第2章有理数及其运算 单元测试拔尖卷（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

第2章 有理数及其运算（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在有理数中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．计算的值为（　　）
A．1 B．36 C．﹣1 D．0
4．今年以来，河北持续推进学雷锋志愿服务活动，通过抓队伍，建平台、强阵地，更好地发挥党员干部模范带头作用，努力形成人人学雷锋、人人做雷锋、人人敬雷锋的生动局面．目前，全省共有1155万多名志愿者、5万多个志愿服务组织．其中数据1155万可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，量得一个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯高度为，则10个纸杯叠放在一起的高度是（ ）
A． B． C． D．
7．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b＋c＜0 C．a＋c＞0 D．ac＞ab
8．已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　）
A．﹣6 B．2 C．8 D．9
9．如果，，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若，那么 ．
12．在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为 ．
13．已知点A在数轴上表示的数是﹣18，点B从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着数轴向左运动，点C是AB中点，当运动时间t（秒）为 时，使BC＝2
14．甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和棋，则这两个人继续下一局比赛，直到分出胜负． 如此进行……比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局；若丙负3局，那么丙胜了 局，三位同学至少进行了 局比赛．
15．化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整：
原式
．
16．已知 ，则 ．
17．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝ ．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为 ．
18．阅读理解：，，……阅读以上材料后计算： = ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．计算：
(1)
(2)
20．我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决．
(1)计算：
(2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程
解：原式的倒数为：
．
故原式
请你根据对小明的方法的理解，计算
21．已知|x|＝3，|y|＝2．
(1)若x＞0，y＜0，求x+y的值；
(2)若x＜y，求x﹣y的值．
22．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
23．某服装厂一周计划生产2800套运动服，计划平均每天生产400套，超出计划产量的记为“＋”，不足计划产量的记为“－”，下表记录的是该厂某一周的生产情况：表中星期六的记录情况被墨水涂污了．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
＋15 －5 ＋21 ＋16 －7 －8 ＋80
(1)根据记录可知，星期六工厂生产多少套运动服？
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少套运动服？
(3)该服装厂工资结算方式如下：
①每人每天基本工资200元．
②以每天完成400套为标准，若当天超额完成任务，超额部分每套奖励10元；若当天未完成生产任务，则少生产一套扣掉15元．该服装厂采用流水作业方式生产，当天所得奖金总额按人均分配，若该工厂这一周每天都有20名工人生产，则这一周服装厂实际需要付给该工厂每名工人多少元？
24．观察、理解与应用．
题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在处，B点在2处，C点在原点处．
(1) ，表示的意义是 ；
(2)，，即用字母表示线段长，，猜想： ，设P、Q在数轴上分别表示的数为和220，则线段 ；
(3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为，，则线 ；
(4)应用：若动点P，Q分别从点和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问：
①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答）
②t为 秒时P，Q两点之间的距离为2？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据小于零的数是负数，可得答案．
【详解】解：在有理数中，是负数的是-2，，-0.7，
故选：C．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握小于零的数是负数．
2．B
【分析】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案．
【详解】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，
开始时+ + + + + +
第一次- - - - + +
第二次- + + + - +
第三次- - - - - -
∴n的最小值为3．
故选：B．
