专题2.28有理数的除法 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.28 有理数的除法（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】有理数的除法法则
1.有理数的除法法则一
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，0除以任何数都得0，0不能作为除数
2.有理数的除法法则二
除以一个数，等于乘以这个数的倒数，用字母表示为：
【知识点2】有理数的乘除混合运算
3.有理数乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号先算括号里面的．
4.有理数乘除混合运算法则 有理数乘除运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算．
【考点一】有理数的除法 有理数的除法运算
【例1】
1．计算：
【举一反三】
【变式1】
2．计算：
【变式2】
3．计算：
(1)．
(2)．
【例2】
4．先计算，再阅读材料，解决问题：
(1)计算：．
(2)认真阅读材料，解决问题：计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
．
故．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
【举一反三】
【变式1】
5．阅读列材料：
计算
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再求出原式的值．
解：因为
所以原式
请你根据材料提供的方法，完成计算：
[温馨提示]你只能运用材料提供的方法计算，若用其他方法将不能得分．
【变式2】
6．阅读下列材料，并回答问题：
计算：．
解法一：原式＝；
解法二：；
解法三：原式的倒数为；
故原式．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的；
(2)请你选择合适的解法计算：．
【考点二】有理数的除法 有理数的乘除混合运算
【例3】
7．计算：．
【举一反三】
【变式1】
8．计算：
(1)．
(2)．
【变式2】
9．计算：
(1)；
(2)．
【考点三】有理数的应用 与绝对值、数轴相结合的综合运算
【例4】
10．已知、、在数轴上的位置如图．
(1)判断符号：　　0；　　0；　　0；
(2)求的值．
【举一反三】
【变式1】
11．有理数a、b在数轴上的位置如图所示．
(1)试确定的符号；
(2)求的值．
【变式2】
12．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示：
(1)求；
(2)比较的大小，并用“＜”将它们连接起来．
【考点四】绝对值 有理数的应用 新定义运算题
【例5】
13．对于有理数x，y定义一种新运算：
(1)若，则__________，__________；
(2)若x，y满足，且，化简：．
【举一反三】
【变式1】
14．若规定：aΔb＝(－)÷，例如：2Δ3＝(－)÷＝－，试求(2Δ7)Δ4的值．
【变式2】
15．如果规定符号的意义是，如：，求的值．
【考点五】绝对值 有理数的应用 实际应用
【例6】
16．出租车司机小李某段时间在东西走向的大街上进行营运，规定向东为正，向西为负，他所接送的六位乘客的里程如下：（单位：千米），+6，，+3.5，，．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李处在第一次出发时的什么位置？
(2)若小李这段时间共耗油3升，则出租车的耗油量是每千米多少升？（精确到0.01升）
(3)小李预计每月行驶里程为0.8万千米，若每升油的价格为8.5元，那么小李每月在耗油方面需要多少元？
【举一反三】
【变式1】
17．如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为8，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，当点到达点后立即返回，再以每秒3个单位长度的速度向左运动．设点运动时间为
(1)当点与点重合时，的值为______；
(2)当时，点表示有理数为______；
(3)当点与原点距离是2个单位长度时，的值为______；
【变式2】
18．小张和小李都是一条东西向的高速公路上巡逻员，某日上午8：00小张开着巡逻车从岗亭出发来回巡逻，小李在岗亭留守，并且两人开通无线对讲机进行联系．如果规定向东为正，向西为负，巡逻情况记录如下：（单位：千米）
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
4 3
已知小张第五次巡逻结束时刚好回到岗亭．
(1)求第四次结束时小张的位置在岗亭的东边还是西边？距离多远？
(2)计算表中第五次巡逻应记为多少千米？
(3)若巡逻车匀速巡逻的速度为每小时20千米．
①小张是上午什么时候回到岗亭？
②无线对讲机只能在2千米范围内正常使用，问小张巡逻过程中，他与小李可以正常通话的时间有多少小时？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】先算括号，再算除法，最后算加法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，注意运算顺序是解题的关键．
2．
【分析】先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序以及有理数的运算法则是解题的关键．
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．(1)8
(2)
【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；
（2）根据题目中的例子的解题方法，可以求出所求式子的值．
【详解】（1）原式
；
（2）原式的倒数是：
，
故原式．
【点睛】本题考查有理数的混合运算以及乘法运算律，解答本题的关键是明确有理数混合运算法则．
5．
【分析】先计算，再把除法转化为乘法，再利用分配律进行简便运算，最后取结果的倒数即可得到答案．
【详解】解：∵
．
∴．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，利用倒数的含义计算有理数的除法运算是解本题的关键．
