专题2.24有理数加减混合运算解题技巧和方法 分层练习培优篇（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.24 有理数加减混合运算解题技巧和方法（分层练习）（培优篇）
1．符号“H”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：，…，求的结果．
2．用较为简便的方法计算下列各题：
(1)3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41）；
(2)；
(3)
(4)．
3．（1）计算：．
（2）在计算“”时．甲同学的做法如下：
① ② ．③
在甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是___________（写出错误所在行的序号），请你写出正确的计算过程．
4．看谁的方法最巧呢？
(1)
(2)
(3)
5．阅读下面的解题过程并填空．
计算：．
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．
(1)在计算过程中，第一步把原式化成________的形式；第二步是根据________得到的，目的是简便计算；
(2)请根据以上的解题技巧计算：．
6．计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
7．数学课上，计算时，宁宁的做法如下：
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（第五步）
(1)宁宁解法中第一步将原式写成了 的形式，体现的数学思想是 ；
(2)解法中第三步运用了 运算律；
(3)宁宁的解法从第 步开始出现错误，写出正确的运算过程．
8．计算：．
9．先阅读第（1）题的计算过程，再根据第（1）题的解题方法完成第（2）题：
（1）计算.
解：
=
=[(–5)+(–9)+(+17)+(–3)]+
=.
上面这种解题方法叫做拆项法．
（2）计算：①；
②．
10．计算：
（1） （2）
（3） （4）
11．计算：
（1）（﹣37）﹣（﹣47） （2）10﹣（﹣5）+（﹣9）+6．
（3））-7+13-6+20 （4）0.125+3-（+3）+（﹣0.25）
（5）﹣|﹣1|+|﹣|+（﹣2）．
（6）1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+2017+（﹣2018）+2019+（﹣2020）
（7）（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）
12．妈妈想考考小明的数学，她让儿子先把面积为1的长方形等分为两个面积为一的长方形，再把其中一个面积为的长方形等分为两个面积为的长方形，依此类推做下去，结合如图，试求出的值.
13．计算下列各题：
（1）
（2）
14．（1）﹣22＋﹙﹣15﹚－﹙﹣16﹚－18 （2）
（3）(-2.48)+4.33+(-7.52)+(－4.33) （4）
15．阅读下题中的计算方法.解决问题.
（1）
解：原式
上面这种方法叫拆项法.
仿照上面的拆项法可将6.25拆为 ，-2.236拆为 .
（2）类比上述计算方法计算：
16．明明同学计算（-4）-1-（-18）+（-13）时，他是这样做的：
（1）明明的解法从第几步开始出现错误，改正后并计算出正确的结果：
（2）仿照明明的解法，请你计算：（-102）-（-96）+54+（-48）．
17．计算，能用简便方法的用简便方法计算．
（1）26－18+5－16 ；
（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）
（3）
（4）
（5）
（6）
18．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，
例如：|6+7|=6+7；|7﹣6|=7﹣6；|6﹣7|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7+21|= ；②= ；③= ；
（2）用合理的方法进行简便计算：；
（3）用简单的方法计算：．
19．计算
（1）． （2）;
（3）．
20．用适当的方法计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
21．计算：
（1）；
（2）．
22．计算：（1）
（2）；
（3）．
（4）
23．计算：
（1）
（2）
24．阅读下列第（1）题中的计算方法，再计算第（2）题中式子的值．
（1）﹣+（﹣9）+17+（﹣3）
解：原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+[（+17）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）]
=[（﹣5）+（﹣9）+（+17）+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）+（+）+（﹣）]
=0+（﹣1）
=﹣1
上面这种方法叫拆项法．仿照上述方法计算：
（2）（﹣2008）+（﹣2007）+4017+（﹣1）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．．
【分析】根据符号“H”表示一种运算，对正奇数结果都是负的，数的绝对值比奇数大1；对偶数符号不变结果比偶数大1，得到新定义后的有理数，利用结合律进行连续两数相加，再计算结果即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
=
．
．
【点睛】本题考查有理数的新定义，掌握有理数的新定义实质，利用定义转化为有理数加减混合运算，适当利用运算律巧算是解题关键．
2．(1)240
