第2章有理数及其运算 单元测试培优卷（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

第2章 有理数及其运算（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组量中具有相反意义的量是（ ）
A．上升与下降 B．向东走3m与向南走5m
C．长大4岁与减少5kg D．零上2℃与零下6℃
2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
3．小明运用所学知识解决以下问题：已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简这道题体现的数学思想是（　　　）
A．函数思想 B．方程思想 C．数形结合思想 D．统计思想
4．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（ ）
A． B． C． D．
5．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达2.4亿亩，每年增产的粮食可以养活80000000人．将80000000这个数用科学记数法可表示为，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．京张高铁，京礼高速两条北京冬奥会重要交通保障设施投入使用后，将张家口、崇礼、延庆与北京城区串成一线．京张高铁开通运营一年累计发送旅客6 800 000人，大幅提升了京张两地通行能力，将6 800 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．若，，则下列表述正确的是（ ）
A．和，和均互为相反数 B．和，和均互为倒数
C．和互为倒数；和互为相反数 D．和互为相反数；和互为倒数
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（　　）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
10．已知m为非零有理数，则（|m|+2m）÷3m＝（　　）
A．1 B．1或 C．1或 D．或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若将数28记为0作为基准，则可将数27记为﹣1，若将数27记为0作为基准，数28应记为 ．
12．有理数3和﹣3在数轴上所对应的点是点A和点B，那么点A和点B分别到数轴的 距离相等．
13．若，则a表示的数是 ．
14．的大小关系：
15．把(－5)－（－6）＋（－7）－（－4）都统一转化成加法运算，即
16．众所周知，公元纪年中没有公元零年．历史的长河就像一条如图的“缺零数轴”一样．比如阿基米德出生于公元前287年，公元前287年就可以用“缺零数轴”中的﹣287表示，那么，公元a年和公元前b相差的年数为 ．
17．已知，，与异号，求、两数在数轴上所表示的点之间的距离为 ．
18．如图，数轴上有一点C，满足则C表示的数是 （用含m的式子表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．如图数轴．
(1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数；
(2)在数轴上把下列各数分别表示出来：、、4.5；
(3)用“>”将（1）、（2）中的六个数由大到小连接起来．
20．计算：
(1)4＋[8.6－＋＋]；
(2)－2－＋－－＋．
21．淇淇在计算：时，步骤如下：
解：原式①
②
③
(1)淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号）
(2)请给出正确的解题过程．
22．如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该农产品的批发价格为2.7元/斤）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
与前一天的价格涨跌情况（元） ＋0.2 ﹣0.15 ＋0.25 ＋0.1 ﹣0.3 ＋0.2 ﹣0.1
注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．
（1）本周星期 　 　，该农产品的批发价格最高，批发价格是 　 　元/斤；本周星期 　 　，该农产品的批发价格最低，批发价格是 　 　元/斤；
（2）与上周相比，该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？
23．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式．
① ；
② ；
③ ；
④ ；
(2)用合理的方法计算：；
(3)用简单的方法计算：．
24．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右匀速运动．设运动时间为秒．
(1)【综合运用】
填空：、两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________；
(2)求当为何值时，；
(3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出线段的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据相反意义的量的定义去判断．
【详解】上升的反义词是下降是正确的，但这句话没有说明是哪两个量，
故此选项不符合题意；
向东走与向南走不是具有相反意义的量，
故此选项不符合题意；
长大4岁与减少5kg不是具有相反意义，
故此选项不符合题意；
零上2℃与零下6℃是具有相反意义的量，
故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反意义的量即意义相反的两个量，正确理解定义是解题的关键．
