专题3.24整式及其加减 全章分层练习（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题3.24 整式及其加减（全章分层练习）（培优练）
一、单选题
1．下列计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，，则一定是（　　）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于2
3．甲3小时加工零件50个，乙4小时加工零件70个，乙的工作效率是甲的工作效率的（ ）．
A．1 B． C． D．
4．某种细菌每分钟由1个裂变成3个，经过4分钟后，由1个裂变成34个，再经过x分钟，1个这样的细菌可以裂变成（　　）
A．3（x+4）个 B．个 C．个 D．个
5．某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A． B．4039 C．8124 D．16304
6．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，大长方形ABCD是由一张周长为C1正方形纸片①和四张周长分别为C2，C3，C4，C5的长方形纸片②，③，④，⑤拼成，若大长方形周长为定值，则下列各式中为定值的是（ ）
A．C1 B．C3+C5 C．C1+C3+C5 D．C1+C2+C4
8．对于一个自然数，如果能找到正整数、，使得，则称为“好数”．例如：，则是一个“好数”，在8，9，10，11这四个数中，“好数”的个数共有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
9．观察下列代数式：，，，，…．按此规律，则第n个代数式是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知关于的整系数二次三项式，当取1、6、8、12时，某同学算得这个二次三项式的值分别是0、15、35、100．经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是 ．
12．已知21个连续整数的和是m，那么紧接在这21个整数后面的那21个整数的和用含m的代数式表示为 ．
13．如图所示，黑珠、白珠共126个，穿成一串，这串珠子中最后一个珠子是 颜色的，这种颜色的珠子共有 个．
14．若，则 ．
15．在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是 ，丙的三张牌上的数字是 ．
16．①52﹣4×12＝21；②72﹣4×22＝33；③92﹣4×32＝45；④112﹣4×42＝57…根据上述规律，用含n的代数式表示第n个等式： ．
17．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则：
若，则第2021次“F”运算的结果是 ．
18．数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题：
题目：已知，，求代数式的值．
小云：哈哈！两个方程有三个未知数，不能求具体字母的值．不过，好在两个方程以及所求值代数式中p，q互换都不受影响
小王：嗯，消元思想，肯定要用；运用整体思想把关于p，q的对称式，等优先整体考虑，运算应该会简便．
通过你的运算，代数式的值为 ．
三、解答题
19．先化简，再求值：，其中x=-3．
20．已知多项式，．
（1）若，化简；
（2）若的结果中不含有项以及项，求的值．
21．邮购一种图书，每本定价m元，不足100本时，每本书要加书价的5%作为邮资；当一次购书超过100本时，书店除让顾客免付邮资外，还给予10%的优惠．
(1)要邮购这种图书x（x为小于100的正整数）本，总计金额为多少元？
(2)已知这种图书每本定价元，那么邮购本数x为150时的总计金额是多少元？
22．（1）已知，若，求的值；
（2）已知多项式与 多项式的差中不含有，求的值．
23．小明同学在写作业时，不小心将一滴墨水滴在卷子上，遮住了数轴上和之间的数据（如图），设遮住的最大整数是，最小整数是．
（1）求的值．
（2）若，，求的值．
24．已知多项式A和B，且2A+B＝7ab+6a﹣2b﹣11，2B﹣A＝4ab﹣3a﹣4b+18．
阅读材料：我们总可以通过添加括号的形式，求出多项式A和B．如：
5B＝（2A+B）+2（2B﹣A）
＝（7ab+6a﹣2b﹣11）+2（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝15ab﹣10b+25
∴B＝3ab﹣2b+5
(1)应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A．
(2)小红取a，b互为倒数的一对数值代入多项式A中，恰好得到A的值为0，求多项式B的值．
(3)聪明的小刚发现，只要字母b取一个固定的数，无论字母a取何数，B的值总比A的值大7，那么小刚所取的b的值是多少呢？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据去括号，添括号及合并同类项的法则逐项判断．
【详解】A．，故选项正确，不符合题意；
B．，故选项正确，不符合题意；
C．与不时同类项，不能合并，故选项错误，符合题意；
D．，故选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号，添括号及合并同类项的法则．
2．A
【分析】把与代入中，去括号合并后，利用非负数的性质判断即可．
【详解】解：，，
，
则一定是大于0．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．D
【分析】把甲和乙的效率表示出来，相比即可解得．
【详解】甲的效率：，
乙的效率：，
乙的工作效率是甲的工作效率的：
故选∶D．
【点睛】此题考查工作效率，解题的关键熟悉工作效率公式．
4．D
【分析】根据每分钟由1个裂变成3个，数量是之前的3倍求解可得．
【详解】解：根据题意可知，再经过x分钟，1个这样的细菌可以裂变成个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查列代数式，有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的定义和运算法则．
5．B
【分析】由每个30分钟进去的人数可构成一列数，利用观察法求出这一列数的规律，由于从早晨6时30分到上午Il时30分共有10个30分钟，故求这一列数的前11个数的和，即可得上午11时30分公园内的人数．
【详解】解：根据题意知：
早晨6时30分有2人进公园，则，
第一个30min内有4人进去并出来1人，则，