(2)﹣19
(3)469
(4)﹣9903
【分析】（1）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；
（2）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；
（3）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；
（4）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果．
【详解】（1）解：原式＝3﹣63+259+41＝﹣60+300＝240；
（2）解：原式＝2﹣10﹣8﹣3＝﹣8﹣11＝﹣19；
（3）解：原式＝598﹣84﹣（12+31）＝514﹣44＝469；
（4）解：原式＝（﹣8721﹣1279）+（53+43）＝﹣10000+97＝﹣9903．
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（1）11（2）①，计算过程见解析
【分析】（1）去括号，去绝对值，再进行加减运算即可；
（2）利用结合律进行简便运算．
【详解】解：（1）原式
；
（2）加括号时，后面一项没有变号，所以开始出错的步骤是①，正确的计算过程如下：
．
【点睛】本题考查有理数的加减运算．熟练掌握有理数的加减运算法则，是解题的关键．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据加法交换律和结合律，即，得出共有个，计算即可；
（2）根据加法交换律和结合律，即，得出共有个，然后再加上，计算即可；
（3）根据加法结合律和交换律，计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了简便运算，解本题的关键在熟练掌握加法交换律和加法结合律．
5．(1)省略加号和括号；加法的交换律和结合律
(2)
【分析】（1）根据去括号法则、加法的交换律和结合律即可得；
（2）先去括号、把小数化成分数，再利用加法的交换律和结合律进行计算即可得．
【详解】（1）解：在计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式；第二步是根据加法的交换律和结合律得到的，目的是简便计算，
故答案为：省略加号和括号；加法的交换律和结合律．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了去括号法则、加法的交换律和结合律、有理数的加减法，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题关键．
6．(1)1
(2)－1
(3)
(4)10
(5)
(6)3
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算从左到右进行计算即可；
（2）根据有理数的加减混合运算从左到右进行计算即可；
（3）根据加法交换律和加法结合律将整数部分加整数部分，分数部分加分数部分，再把所得结果相加即可；
（4）根据根据加法交换律和加法结合律先把能凑整的数相加，再进行计算即可；
（5）先求绝对值，再通分，进而计算即可；
（6）根据根据加法交换律和加法结合律先把能凑整的数相加，再进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
=1；
（2）解：，
，
，
，
= 1；
（3）解：，
=，
=，
=，
=；
（4）解：，
，
，
=10；
（5）解：，
，
，
，
；
（6）解：，
，
，
=3．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握能凑整的数先相加以及加减法法则是解题的关键．
7．(1)去括号，化归
(2)交换律和结合律
(3)二，过程见解析
【分析】（1）根据题目中的解答过程可以发现第一步将原式中的括号去掉，体现了化归的数学思想；
（2）根据解答过程可知解法中第三步运用了交换律和结合律的运算律；
（3）根据题目中的解答过程可以发现第二步出错了，然后根据式子的特点，计算出结果即可．
【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知：宁宁解法中第一步将原式写成了省略加号和的形式，体现的数学思想是化归，
故答案为：去括号，化归；
（2）解：由题目中的解答过程可知：解法中第三步运用的运算律为交换律和结合律，
故答案为：交换律和结合律；
（3）解：由题目中的解答过程可知：宁宁的解法从第二步开始出现错误，
故答案为：二，
正确的运算过程如下：
原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
8．
【分析】先去绝对值，然后根据有理数的加减计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了去绝对值，有理数的加减计算，正确去掉绝对值是解题的关键．
9．①；②.
【分析】认真观察（1）的解法，利用此方法求出（2）中各小题的结果即可．
【详解】①
+
=[(–2009)+(–2013)+(+4022)+(–1)]+
=(–1)+；
②
=1++1++1++1++(–4)
=4+(–4)+
=0+.
【点睛】本题考查了有理数的加法，读懂阅读材料，熟练掌握有理数的加法法则、掌握拆项法进行解题是关键.
10．（1）；（2） ；（3）；（4）
【分析】依据有理数的加减混合运算和绝对值的含义即可得出正确答案.
【详解】解：（1）原式==[]+(18+12)=-50；
（2）原式==
=[]+()
=0;
（3）原式===-3；
（4）原式==++1-=3.5.
故本题的正确答案为：（1）；（2） ；（3）；（4）
【点睛】掌握有理数的加减混合运算，以及会灵活运用加法的交换律、结合律、分配律进行简便计算是解题的关键.