2．C
【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．
【详解】解：如图，由可得：点、、分别表示数、2、，．
的几何意义是线段与的长度之和，
当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，．
取得最小值时，的取值范围是；
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解．
3．C
【分析】根据数轴来判断，的正负，体现的数学思想是数形结合．
【详解】解：根据数轴来判断，的正负，进而去绝对值进行化简，体现的数学思想是数形结合思想．
故选：．
【点睛】本题考查了数学常识，考查数形结合的思想，掌握利用图形来进行计算体现的数学思想是数形结合思想是解题的关键．
4．A
【分析】根据乘法分配律即可求解．
【详解】=计算起来最简便，
故选A．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知乘法分配律的运用．
5．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：∵80000000＝8×107，
∴n＝7，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．B
【分析】把数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数的形式．
【详解】解：6800000＝6.8×106，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了科学记数法表示较大的数，关键是掌握把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n＝原来的整数位数 1．
7．D
【分析】先根据已知得a，b互为相反数，m，n互为倒数，再对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴a，b互为相反数，m，n互为倒数，
所以，A. a，b互为相反数，m，n互为倒数，故选项A错误，不符合题意；
B. a，b互为相反数，m，n互为倒数，故选项B错误，不符合题意；
C. a，b互为相反数，m，n互为倒数，故选项C错误，不符合题意；
D. a，b互为相反数，m，n互为倒数，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了相反数和倒数的判定，熟练掌握相反数和倒数的宝座是解答此题的关键．
8．C
【分析】根据有理数的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，故此选项错误，不符合题意；
B．，故此选项错误，不符合题意；
C．∵，∴，故此选项正确，符合题意；
D．，故此选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握相关法则和运算律是解题的关键．
9．B
【分析】根据题意得出第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，第三次复制最多得2×2×2=23=8张，即可得出规律，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，问题得解．
【详解】解：由题意得第一次复制得2张，
第二次复制最多得2×2=22=4张，
第三次复制最多得2×2×2=23=8张，
第四次复制最多得2×2×2×2=24=16张，
……，
第九次复制最多得29=512张，
第十次复制最多得210=1024张，
1024＞1000，
所以至少需要10次．
故选：B
【点睛】本题考查了乘方的应用，根据题意得到乘方运算规律，并正确进行计算是解题关键．
10．C
【分析】根据有理数的运算以及绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知，
（|m|+2m）÷3m＝（m+2m）÷3m＝1，
或（|m|+2m）÷3m＝（﹣m+2m）÷3m＝ ，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．
11．+1
【分析】根据正负数的意义进行解答即可．
【详解】解：∵27+1＝28，
∴若将数27计为0作为基准，数28应计为+1．
故答案为：+1．
【点睛】此题考查的是正负数，掌握其意义是解决此题关键．
12．原点
【分析】将有理数3和﹣3在数轴上标出，然后在数轴上计算并标出两数的中点，此题得解．
【详解】解：∵AB两点的中点为：＝0，
∴点A和点B分别到0的距离相等．
故答案为：原点．
【点睛】本题主要考查数轴的相关知识，数形结合可以提高本题的准确率．
13．负数
【分析】根据有理数的性质即可求解．
【详解】∵，即其相反数大于其本身
故a表示的数是负数
故答案为：负数．
【点睛】此题主要考查有理数的性质，解题的关键是熟知相反数大于其本身的数为负数．
14．＞
【分析】求出两个数的绝对值，再比较即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了绝对值和有理数的大小比较的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
15．
【分析】利用“减去一个负数等于加上这个数的相反数”即可求解．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查多重符号化简、相反数等知识点，理解并掌握“减去一个负数等于加上这个数的相反数”是解题的关键．
16．．
【分析】根据公元1年与公元前1年相差1年，公元前b用“缺零数轴”中的﹣b表示，公元a年和公元前b相差的年数为即可．
【详解】解：∵公元前b用“缺零数轴”中的﹣b表示，
