专题2.26有理数的乘法 分层练习（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.26 有理数的乘法（分层练习）
一、单选题
1．与（，均不为）的积为的是（　　）
A． B． C． D．
2．计算的结果为（ ）．
A．3 B． C． D．
3．下列各式中，计算结果为负数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，，，且，则与的值是（　　）
A．， B．， C．， D．，
5．计算，运用哪种运算律可避免通分（ ）
A．加法交换律和加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．分配律
6．数的相反数为的倒数，则的值为（ ）
A．2022 B． C． D．
7．下列计算中，得数最小的是（　　）
A． B． C． D．
8．从，，，2，7，3这六个数中取其中3个不同的数作为因数，则积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．某商场上月的营业额为万元，本月比上月增长，那么本月的营业额为（ ）
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
10．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（ ）
A． B．
C． D．
11．在数轴上，点A表示的数在的右边，且到的距离为3，则点A表示的数的倒数是（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．
12．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．计算，运算中运用的运算律为（ ）．
A．乘法交换律 B．乘法分配律
C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律
14．下列算式中，积为负数的是（ ）
A． B．
C． D．
15．下列说法中，正确的是　　
①若，则；
②若，则有是正数；
③、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则；
④若代数式的值与无关，则该代数式值为2021；
⑤，，则的值为．
A．①③ B．② C．②⑤ D．③④⑤
二、填空题
16．的倒数是 ．
17．计算： ．
18．若有四个不同的正整数，，， 满足，那么的值是 ．
19．计算： ．
20．如图，有一块长为8m，宽为6m的长方形的土地，上面修了横纵各两条路，宽度都是1m，空白部分种上各种花草，则种花草的面积为 ．
21．若a，b，c，d是不为零的实数，且a，b互为相反数，c，d互为倒数，则的值 ．
22．对于任意有理数a、b，定义新运算“”，规定，则 ．
23．计算： ．
24．用简便方法计算： ．
25．一件商品的成本是200元，提高30%后标价，然后打九折销售，则这件商品的利润为 元．
26．计算（ ）×+（ ）×的结果为 ．
27．已知a是不等于的数，我们把称为a的和倒数．如：2的和倒数为，已知是的和倒数，是的和倒数，是的和倒数，…，依此类推，则 ．
28．有三个数，，，满足，若，则下列判断中一定正确的是 ．①，②与同号，③、都为0，④，⑤与互为相反数（填序号）
29．化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整：
原式
= ．
30．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
解答下列问题：
（1）按以上规律写出第5个等式： ；
（2） ．
三、解答题
31．计算：
(1) ；
(2)；
(3)．
32．用简便算法计算：
33．计算：
(1)
(2)
(3)
34．某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨)
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
表中星期五的进出数被墨水涂污了．
(1)请你算出星期五的进出数；
(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？
35．用简便方法计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
36．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：、，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数a是集合的元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合就是一个好的集合．
(1)集合　 　好的集合，集合　 　好的集合（两空均填“是”或“不是”）；
(2)若一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由；
(3)若一个好的集合所有元素之和为整数M，且，则该集合共有几个元素？说明你的理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【详解】由倒数的定义知，与的积为1的是．
故选：A．
【点睛】此题考查了倒数的定义：乘积是的两数互为倒数，熟练掌握其应用是解题的关键．
2．A
【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选A．
【点睛】本题主要考查了有理数乘法，掌握“同号得正、异号得负”的规律是解答本题的关键．
3．C
【分析】根据两个以上有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数个数为偶数时，积为正，负因数个数为奇数时，积为负．任何数与0的积为0．
【详解】A选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意，
B选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意，
C选项：中负因数个数为3，积为负， 符合题意，
D选项：，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法的符号规律，解决本题的关键是要熟练掌握有理数乘法法则．
4．C
【分析】根据绝对值的性质和已知条件即可求出与的值．
【详解】解：，，
，，
，
，．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的乘法，解题的关键在于根据两数之积判断出和的正负性．
5．D
【分析】根据乘法分配律解答即可.
【详解】因为，
所以计算时，运用乘法分配律可避免通分，
故选：D.
【点睛】本题考查了有理数的运算律，正确理解题意、熟知乘法分配律是解题的关键.