第二个30min内进去8人并出来2人，则，
第三个30min内进去16人并出来3人，则，
第四个30min内进去32人并出来4人，则，
……
∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为，
∴到上午11时30分公园内的人数为：
设，
∴，，
∴，
∴，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，运用了归纳推理、转化的解题方法．解题时要善于将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题．解题的关键是归纳出题干所给式子的规律．
6．C
【分析】根据数轴得到，，再脱去绝对值，进行整式的加减运算即可求解．
【详解】解：由题意得，，
所以．
故选：C
【点睛】本题考查了根据数轴判断式子的符号，绝对值的化简，整式的加减等知识，理解题意，正确判断出绝对值内各式的符号是解题关键．
7．B
【分析】将各长方形的边长标记出来，可将大长方形ABCD的周长为和正方形纸片①的周长C1和四张长方形纸片②，③，④，⑤的周长分别为C2，C3，C4，C5表示出来，其中大长方形ABCD的周长为为定值，然后分别计算C3+C5，C1+C3+C5，C1+C2+C4，找出其中为定值的即可．
【详解】解：如图，将各长方形的边长标记出来，
∴大长方形ABCD的周长为为定值，
∴，，，，
∵①是正方形，
∴
∴，
∴，
，
，
∴为定值，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减的计算，熟练掌握整式的加减的运算法则是解答本题的关键．
8．C
【分析】根据题意，由n＝x＋y＋xy，可得n＋1＝x＋y＋xy＋1，所以n＋1＝（x＋1）（y＋1），因此如果n＋1是合数，则n是“好数”，据此判断即可．
【详解】根据分析，
∵8＝2＋2＋2×2，
∴8是好数；
∵9＝1＋4＋1×4，
∴9是好数；
∵10＋1＝11，11是一个质数，
∴10不是好数；
∵11＝2＋3＋2×3，
∴11是好数．
综上，可得在8，9，10，11这四个数中，“好数”有3个：8、9、11．
故选C．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化；此题还考查了对“好数”的定义的理解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果n＋1是合数，则n是“好数”．
9．D
【分析】分别对各式子进行分析得到，代数式的符号，分母，分子的变化规律，写出公式即可．
【详解】解：由四个代数式可知，符号变化，；
分母，；
分子1，5，9，13，，；
所以为．
故选D．
【点睛】本题是规律题，逐一找到各部分的变化规律是解题的关键．
10．A
【分析】正方形AKIE的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长表示为GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可．
【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n，
∴AB+BC，JI+HI=，
延长FG交AD于M，
正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，
正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG，
∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC，
∴AK+JF+KJ+FC= AB+BC=，
∵AM+GL=AD=BC，
∴AM+GL+LC=BC+AB-DL=-DL，
∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH= GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH，
∵EH=DL，
∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长=+-DL+ n+EH=m+n．
故选：A．
．
【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
11．15
【分析】根据所给的值，和具有倍数关系，由此可知，这两个结果是解题的突破，因此和的结果中必有一个是错误的，假设当的结果是正确的，，，可得，不符合题意，由此即可求解．
【详解】∵时，时，
∴，，
∴，
∴，
∵二次三项式的系数是整数，
∴和的结果中必有一个是错误的，
当时，，
∴，
当时，时，
∴，
得，，
∴，
∵二次三项式的系数是整数，
∴时，的结果是错误的．
故答案为：15
【点睛】本题考查整数的运算，熟练掌握代数式求值的方法，观察所给的数可知和的结果是解题的关键．
12．m＋441
【分析】根据后面的21个连续的自然数分别比与它对应色自然数大21，用式子表示即可；
【详解】由题可知：21个连续整数的和是m，
那么紧接在这21个整数后面的那21个整数的和为；
故答案是：m＋441．
【点睛】本题主要考查了列代数式，准确分析计算是解题的关键．
13． 白 32
【分析】除了第一个黑珠外，后边的黑珠和白珠有一定的规律，即是一个白珠和三个黑珠．
【详解】解：因为这串珠总共有126个，，
∴最后一个珠子为白颜色．白颜色的珠子共有个．
∴这串珠子中最后一个珠子是白颜色的，共有32个．
故答案为：白，32
【点睛】本题主要考查了探索图形规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
14．
【分析】由变形可得，，把化为整理化简即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
故答案为：2022
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值问题，灵活把所求的代数式变形是解题的关键．
15．
【分析】根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙丙的三张牌数字和相同进行分配即可．
【详解】解：已知红桃有数字共计张牌
甲的三张牌数字之和为的情况有、、三种组合，
张牌中共有个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数，
甲最多只能有一个奇数，只有符合，
乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，
乙的三张牌数字为，丙的三张牌数字为，
故答案为：；