【点睛】本题考查正负数的应用，解题的思路是用正负号来表示杯口的朝向，尝试用最少的次数使杯口全部朝下．
3．C
【分析】先去绝对值，再将带分数化成假分数，然后运用乘法结合律进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了去绝对值、乘法结合律等知识点，灵活运用乘法结合律是解答本题的关键．
4．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：1155万．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
5．D
【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．
【详解】解：，
=
=，
=，
=，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．
6．B
【分析】求出每增加一个杯子的高度，再计算一个杯子的高度与增加9个杯子的高度和即可．
【详解】解：增加一个杯子增加的高度为：，
故，10个纸杯叠放在一起的高度为：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，正确求出每增加一个杯子增加是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据题意，a和b是负数，但是c的正负不确定，根据有理数加减乘除运算法则讨论式子的正负．
【详解】解：∵，
∴数轴的原点应该在表示b的点和表示c的点的中点的右边，
∴c有可能是正数也有可能是负数，a和b是负数，
，但是的符号不能确定，故A错误；
若b和c都是负数，则，若b是负数，c是正数，且，则，故B正确；
若a和c都是负数，则，若a是正数，c是负数，且，则，故C错误；
若b是负数，c是正数，则，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查数轴和有理数的加减乘除运算法则，解题的关键是通过有理数加减乘除运算法则判断式子的正负．
8．D
【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【详解】，
或，
或，
当时，等价于，即，
或，
或；
当时，等价于，即，
或，
或，
故或或或，
所有满足条件的数的和为：．
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏．
9．A
【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数， 把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解．
【详解】解：设，
∵，，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴，即，
故选A．
【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键．
10．D
【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可．
【详解】解：整数分为正整数，0和负整数，
∴一个整数不是正数就是负数错误，
故（1）不符合题意；
没有最小的整数，
故（2）不符合题意；
负数中没有最大的数，
故（3）符合题意；
自然数包括0，
∴自然数一定是正整数错误，
故（4）不符合题意；
有理数包括正有理数，零和负有理数，
故（5）符合题意，
整数包括正整数，0和负整数，
故（6）不符合题意；
零食整数但不是正数，
故（7）符合题意；
整数和分数统称为有理数，
故（8）不符合题意；
非负有理数是指正有理数和0，
故（9）符合题意，
综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
11．7
【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号，然后去绝对值计算即可．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号．
12．
【分析】根据正整数的概念知所给数中，，为正整数，得到；根据非负数的概念知所给数中0.23，，0，，为非负数，得到，代入求值即可．
【详解】解：，0.23，，0，，，，，
正整数有：，，，即，
非负数有：中0.23，，0，，，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键．
13．7秒或11秒
【分析】根据数轴上的点对应的数表示的意义，由点A在数轴上表示的数是-18，得A到原点的距离为18．若BC为2，则需要分C在B的右侧或C在B的左侧这两种情况讨论：
①如图1，当B在A的右侧，即0≤t＜9时，AB=18-2．因为C是AB的中点，所以BC＝=2，那么t=7．
②如图2，当B在A的左侧时，即t＞9，时，AB=2t-18．因为C是AB的中点，所以BC＝＝2，那么t=11．
【详解】解：当运动t秒时，B运动的路程为2t．
∴B到原点的距离为2t．
∵点A在数轴上表示的数是﹣18，
∴A到原点的距离为18．
①如图1，当B在A的右侧，即0≤t＜9时，AB＝18﹣2t．
∵C是AB的中点，
∴BC＝．
若BC＝2，则9﹣t＝2．
∴t＝7（0＜7＜9，符合题意）．
②如图2，当B在A的左侧时，即t＞9，时，AB＝2t﹣18．
∵点C是AB的中点，
∴BC＝．
若BC＝2，则t﹣9＝2．
∴t＝11（11＞9，符合题意）．
综上所述，当t＝7（秒）或t＝11（秒）时，BC＝2．
故答案为：7秒或11秒．
【点睛】本题主要考查数轴上的点对应的数表示的意义，熟练掌握数轴上的点对应的数的意义以及分类讨论的思想是解决本题的关键．
14． 1 8
【分析】结合实际我们知道，有人胜一局，便有人负一局，那么最后胜局的总数应该等于负数的总局，据此作答即可．
【详解】解：总负局数为，而甲、乙胜局数为，故丙胜局数为，
故答案为：1，8
【点睛】此题结合实际问题考查有理数的混合运算，解答此题的关键是理清题意，找准等量关系．
15． 1
【分析】根据所给式子，提公因式得到，故第一个空填；从而根据同分母分数加减运算计算括号里的式子得到，故第二个空填，从而得到答案．
【详解】解：由题意知
，
故答案为：；．