6．D
【分析】先求出的倒数，再求出倒数的相反数，可得a值．
【详解】解：的倒数为，
∴的相反数为a，即为，
故选D．
【点睛】本题考查了相反数和倒数，解题的关键是掌握各自的定义和求法．
7．D
【分析】根据有理数运算法则分别计算并比较大小即可．
【详解】解：A、；
B、；
C、；
D、；
∵，
∴得数最小的是D选项，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数乘法运算，掌握基本运算法则并注意运算过程中的符号是解题关键．
8．C
【分析】根据有理数的乘法法则解决此题．
【详解】解：根据有理数的乘法法则，
从，，，2，7，3这六个数中取个不同的数，，，此时积为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
9．C
【分析】先求出本月增加额为，加上上月的营业额万元，可得出本月的营业额万元．
【详解】解：某商场上月的营业额为万元，本月比上月增长，那么本月的营业额万元，
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是有理数乘法的实际应用，根据题目找出等量关系式是解此题的关键．
10．A
【分析】根据乘法分配律解答即可．
【详解】A．
；
B．变形错误；
C．
；
D．变形错误；
显然A比C计算简单．
故选A．
【点睛】本题考查了有理数的简便运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键．
11．A
【分析】在数轴的右边找出与点A距离是3的点表示的数，再求出倒数即可．
【详解】解：点A表示的数在的右边，且到的距离为3，
点A表示的数为，
点A表示的数的倒数是1，
故选A．
【点睛】本题考查了数轴的性质，倒数的定义，熟练掌握相关性质是解题关键．
12．D
【分析】根据a、b在数轴上的位置判断出，，，然后一一判断即可．
【详解】解：A.∵，，
∴，故选项A结论正确，不符合题意；
B. ∵，，
∴，故选项B结论正确，不符合题意；
C. ∵，，
∴，故选项C结论正确，不符合题意；
D. ∵，，
∴，故选项D结论错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了有理数的加减乘法运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则和数轴上的点表示数的特点．
13．D
【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律．
【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律，
故选D．
【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键．
14．D
【分析】根据有理数的乘法法则进行判断便可．
【详解】解：A．，选项不符合题意；
B．，选项不符合题意；
C．，选项不符合题意；
D．，选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数乘法，关键是熟记和应用有理数法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘积为零；几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数的个数为奇数时，积为负，负因数的个数为偶数时，积为正．
15．B
【分析】由数轴，绝对值的概念，有理数乘法的法则，即可判断．
【详解】解：①若，则，故①不符合题意；
②若，则，，有是正数，故②符合题意；
③、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，相邻两点的距离相等，若，，若，，若，，故③不符合题意；
④若代数式的值与无关，则式子化简后与无关，原式，该代数式值为2019，故④不符合题意；
⑤，，则，，中有两个正数，一个负数，设和为正数，为负数，则，故⑤不符合题意，
因此正确的是②．
故选：B．
【点睛】本题考查绝对值，数轴的概念，有理数的乘法，关键是掌握绝对值的意义，数轴的三要素，有理数乘法的法则．
16．
【分析】根据倒数的定义即可完成．
【详解】解：，
∴的倒数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
17．
【分析】先确定符号，再计算，即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
18．2023
【分析】若和的值分别取，则与的值为，依此可求，，，，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵，，，表示4个不同的正整数，且，
∴、、、四个数的值可分别取为，1，，2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，判断出相乘的积是4的四个因数是解题的关键，也是本题的难点．
19．
【分析】利用简便方法，提公因数使其凑整，分组相乘使其凑整即可．
【详解】　
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数的简便运算，解题的关键是熟练掌握简便方法．
20．24
【分析】先求出长方形土地的面积，再减去小路的面积，由于长方形土地面积减去小路面积时，小路面积有重复计算的4块，需要再减掉即可．
【详解】解：
故答案为：24．
【点睛】此题考查了代数式计算，解题的关键是重复图形的面积需要减掉．
21．1
【分析】根据互为相反数的两个数相加得零，互为倒数的两个数乘积为，即可得出答案．
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴，，
∴
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相反数的性质以及倒数的定义，熟知互为相反数的两个数相加得零，互为倒数的两个数乘积为是解本题的关键．
22．