【点睛】本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键．
16．（2n+3）2﹣4n2＝12 n +9
【分析】通过观察发现，式子的第一个数是从5开始的奇数，第二个数是从1开始的自然的平方的4倍，所得结果是12n+9，由此可求解．
【详解】解：∵①52﹣4×12＝21；②72﹣4×22＝33；③92﹣4×32＝45；④112﹣4×42＝57…，
∴第n个式子是：（2n+3）2﹣4n2＝12 n +9．
故答案为：（2n+3）2﹣4n2＝12 n +9
【点睛】本题考查了根据式子找规律，并表示规律，根据题意，找出各式中变化的规律是解题关键．
17．98
【分析】根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出第2021次“F运算”的结果．
【详解】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n=49为奇数应先进行F①运算，
即3×49+5=152（偶数），
需再进行F②运算，
即152÷23=19（奇数），
再进行F①运算，得到3×19+5=62（偶数），
再进行F②运算，即62÷21=31（奇数），
再进行F①运算，得到3×31+5=98（偶数），
再进行F②运算，即98÷21=49，
再进行F①运算，得到3×49+5=152（偶数），…，
即第1次运算结果为152，…，
第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，
可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，
则6次一循环，
2021÷6=336…5，
则第2021次“F运算”的结果是98．
故答案为：98．
【点睛】本题考查了整式的运算能力，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴涵了次数、结果规律探索问题，检测学生阅读理解、抄写、应用能力．
18．
【分析】运用整体思想,计算p+q，pq即可．
【详解】∵，
∴，
∴
∴①
∵，
∴②
把②代入①得，
∴，
∴
∴
．
故答案是：-2．
【点睛】本题考查了整体思想的运用，熟练运用整体思想，完全平方公式是解题的关键．
19．,-5
【详解】解：原式=
=
把代入上式得，原式==
20．（1），（2）-5
【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n，再计算A-B即可；
（2）先计算，再根据不含项以及项，得出m、n的值，代入即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
解得，，
∴，，
，
=，
=．
（2），
=，
∵结果中不含有项以及项，
∴，，
解得，，
把代入，
．
【点睛】本题考查了非负数的性质和整式的加减以及代数式求值，解题关键是能够根据非负数的性质或多项式不含某一项确定字母系数的值，并能熟练应用整式加减的法则进行计算．
21．(1)
(2)540
【分析】（1）由于少于100本，总计金额=书价+邮价；
（2）超过100本，总计金额=书价．
【详解】（1）解：（元），
答：要邮购这种图书x（x为小于100的正整数）本，总计金额为元；
（2）解：当时，总计金额元，
当，时，，
答：这种图书每本定价元，邮购本数x为150时的总计金额是540元．
【点睛】根据题意，找到相应的等量关系是解决此题的关键．要能从题意中得到计算方法：购买图书少于100本时，总计金额=书价+邮价；购买图书超过100本时，总计金额=书价．
22．（1）；（2）
【分析】（1）根据题意求得x和y的值，然后将化简，化简后代入x、y的值运算即可；
（2）先求出两个多项式的差，不含有，代表含有，项的系数为0，求出m和n的值代入原式即可求解．
【详解】（1）∵
∴，
=
=
=
当，时，原式==
（2）
=
∵两多项式的差中不含有，
∴，
∴，
当，时，
原式==
故答案为（1）；（2）．
【点睛】本题考查了整数的加减混合运算，绝对值的非负性，偶次方的非负性，整式的意义，多项式中不含有某项，令该项的系数为0即可．
23．（1）12；（2）1．
【分析】（1）首先求出最大整数为2，最小整数为-3，然后代入式中即可求解；
（2）首先将原式进行化简，然后根据a和b的值求出m和n的值，最后代入即可求解．
【详解】（1）在和之间的数中，
最大的整数是2，则，
最小的整数是，则，
∴．
（2）原式=
=
=
∵，
，
∴原式．
【点睛】本题考查了数轴与有理数的关系，整式的化简求值，题目较为简单，计算时一定要注意符号的变号问题．
24．(1)2ab+3a﹣8
(2)7
(3)3
【分析】（1 ）计算5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）后可得多项式A；
（2 ）由ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0知2+3a﹣8＝0，据此求得a的值，继而得出b的值，再代入计算即可；
（ 3）先计算得出B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）＝（b﹣3）a﹣2b+13，根据B﹣A＝7且与字母a无关知b﹣3＝0，据此可得答案．
【详解】（1）5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）
＝2（7ab+6a﹣2b﹣11）﹣（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝14ab+12a﹣4b﹣22﹣4ab+3a+4b﹣18
＝10ab+15a﹣40，
∴A＝2ab+3a﹣8；
（2）根据题意知ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，
∴2+3a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴b＝，
则B＝3ab﹣2b+5
＝3×1﹣2×+5
＝3﹣1+5
＝7；
（3）B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）
＝3ab﹣2b+5﹣2ab﹣3a+8
＝ab﹣3a﹣2b+13
＝（b﹣3）a﹣2b+13，
由题意知，B﹣A＝7且与字母a无关，
∴b﹣3＝0，即b＝3．
【点睛】本题主要考查整式的加减，几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
答案第1页，共2页
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