【点睛】本题考查利用乘法分配律对题目恒等变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，读懂题意，掌握同分母分数加减运算法则及分数乘法运算法则是解决问题的关键．
16．
【分析】先求出各个数的值，再代入计算即可．
【详解】∵，
∴，，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的非负性，有理数的混合运算，找到规律再去计算是解题的关键．
17． －1 1
【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问．
【详解】∵，
∴
即
∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，
∴
∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和，
∴当x取中间值1时，和为最小值为2023；
故答案为：-1,1
【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键．
18．
【分析】先将整数和分数分开，再根据材料进行拆项并抵消，依此计算即可．
【详解】解：

=81+
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，需要有一定的运算求解能力，关键是熟悉材料所给的式子．
19．(1) 7
(2)
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握混合运算顺序并运用简便方法是解答本题的关键．
20．(1)5
(2)
【分析】（1）直接利用乘法对加法的分配律计算即可；
（2）先计算的倒数，把除法化为乘法，利用乘法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：原式的倒数为：
，
故原式．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键．
21．(1)1
(2)﹣5或﹣1
【分析】（1）根据绝对值的意义和x、y的大小关系，确定x、y的值，代入计算即可；
（2）根据|x|＝3，|y|＝2．x＜y，确定x、y的值，代入计算即可．
【详解】（1）解：由|x|＝3，|y|＝2．x＞0，y＜0，得，x＝3，y＝﹣2，
∴x+y＝3+（﹣2）＝1；
所以x+y的值为1；
（2）解：由|x|＝3，|y|＝2．x＜y，可得x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2，
当x＝﹣3，y＝2时，x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5，
或x＝﹣3，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，
所以x﹣y的值为﹣5或﹣1．
【点睛】本题考查有理数的加减法以及绝对值的意义，确定x、y的值是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先算同分母分数，再计算加减法；
（2）先算乘法，再去括号，再算同分母分数，再计算加减法；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；
（4）根据乘法分配律简便计算．
【详解】（1）解：
原式＝
　　＝
　　＝
　　＝
（2）解：
原式＝
　　＝
　　＝
　　＝
　　＝
（3）解：
原式＝
　　＝
　　＝
　　＝
　　＝
　　＝
　　＝
　　＝
（4）解：
原式＝
　　＝
　　＝
　　＝
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，简化运算过程．
23．(1)星期六生产了448套运动服
(2)多生产56套运动服
(3)需付给每名工人1435元
【分析】（1）用一周的总超出量减去其余六天的量再加上基本量，即可得出答案；
（2）用产量最多的一天的运动服数量减去产量最少的一天多生产的运动服数量即可得出答案；
（3）结合题意求出20人7天的基本工资,加上平均个人得超出计划产量的奖励,再减去不足产量的罚款可得总工资．
【详解】（1）解：依题意得：
∴周六超出计划生产套运动服，
∴；
答：星期六生产了448套运动服；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产的运动服数量是：（套），
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少套运动服．
（3）（元）．
答：需付给每名工人1435元．
【点睛】本题主要查了正负数的意义，有理数减法，有理数混合计算的应用，正确读懂题意是解题的关键．
24．(1)3，数轴上表示的点到原点的距离
(2)5，320
(3)
(4)①3；②3或7
【分析】（1）根据绝对值的几何意义进行解答即可得出答案；
（2）根据题目所给的例题，根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；
（3）根据（2）中的结论进行解答即可得出答案；
（4）①根据题意先计算出为2秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据（3）结论进行计算即可得出答案；②设经过秒，点表示的数为，点表示的数为，根据（3）中的结论可得，化简得，根据绝对值的性质可得或，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：，表示的意义是数轴上表示的点到原点的距离；
故答案为：3，数轴上表示的点到原点的距离；
（2），；
故答案为：5，320；
（3）根据题意可得：；
故答案为：；
（4）①根据题意可得，
为2秒时，点表示的数为，点表示的数为，
；
②设经过秒，点表示的数为，点表示的数为，
则，
化简得，
可得或，
解得：或．
故答案为：3或7．
【点睛】本题主要考查了绝对值，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法意义绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页