11．（1）10；（2）12；（3）20；（4）0；（5）﹣ ；（6）﹣1010；（7）-
【分析】（1）先把加法转化为加法，根据有理数加法法则计算即可；
（2）先把加法转化为加法，运用加法交换律与结合律，根据有理数加法法则计算即可；
（3）运用加法交换律与结合律，根据有理数加法法则计算即可；
（4）将分母相同的数先结合，再根据有理数加法法则计算即可；
（5）先算绝对值，然后按照加减法法则计算即可；
（6）先将每两个数结合作为一组，得到每一组的和均为-1，一共1010组，即可得出结果；
（7）用拆项法计算，然后把整数部分和分数部分分别结合计算.
【详解】（1）（﹣37）﹣（﹣47）
=（﹣37）+（+47）
=10；
（2）10﹣（﹣5）+（﹣9）+6
=10+（+5）+（﹣9）+6
=10+（+5）+6+（﹣9）
=（+21）+（﹣9）
=12；
（3））-7+13-6+20
=-7-6+13+20
=-13+33
=20；
（4）0.125+3-（+3）+（﹣0.25）
=+（-3）+（﹣）+3
=（-3）+（+3）
=0；
（5）﹣|﹣1|+|﹣|+（﹣2）
=-1++（﹣2）
=-3+
=﹣ ；
（6）1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+2017+（﹣2018）+2019+（﹣2020）
=（-1）+（-1）+…+（-1）
=-1010；
（7）（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）
=（﹣5）+（-9﹣）+17+（﹣3）
=（-5-9-3+17）+（﹣）
=（-5-9-3+17）+（﹣）
=0+（-）
=-.
【点睛】本题考查了有理数加减混合运算，解题的关键熟练掌握有理数的加减法运算法则和加法的交换律和结合律．
12．
【分析】分析数据和图象可知，利用长方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可．
【详解】解：
【点睛】主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
13．（1）－20；（2）－7
【分析】（1）把前两项与后两项分别结合计算即可；
（2）把带分数化为假分数，同分母的结合计算即可.
【详解】（1）

；
（2）
.
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
14．（1）-29；（2）-2；（3）-10；（4）-
【分析】（1）先把减法转化为加法，再按加法法则计算即可；
（2）通分后计算即可；
（3）把一、三结合，二、四结合计算即可；
（4）先把减法转化为加法，然后通分后计算即可.
【详解】（1）原式=﹣22＋﹙﹣15﹚+﹙+16﹚－18
=﹣22＋﹙﹣15﹚－18+﹙+16﹚
=（-45）+（+16）
=-29；
（2）原式=
=-=-2；
（3）原式=(-2.48) +(-7.52)+(－4.33) +4.33
=（-10）+0
=-10；
（4）原式=
=-.
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加减法法则以及运算定律是是解答本题的关键.
15．（1），；（2）.
【分析】（1）根据阅读材料中的运算方法，将所求式子拆成整数项和分数项的和即可；
（2）先根据前面的方法拆项，然后计算得出答案.
