专题2.25有理数的乘法 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.25 有理数的乘法（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】有理数的乘法法则
1.有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
2.有理数的乘法的符号法则
（1）如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或贡负；
（2）如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负；
（3）如果两个数的积为0，那么这两个数中至少一个数为0．
3.运算中的注意事项：
（1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如－5与－3的乘积，应列为（－5）×（－3），不应该写成－5×－3．
【知识点2】有理数的乘法法则的推广
1.有理数的乘法法则的推广
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
2.运算中的注意事项：
（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
（2）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
（3）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0.反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
【知识点3】有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，
即：ab＝ba．
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
即：abc＝（ab）c＝a（bc）．
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
即：a（b＋c）＝ab＋ac．
运算中的注意事项：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d（ac）b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a（b＋c＋d）＝ab＋ac＋ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
【考点一】有理数的乘法 相关概念 倒数
【例1】
1．请根据图示的对话解答下列问题．
(1)、 ， ．
(2)已知，求的绝对值．
【举一反三】
【变式1】
2．已知一个数的与的和是的倒数，求这个数．
【变式2】
3．如图是一个正方体的展开图，分别填入下列各数，使围成正方体后相对两面上的两个数互为倒数．，2，7，0.5，，．
【考点二】有理数的乘法 两个有理数相乘
【例2】
4．计算：
(1)；
(2)．
【举一反三】
【变式1】
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【变式2】
6．在下图中填上适当的数
【考点三】有理数的乘法 多个有理数相乘：
【例3】
7．计算
（1）．
（2）．
【举一反三】
【变式1】
8．计算：
（1）；
（2）
【变式2】
9．规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得(a－2)×2＋b，即a※b＝(a－2)×2＋b，例如：3※5＝(3－2)×2＋5＝2＋5＝7．
根据上面规定解答下题：
（1）求6※(－4)的值；
（2）6※(－4)与(－4)※6的值相等吗？请说明理由．
【考点四】有理数的乘法 实际运用
【例4】
10．某汽车制造厂计划每周生产400辆新能源汽车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（辆） +15 +17 -2 +11 +14 -15 -12
(1)本周实际产量与计划产量相比，是增加了还是减少了？是多少？
(2)若生产此款新能源汽车每辆利润约为0.2万元，求本周该厂家生产车辆的总利润．
【举一反三】
【变式1】
11．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．经了解，已知某快递公司的收费标准为：寄出的物品不超过3千克，收费10元；超过3千克的部分每千克加收1.5元，该快递公司某天上午一共接到7单快递业务，具体快件重量（以3千克为标准重量，超过的记为正，不足的记为负）如下：
第一单 第二单 第三单 第四单 第五单 第六单 第七单
5 3 2 0 4
(1)该快递公司这天上午共寄出物品多少千克？
(2)已知快递公司寄出一单快递的平均费用为每千克0.8元，请问该快递公司这天上午可以盈利多少元？
【变式2】
12．某服装店老板以40元的价格购进30件衣服，出售的时候针对不同的顾客每件衣服售价不同，若以60元为标准，将超过的记为正，则记录的结果如下表所示：
售出件数 7 6 3 5 4 5
售价/元 +3 +2 +1 0 -1 -2
求售完这30件衣服后，赚了多少钱？
【考点五】有理数的乘法 有理数乘法运算律
【例5】
13．观察下面的解题过程，并解决问题．求的值．
．
．
．
＝﹣2+1．
．
∴．
请用上述方法计算：．
【举一反三】
【变式1】
14．有理数的运算律简便运算：
（1）99（﹣5）．
（2）．
【变式2】
15．用简便方法计算
（1）（﹣+）÷（﹣）；
（2）99×（﹣36）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)，
(2)
【分析】（1）根据相反数和倒数的定义进行求解即可；
（2）根据非负数的性质得到，再根据（1）所求代入a、b的值即可求出m、n的值，进而求出的绝对值．
【详解】（1）解：∵a与2互为相反数，b与互为倒数，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴的绝对值为．
【点睛】本题主要考查了绝对值，相反数，倒数和绝对值的非负性，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．
【分析】运用逆向思维列出算式，即可求解．
【详解】解：
=
=
答：这个数是 ．
【点睛】本题考查倒数，分数的混合运算，解题的关键是熟练运用逆向思维．
3．见解析
【分析】根据倒数的意义及正方体展开图可进行求解．
【详解】解：由倒数的定义可知与，2与0.5，7与分别是相对的面．
填写如下：（填法不唯一）
【点睛】本题主要考查倒数及正方体展开图，熟练掌握倒数的意义及正方体展开图是解题的关键．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可；
（2）根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
【点睛】本题考查了有理数的乘法，，熟记运算法则是解题的关键．
5．（1）－12；（2）；（3）－96；（4）0.36
【分析】将小数或者带分数写成假分数，再根据有理数的乘法法则进行计算，如果都是小数，直接相乘即可，注意两数相乘，同号得正，异号得负．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，理解两数相乘结果的符号是解题的关键．
6．见解析.
