第2章有理数及其运算 单元测试基础卷（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

第2章 有理数及其运算（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【知识点1】有理数及相关概念，掌握以下概念
1．有理数：整数和分数统称有理数；
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0；
4．绝对值：
（1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
（2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
【知识点2】有理数的运算法则及运算律
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
（6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2．运算律：
（1）交换律： ① 加法交换律：a+b=b+a； ②乘法交换律：ab=ba；
（2）结合律： ①加法结合律： （a+b）+c=a+（b+c）； ②乘法结合律：（ab）c=a（bc）
（3）分配律： a（b+c）=ab+ac
【知识点3】科学记数法
1．科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
2．近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值．如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数．
【知识点4】有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3） 作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法．
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．向西走表示的意义是（ ）
A．向南走了 B．向西走了 C．向东走了 D．向北走了
2．用科学记数法表示37500，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．的绝对值是（ ）
A． B． C．－2023 D．2023
4．已知药品A的保存温度要求为，则下列温度符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
5．与不相等的是（ ）
A． B． C． D．
6．若“”的值为负数，则“□”不可能是（ ）
A．－1 B．0 C． D．3
7．能与相加得0的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在计算时，佳佳的板演过程如下：
解：原式．
老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？”
甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”；
乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”；
丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”．
下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（ ）
A．甲同学说的对 B．乙同学说的对
C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算： ．
12．的相反数是 ．
13．在数轴上，到原点距离等于2的数有 ．
14．比较大小： ．（填“>”、“=”或“<”）
15．中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值： ．
16．数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，则|x-2|表示A，B点两间的距离，若记，则y的最小值为 ．
17．=
18．如图，在关于x的方程（a，b为常数）中，x的值可以理解为：在数轴上，到A点的距离等于b的点X对应的数．例如：因为到实数1对应的点A距离为3的点X对应的数为4和-2，所以方程的解为，．用上述理解，可得方程的解为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．把下列各数的序号填在相应的横线内：
①1 ② ③ ④0 ⑤ ⑥ ⑦
(1)整数：______________________________；
(2)负分数：______________________________；
(3)有理数：______________________________．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题.
(1)互为相反数的一组数是___________；
(2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上；
(3)在这6个有理数中，负数有___________个，最小的数是___________.
22．小明原有生活费50元，现靠勤工俭学的收入支付生活费，下面是小明一周内每天生活费的增减情况表（增加为正，减少为负，单位：元）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +7 -2 +12 -6 0 -1 +6
(1)求星期二结束时，小明有生活费多少元
(2)在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多多少元
23．小明对循环小数转化成分数该过程进行了探究，以下是他以和
（1）∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
又∵，
∴，
∴，
∴．
请仿照小明的推导过程，分别把和（写出具体推导过程）．
24．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么．
(1)若，则x的值为 ．
(2)当x＝ （x是整数）时，式子成立．
(3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：
当时，点P叫点A的1倍伴随点，
当时，点P叫点A的2倍伴随点，
……
当时，点P叫点A的n倍伴随点．
试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东走记为正，可得向西走的含义．
【详解】解：∵东，西是具有相反意义的描述，
∴向西走表示向东走10m．
故选C．
【点睛】此题考查相反意义的量的实际应用，解题关键在于理解实际应用中的含义．
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：用科学记数法表示37500，正确的是．
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．A
【分析】根据正数的绝对值等于其本身求解即可．
【详解】解：的绝对值是．
故选A．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
4．B
【分析】根据有理数大小的比较方法，找出在和4之间的数即可
【详解】解：∵，故不在范围，不符合要求，
，故在范围，符合要求，
故、不在范围，不符合要求，
故选B．
【点睛】本题主要考查了，掌握有理数大小比较方法是解题关键． （正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．）
5．A
【分析】运用绝对值的知识对各选项进行逐一计算即可求解．
【详解】解：，
A、，该选项符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．
6．D
【分析】根据有理数的加法运算法则逐项求解即可．
【详解】解：A、当“□”为时，，故A选项不符合题意；
B、当“□”为0时，，故B选项不符合题意；
C、当“□”为时，，故C选项不符合题意；