∴公元a年和公元前b相差的年数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查“缺零数轴”表示相反意义的数，利用有理数减法计算，掌握“缺零数轴”表示相反意义的数，利用有理数减法列式时与有0数轴相差1计算是解题关键．
17．
【分析】根据绝对值定义，由，得到，，再结合与异号，分两种情况：①，；②，，根据数轴上两点之间距离公式求出结果即可．
【详解】解：，，
，，
与异号，
分两种情况：①，；②，，
当，时，、两数在数轴上所表示的点之间的距离为；
当，时，、两数在数轴上所表示的点之间的距离为；
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的定义及数轴上两点之间距离的求法，读懂题意，准确分类是解决问题的关键．
18．或
【分析】分两种情况讨论，当点C在点A的右侧时，在点B左侧时，或当点C在点A的右侧时，在点B右侧时，再根据题意解答．
【详解】解：设点C表示的数为x，分两种情况讨论，
当点C在点A的左侧时，
；
当点C在点A的右侧时，在点B左侧时，
，应舍去；
当点C在点A的右侧时，在点B右侧时，
；
故答案为：或．
【点睛】本题考查数轴与实数，是重要考点，掌握用分类讨论法表示两点间的距离是解题关键．
19．(1)，，
(2)见解析
(3)
【分析】(1)直接根据数轴上点对应数大小分布的特点写出即可；
(2)直接在数轴上表示出各数即可；
(3)根据数轴上数的大小特点直接即可写出答案．
【详解】（1）解：A，B，C各点分别表示的有理数为：，，
（2）解：如图所示，
（3）解：由数轴可得：
．
【点睛】本题考查了数轴的有关知识，熟练掌握数轴上的数的分布特点是解题的关键．
20．(1)5.6
(2)－2
【分析】（1）运用加法的交换律和结合律进行计算即可；
（2）运用加法的交换律和结合律进行计算即可．
【详解】（1）解：4＋[8.6－＋＋]
＝
＝1－4＋8.6
＝5.6；
（2）－2－＋－－＋
＝
＝
＝－2．
【点睛】此题主要考查了有理数加法的交换律和结合律的应用，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律是解答此题的关键．
21．(1)①；
(2)见解析．
【分析】（1）根据有理数的运算法则可知从①计算错误；
（2）根据有理数的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：由题意可知：
；
故开始出现错误的步骤是①，
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查含乘方的有理数的运算，解题的关键是掌握运算法则并能够正确计算．
22．（1）四；3.1；二；2.75；（2）上升了，上升了0.2元
【分析】（1）根据题意，分别求出每天的批发价格，即可求解；
（2）根据题意，比较本周星期日与购进当日的批发价格，即可求解．
【详解】解：（1）星期一的价格：2.7+（+0.2）＝2.9（元）；
星期二的价格：2.9+（﹣0.15）＝2.75（元）；
星期三的价格：2.75+（+0.25）＝3（元）；
星期四的价格：3+（+0.1）＝3.1（元）；
星期五的价格：3.1+（﹣0.3）＝2.8（元）；
星期六的价格：2.8+（+0.2）＝3（元）；
星期日的价格：3+（﹣0.1）＝2.9（元）；
故本周星期四，该农产品的批发价格最高，批发价格是3.1元；
本周星期二，该农产品的批发价格最低，批发价格是2.75元．
（2）由（1）可知，星期日的价格为2.9元，
2.9＞2.7，2.9﹣2.7＝0.2（元），
答：与上周相比，该农产品的批发价格是上升了，上升了0.2元．
【点睛】本题主要考查了有理数加减的实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
23．(1)①；②；③；④
(2)
(3)
【分析】（1）根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0进行化简即可；
（2）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简，最后进行计算即可得出结果；
（3）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简，最后进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：①；
②；
③；
④；
故答案为：，，，；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了绝对值的化简及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的性质化简绝对值是解题的关键．
24．(1)；
(2)当或秒时，
(3)不发生变化，
【分析】（1）根据背景知识提到的规律，列出运算式子进行计算即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，得出，再结合已知条件，列出方程并解答即可；
（3）先利用中点公式，求出点和点表示的数，再用数轴上两点间的距离公式，求解即可．
【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为，
∴由题意，可得：、两点间的距离，线段的中点表示的数为；
故答案为：；
（2）解：∵秒后，点表示的数为，点表示的数为，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∴当或秒时，；
（3）解：不发生变化，；
∵点为的中点，点为的中点，点表示的数为，
∴点表示的数为，点表示的数为，
∴．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、绝对值方程，解本题的关键是弄清数轴上两点间的距离公式和中点公式．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页