【详解】解：（1）6.25=，-2.236=，
故答案为 ， ；
（2）
【点睛】本题主要考查的是有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．
16．（1）明明的解法从第三步开始出现错误，正确结果为﹣；（2）．
【分析】（1）根据明明的计算过程可以看出在第几步出现问题，然后根据有理数的加减进行计算即可解答本题；
（2）根据明明的计算方法可以解答本题．
【详解】解：（1）明明的解法从第三步开始出现错误，
改正：原式＝
＝
＝[（﹣4）+（﹣1）+18+（﹣13）]+[]
＝0+（﹣）
＝﹣；
（2）
＝
＝
＝[（﹣102）+96+54+（﹣48）]+[]
＝0+
＝．
【点睛】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数加减混合运算的运算法则以及加法运算律．
17．（1）－3；（2）0；（3）；（4）；（5）4.5；（6）
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则解答；
（2）根据加法的交换律与结合律以及互为相反数的两个数之和为0解答；
（3）根据加法的交换律与结合律解答；
（4）先统一成加法，再根据加法的交换律与结合律解答；
（5）先统一成小数形式，再根据加法的交换律与结合律解答；
（6）先把带分数化为整数部分与小数部分，再根据加法的交换律与结合律解答
【详解】（1） 26－18+5－16
=31－34
=－3；
（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）
=（+7）+（－7）+（－21）+（+21）
=0；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，在进行加减混合运算时，（1）先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数要带着符号一起交换．
18．（1）①7+21；②；③；（2）9；（3）
【分析】（1）根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0即可得出结论；
（2）首先判断式子的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值，然后进行有理数加减运算即可解答；
（3）首先判断式子的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值，然后进行有理数加减运算即可解答．
【详解】（1）①|7+21|=7+21，
故答案为：7+21；
②=，
故答案为：；
③=，
故答案为：；
（2）
=
=7-2+4
=9；
（3）
=
=
=．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数加减混合运算，此题的难点是符号相反的两个数相加，做题时要多注意观察各项之间的关系，使运算简便．
19．（1）；（2）；（3）0．
【分析】（1）先根据有理数的减法法则将减法变成加法，再利用有理数加法法则进行计算即可；
（2）先根据有理数的减法法则将减法变成加法，再利用有理数的加法运算律进行简便运算；
（3）先进行绝对值计算，再利用有理数的加法运算律进行简便运算．
【详解】解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=
=；
（3）
=
=
=
=0．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算及绝对值的计算．熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：能简便运算的要简便运算．
20．（1）10；（2）8；（3）0；（4）；（5）-4
【分析】（1）先化简绝对值，再利用有理数的加减法法则计算即可
（2）利用有理数的加减法法则计算即可
（3）将和相加，和相加，再计算异号两整数的和．
（4）先化简绝对值，再利用有理数的加法法则计算即可
（5）先分别将同分母的分数相加，再计算异号两数相加；
【详解】原式；
原式；
原式；
原式．
原式=；
【点睛】本题主要考查有理数的加减法运算，熟练掌握有理数的加法法则及简便运算是解题的关键．
21．（1）-5；（2）-4．
【分析】（1）利用加法交换律与结合律分别将同符号的数结合起来，然后根据有理数加法法则按顺序进行计算即可；
（2）先利用减法法则将减法转化化加法，然后再利用交换律与结合律将同符号的数结合起来，然后按顺序进行计算即可．
【详解】（1）
=
=
=
=-5；
（2）
=
=
=
=-4．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，弄清运算顺序，熟练掌握和灵活运用相关法则及运算律是解题的关键．
22．（1）﹣19.56；（2）﹣30；（3）﹣2；（4）
【分析】(1) 运用加法的交换律和结合律，结合运算法则计算可得；
(2) 运用加法的交换律和结合律，结合运算法则计算可得；
(3)先把分数化成小数，再根据有理数的加减混合运算法则计算就即可；
(4) 运用加法的交换律和结合律，结合运算法则计算可得；．
【详解】解：（1）
=（-12.56）+（-7.25+7.25）+（3.01-10.01）
=（-12.56）+0+（-7）
=﹣19.56；
（2）（2）23+（-72）+（-22）+57+（-16）
=23+57-（72+22+16）
=80-110
=-30；
（3）
=2.25－4.25－2.5+2.5+3.4－3.4
=2.25－4.25
=﹣2；
（4）
=（+）－（2.16+3.84+0.25）++
=0－6.25++
=2+
=．
【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键．
23．（1）；（2）．
【分析】（1）先去绝对值符号和括号，再相加减即可；
（2）先去括号，再利用加法的交换律和结合律进行计算．
【详解】（1）
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝
【点睛】考查了有理数的加减法和去括号，解题关键是熟记去括号法则和利用计算法则进行计算．
24．-
【分析】首先分析（1）的运算方法：将带分数分解为一个整数和一个分数；然后重新组合分组：整数一组，分数一组；再分别计算求值．
【详解】解：原式=（﹣2008）+（﹣）+（﹣2007）+（﹣）+4017++（﹣1）+（﹣），
=（﹣2008﹣2007+4017﹣1）+（﹣﹣+﹣），
=1﹣，
=﹣．
【点睛】此题是一个阅读理解题，要求学生首先阅读（1），结合有理数运算的法则，理解拆项法的原理及应用，然后仿照（1）的方法，进行计算．
答案第1页，共2页
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