6．(1)一；
(2)．
【分析】（）根据题意即可得出结果；
（）利用乘法分配律求出原式倒数的值，求出原式的值即可解答．
【详解】（1）上述得出的结果不同，正确答案为，解法一是错误的；
故答案为：一；
（2）解法二：原式，
，
，
；
解法三：原式的倒数；
；
；
；
，
则原式．
【点睛】此题考查了有理数的除法，解题的关键是先算括号里面的，再算有理数的除法，注意没有除法分配律．
7．
【分析】根据有理数的乘除混合运算，将除法转化为乘法，进行计算即可求解．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．
8．(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘法，再计算除法求解；
（2）先计算除法，再计算乘法求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数乘除法的运算法则，理解有理数乘法和除法的运算法则是解答关键．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算．
10．(1)
(2)0
【分析】（1）由题意得，据此求解即可；
（2）先得到，然后化简绝对值即可．
【详解】（1）解：由题意得，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了有理数乘除法，有理数加减法，根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键．
11．(1)
(2)
【详解】（1）解：根据数轴上点的位置可知，
所以；
（2）解：．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的化简、有理数的乘法、除法和加法运算法则及应用，根据题意分别确定出是解题关键．
12．(1)2
(2)
【分析】（1）根据绝对值的性质，可化简绝对值，可得答案；
（2）根据有理数的加减法，可确定和的大小，根据有理数的大小比较，可得答案．
【详解】（1）由数轴，得：，且，
；
（2）∵，且，
∴，
∴
【点睛】本题考查了有理数大小比较，有理数的除法，利用有理数的加法得出是解题关键．
13．(1)0，；
(2)
【分析】（1）根据定义的新运算及绝对值的非负性即可求解；
（2）先根据已知得出x，y的符号，再根据绝对值的性质对原式进行化简．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵
∴，，
∴，，
故答案为：0，；
（2）解：∵x，y满足，且，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了新定义的运算，有理数乘法和绝对值的化简，熟知有理数乘法异号得负，据此判断x，y的符号是解题的关键．
14．
【分析】根据新的定义计算即可
【详解】解：（2△7）△4=[ (－)÷]△4＝(－)△4=[-（-7）]÷=7÷2=
【点睛】本题主要考查了有理数的除法，解决本题的关键是找出新运算方法，根据这个方法计算．
15．
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】根据题意得：2*（-3）*4=*4=6*4=．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．(1)小李处在第一次出发时的正西方向的千米处
(2)每千米的耗油量为0.07升
(3)小李每月在耗油方面需要元
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位耗油量=耗油量÷行驶路程，可得答案．
（3）单位耗油量×行驶里程×每升价格可得答案．
【详解】（1）根据题意有：（千米），
根据向东为正，向西为负，
可知小李处在第一次出发时的正西方向的千米处；
（2）行驶的总里程为：（千米），
则该车的耗油量为：（升），
答：每千米的耗油量为0.07升．
（3）根据题意有：（元），
答：小李每月在耗油方面需要元．
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的运算等知识，解题的关键是利用单位耗油量乘以行驶路程等于耗油量．
17．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）求出的距离除以速度即可得出结果；
（2）根据去时用时，再返回一秒所在的位置即可；
（3）当点从到运动时距原点2个单位长度的位置有两个，返回时距原点2个单位长度的位置也有两个，分别计算即可；
【详解】（1）解： ，
∴点P与点B重合时：，
故答案为：；
（2），
，，
∴时，点P表示的有理数为：，
故答案为：；
（3）由数轴可知距离原点2个单位长度的位置有和，
当从到到达位置时：，
当从到到达位置时：，
当从返回到达位置时：，
当从返回到达位置时：，
综上，当点P与原点距离是2个单位长度时，t的值为：或或或．
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了数轴的点问题，有理数再数轴上的表示方法，数轴上两点之间的距离，正确掌握速度、时间、路程之间的关系是解本题的关键．
18．(1)小张的位置在岗亭的西边处；
(2)第五次巡逻应记为千米；
(3)①小张是上午8：54分的时候回到岗亭；②他与小李可以正常通话的时间有小时
【分析】（1）把前面4次记录相加，根据和的情况判断第4次结束时小张的位置即可；
（2）根据（1）的结论即可得到结果；
（3）①求出所有记录的绝对值的和，再除以20计算即可得解；②求出距离的和，再除以20计算即可得解．
【详解】（1）解：，
答：小张的位置在岗亭的西边处；
（2）由（1）得，，
故第五次巡逻应记为千米；
（3）①，
（小时）（分），
答：小张是上午8：54分的时候回到岗亭；
②，
（小时），
答：他与小李可以正常通话的时间有小时．
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法与除法的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
答案第1页，共2页
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