【分析】把相应的值代入，利用有理数的相应的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．
【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
24．
【分析】根据乘法分配律，可得答案．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，把式子转化成乘法分配律的形式是解题关键．
25．34
【分析】根据利润等于售价减去成本、售价等于标价乘以折扣率列式计算即可得．
【详解】解：这件商品的利润为
（元），
故答案为：34．
【点睛】本题考查了有理数乘法与减法的应用，正确列出运算式子是解题关键．
26．
【分析】先将（ ）×+（﹣）×变形为（﹣）××（﹣），再利用乘法分配律求解即可．
【详解】解：（ ）×+（﹣）×
＝（﹣）××（﹣）
＝×[（﹣）+（﹣）]
＝×（﹣1）
＝﹣，
故答案为：﹣．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律，有理数的加法，逆用乘法分配律是解题的关键．
27．
【分析】根据和倒数的定义分别计算出a1、a2、a3、…a12的值，代入计算即可求解．
【详解】解：a1＝1，a2，a3，，，，，，，，，，
则a1 a2 a3…a12＝1．
故答案为：
【点睛】本题为新定义问题，理解和倒数的定义，并根据定义依次计算出a1，a2，a3，a4，a5…a12的值是解题关键．
28．④⑤##⑤④
【分析】先证明，再求解，再结合已知条件逐一分析即可．
【详解】解： ，
，与互为相反数，
，
，
解得：，
，
综上，①②③说法错误，④⑤说法正确，
故答案为：④⑤．
【点睛】本题考查的是相反数的含义，有理数的加法与乘法运算的符号确定，推导出是解本题的关键．
29． 1
【分析】根据所给式子，提公因式得到，故第一个空填；从而根据同分母分数加减运算计算括号里的式子得到，故第二个空填1，从而得到答案．
【详解】解：由题意知
，
故答案为：；1．
【点睛】本题考查利用乘法分配律对题目恒等变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，读懂题意，掌握同分母分数加减运算法则及分数乘法运算法则是解决问题的关键．
30．
【分析】（1）根据题目所给规律，直接可写出第5个等式．
（2）利用题目的规律，进行等式变形，提取，括号里面的前一项和后一项数可以抵消掉，最后求得结果．
【详解】（1）解：由上述规律可知：
故答案为：．
（2）解：原式=
．
故答案为：．
【点睛】本题主要是考查了数字的规律以及利用规律进行计算，通过题目所给条件，找到对应的规律，并应用规律进行求解，是解决本题的关键．
31．(1)
(2)16
(3)
【分析】（1）把减化为加，再根据加法法则计算；
（2）先算乘法，再算加法；
（3）根据有理数加法法则计算．
【详解】（1）解：原式＝；
（2）解：原式＝；
（3）解：原式＝．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则．
32．
【分析】将改写为，再用乘法分配律进行计算即可；
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握乘法法则，是解题的关键．
33．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解；
（2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解；
（3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键．
34．(1)星期五的进出数为吨
(2)1160元
【分析】（1）用这周进出数之和减去除星期五的进出数，即可得；
（2）先求出这周总的装卸货物的重量，再乘10即可得．
【详解】（1）解：周五的进出数为
(吨)，
答：星期五的进出数为吨．
（2）解：这一周的装卸费为：(元)．
【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点．
35．(1)2
(2)
(3)0
(4)
【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可；
（2）利用乘法分配律求解即可；
（3）利用乘法分配律的逆运算求解即可；
（4）把原式变形为，然后利用乘法分配律求解即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键．
36．(1)不是，是
(2)存在，
(3)22个，见解析
【分析】（1）根据有理数a是集合的元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合，从而可以可解答本题；
（2）根据，如果a的值越大，则的值越小，从而可以解答本题；
（3）根据题意可知好的集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2015，然后通过估算即可解答本题．
【详解】（1）解：根据题意可得，，而集合中没有元素0，
故不是好的集合；
∵，，
∴集合是好的集合．
故答案为：不是，是．
（2）解：一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是．
∵中a的值越大，则的值越小，
∴一个好的集合中最大的一个元素为4001，则最小的元素为：．
（3）解：该集合共有22个元素．理由：
∵在好的集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为，
∴好的集合中的元素一定是偶数个．
∵好的集合中的每一对对应元素的和为：，
又∵一个好的集合所有元素之和为整数M，且，
∴这个好的集合中的元素个数为：个．
【点睛】本题考查了有理数的知识点，解题的关键是熟练的掌握有理数的性质．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页