【分析】利用有理数乘法法则进行逐一计算.
【详解】填表
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负；任何数同零相乘都得零.
7．（1）－317；（2）777700
【分析】（1）直接利用有理数的乘法运算法则计算即可；
（2）首先将除法变为乘法，然后利用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查有理数的运算，掌握有理数的运算法则及乘法分配律是关键．
8．（1）5；（2）-1
【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可；
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟知运算法则是解本题的关键．
9．（1）4；（2）不相等，理由见解析
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）分别求出各自的值，比较即可．
【详解】解：（1）6※(－4)
＝(6－2)×2+(－4)＝8－4＝4．
（2）不相等．
理由：∵6※(－4)＝4，
(－4)※6＝(－4-2)×2+6＝－6，
∴6※(－4)与(－4)※6的值不相等．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义，注意运算顺序．
10．(1)本周实际产量与计划产量相比，是增加了，本周的实际产量为428辆车
(2)本周该厂家生产车辆的总利润是85.6万元
【分析】（1）把这七天的数据相加，如果结果为正则实际产量产量增加，如果结果为负，则实际产量减小，然后根据计划每天产量为400辆求出实际产量即可；
（2）根据利润=单件利润×数量求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴本周实际产量与计划产量相比，是增加了，
∵，
∴本周的实际产量为428辆车；
（2）解：万元，
∴本周该厂家生产车辆的总利润是85.6万元．
【点睛】本题主要考查了有理数混合计算的应用，有理数乘法的应用，有理数加法的应用，正确理解题意是解题的关键．
11．(1)32千克
(2)65.4元
【分析】(1)首先可求得表中的数据的和为11千克，再由即可求得；
(2)首先可求得寄出的成本和寄出所收的费用，据此即可求得盈利多少元．
【详解】（1）解：(千克)，
(千克)，
故该快递公司这天上午共寄出物品32千克；
（2）解：寄出的成本为：(元)，
寄出所收的费用为：(元)，
(元)，
故该快递公司这天上午可以盈利65.4元．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解正负数的意义是解答本题的关键．
12．.赚了622元钱
【分析】首先由进货量和进货单价计算出进货的成本，然后再根据售价计算出赚了多少钱．
【详解】[7×（60+3）+6×（60+2）+3×（60+1）+5×60+4×（60-1）+5×（60-2）]- 30×40=622(钱)∴售完这30件衣服后，赚了622钱．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，关键在于根据表格计算出一共卖了多少钱．
13．
【分析】仿照阅读材料中的方法先求其倒数，然后根据倒数关系求解即可．
【详解】解：，
=，
=，
=，
=-2，
∴．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（1）；（2）0．
【分析】（1）首先把99转化成，再根据乘法的分配率对原式展开，最后加减即可；
（2）将原始中转化成=，然后根据乘法的分配率的逆运算进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了乘法的分配率和整式的加减，解答的关键是熟练掌握乘法分配率及其逆运算．
15．（1）－44；（2）
【分析】（1）将除法转化为乘法计算，然后利用乘法分配律进行简便运算即可；
（2）凑整将化为，再利用乘法分配律进行简便运算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式．
【点睛】本题考查了乘法分配律的使用，属于同步常考题型．
答案第1页，共2页
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