐桌20张.
【点睛】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型.
28．(1)①13；②根；
(2)画图见解析，根；
(3)画图见解析，根；
【分析】（1）①根据图形中火材棒的数量计数即可；②先探究搭1个正方形，2个正方形，3个正方形需要的火材棒数量，再总结规律即可；
（2）由每增加1个正方形，少1根火柴棒，可得搭x个正方形所需火柴棒根数；
（3）把搭正方形改为搭正五边形，再按照同样的方法进行探究即可．
【详解】（1）解：①按图1的方式，搭4个正方形需要（根），
②搭1个正方形需要（根），
搭2个正方形需要（根），
搭3个正方形需要（根），
搭4个正方形需要（根），
∴搭x个正方形所需火柴棒根数为根；
（2）如图，
第1个正方形，需要根，
第2个正方形，需要根，
第3个正方形，需要根，
∴搭x个正方形所需火柴棒根数为根；
（3）如图，按如下图方式搭正五边形，
，
同理可得：搭x个正五边形所需火柴棒根数为根．
【点睛】本题考查的是图形类的规律探究，掌握探究的方法并总结规律是解本题的关键．
29．(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）观察图形发现每多剪一刀就会增加3个小正方形，根据得到的规律得到通项公式即可；
（2）①根据每次将边长一分为二即可得到答案；②结合图形得出答案即可；
（3）利用发现的规律，代入数值即可求得答案．
【详解】（1）解：观察图形知道：剪一次，有4个小正方形，
剪两次有7个小正方形，
剪三次有10个小正方形，
剪四次有13个小正方形，
规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形，
故第n个共有个，
∴用含有n、的等式表示它们之间的数量关系为；
（2）解：①第一次所剪的正方形的边长为，
第二次所剪的正方形的边长为；
第三次所剪的正方形的边长为，
…
第n次所剪的正方形的边长；
②根据图形的变化可知：
＝
；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，找到规律并用代数式表示出来是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
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