D、当“□”为3时，，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则．
7．C
【分析】利用加法与减法互为逆运算，将0减去即可得到对应答案，也可以利用相反数的性质，直接得到能与 相加得0的是它的相反数即可．
【详解】解：方法一：；
方法二：的相反数为；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的运算和相反数的性质，解决本题的关键是理解相关概念，并能灵活运用它们解决问题，本题侧重学生对数学符号的理解，计算过程中学生应注意符号的改变．
8．A
【分析】根据乘法分配律即可求解．
【详解】=计算起来最简便，
故选A．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知乘法分配律的运用．
9．C
【分析】根据题目中的条件，可以把，，，，分别求出来，即可判断．
【详解】解：根据题意可求出：
A，，故选项错误，不符合题意；
B，，故选项错误，不符合题意；
C，，故选项正确，符合题意；
D，，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等分点和实数与数轴上的点一一对应，解题的关键是：根据题意直接求出，，，，的值即可判断．
10．C
【分析】根据加法运算律的定义进行解答即可．
【详解】解：由到既运用了加法交换律，也运用了加法结合律，所以丙同学说的对，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了加法的交换律和结合律，熟记加法交换律和结合律，，，是解题的关键．
11．##
【分析】根据有理数的加法计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数加法的计算是解题的关键．
12．
【分析】先化简，再根据相反数的定义，即可求解．
【详解】解：因为，
所以的相反数是．
故答案为：
【点睛】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握该知识点是解题关键．
13．
【分析】数轴上两点之间的距离右边的数左边的数，分情况讨论即可得到答案．
【详解】解：当这个数在原点左侧时，，
当这个数在原点右侧时，，
即到原点距离等于2的数有，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离．解题关键是掌握在数轴上，到一个定点的距离为若干个单位长度的点通常有两个，在定点左边一个，右边一个．
14．
【分析】在不等式两边同时乘一个负数，不等号的方向发生改变．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查不等式的性质．掌握相关结论是解题的关键．
15．-10
【分析】根据有理数运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查含乘方的有理数混合运算，掌握乘方的计算法则，有理数混合运算的计算法则是解题的关键．
16．8
【分析】进行分类，去绝对值符号，然后研究最小值．
【详解】解：当时，，
当，为最小值；
当时，，
当时，，
当，为最小值；
故y的最小值为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了去绝对值符号、数轴上两点间的距离，解题的关键是去绝对值符号．
17．##0.04
【分析】先分别求出括号内的运算，然后计算乘法，即可得到答案
【详解】解：
；
故答案为：
【点睛】本题考查了有理数的乘法、减法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算
18．，
【分析】根据题目中（a，b为常数）的特点解方程即可．
【详解】依题意得：
表示x对应的点到实数3对应的点距离为2
到实数3对应的点距离为2的点对应的数是5和1
∴的解为，．
故答案为：，
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，理解题目中给出的解释是解题的关键．
19．(1)①④⑥
(2)②⑦
(3)①②④⑤⑥⑦
【分析】（1）根据整数的定义作答即可；
（2）依据负分数的定义作答即可；
（3）整数、有限小数、无限循环小数，分数等都是有理数，据此作答即可．
【详解】（1）①1是整数，也是有理数；②是负数，分数，也是有理数；③不是有理数；④是整数，也是有理数；⑤是分数，也是有理数；⑥是整数，负数，也是有理数；⑦是分数，负数，也是有理数．
即整数有：①④⑥，
故答案为：①④⑥；
（2）根据（1）中的判断，可知负分数为②⑦，
故答案为：②⑦；
（3）根据（1）中的判断，可知有理数为①②④⑤⑥⑦，
故答案为：①②④⑤⑥⑦；
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，有理数的判断等知识，掌握有理数、负分数、整数的定义是解答本题的关键．
20．(1)6
(2)37
【详解】（1）解：
=
=6；
（2）解：
=
=
=；
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．
21．(1)和
(2)见解析
(3)2，
【分析】（1），将各数化简，再根据相反数的定义确定即可；
（2），将各数之间在数轴上描出即可；
（3），根据负数的定义判断，再比较有理数的大小得出答案．
【详解】（1）由，，
可知和互为相反数．
故答案为：和；
（2）如图，
（3）负数有，，共2个；由，
可知最小的数是．
故答案为：2，．
【点睛】本题主要考查了在数轴上表示点，相反数，有理数大小的比较等，掌握定义是解题的关键．
22．(1)星期二结束时，小明有生活费元
(2)在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多元
【分析】（1）根据正负数的意义，以及有理数的加减法计算即可；
（2）根据（1）的方法计算这周每天的生活费，将最多的减去最少的即可求解
【详解】（1）解：星期一的生活费为：（元）
星期二的生活费为：元
答：星期二结束时，小明有生活费元
（2）依题意，星期三的生活费为：，
星期四的生活费为：，
星期五的生活费为：，
星期六的生活费为：，
星期日的生活费为：，
小明的生活费最多的一天是星期三有67元，最少的一天是星期二，有55元
则（元），
答：在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多元．
【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减法的应用，掌握正负数的意义是解题的关键．
23．，．
【分析】仿照小明的推导过程，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解小明的推导过程是解题的关键．
24．(1)5或1
(2)-2、-1、0、1
(3)存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1
【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离，即可求解；
（2）根据题意可得表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，再由，即可求解；
（3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得
，然后分四种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴在数轴上到3和x的点的距离为2，
∴x=5或x=1，
故答案为：5或1；
（2）解：∵，
∴表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，
∵，
∴，
∵ x是整数，
∴x取-2、-1、0、1；
故答案为：-2、-1、0、1；
（3）解：存在，理由如下：
设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，
∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，
∴，
∴，
当时，，
∴，即AB=1；
当时，，
∴，即AB=3；
当时，，
∴，即AB=3；
当时，，
∴，即AB=1；
综上所述，存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页