专题2.31有理数的乘方 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.31 有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】乘方的意义
求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即有：．在中，叫做底数， n叫做指数．
要点说明
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
【知识点2】乘方运算法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
要点说明
（1）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
（2）任何数的偶次幂都是非负数．
【考点一】有理数的乘方 有理数幂的概念理解
1．表示（ ）
A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积
2．下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．表示（ ）
A．个相乘 B．个相乘的相反数
C．个相乘 D．个相乘的相反数
【考点二】有理数的乘方 有理数乘方运算
4．某数的平方是4，则这个数的立方是（ ）
A．8 B．-8 C． D．
5．计算的结果是（　　）
A．9 B． C．2 D．
6．所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点三】有理数的乘方 有理数乘方的逆运算
7．已知，求的值．
8．计算：
（1）与；
（2）与．
9．比较下列各对数的大小．
(1)与；
(2)与；
(3)与.
【考点四】有理数的乘方 乘方运算的符号问题
10．已知与互为相反数，求的值．
11．若，试问，当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
12．判断下列各式计算结果的正负：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点五】有理数的乘方 乘方的应用
13．当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去．
(1)当对折3次时，层数是多少；
(2)如果纸的厚度是0.1mm，求对折8次时，总厚度是多少mm？
14．1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多长？
15．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第几次后可拉出128根细面条？说明你的理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据有理数幂的概念理解逐项判断即可．
【详解】解：根据有理数幂的概念可得，
表示4个的积．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数幂的概念理解，解决此题的关键是熟悉有理数幂的概念．
2．A
【分析】根据乘方的意义：an表示n个a相乘，分别计算出结果，根据结果判断即可．
【详解】①，故本选项正确，
②，故本选项错误，
③，故本选项错误，
④，故本选项错误，
⑤，故本选项错误，
正确的有：①1个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了乘方的意义，能正确进行计算是解此题的关键，注意计算时应先确定结果的符号．
3．B
【分析】根据乘方的定义、相反数的定义进行判断即可．
【详解】表示个相乘，故表示个相乘的相反数
故答案为：B．
【点睛】本题考查了乘方和相反数的问题，掌握乘方的定义、相反数的定义是解题的关键．
4．C
【分析】根据平方和立方的定义去计算．
【详解】解：∵这个数的平方是4，∴这个数可能是2或-2，
2的立方是8，-2的立方是-8．
故选：C ．
【点睛】本题考查平方和立方的定义，需要注意一个数的平方是4，这个数有两种可能，是．
5．B
【分析】根据乘方的逆运算进行计算．
【详解】解：原式=
故选B
【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键．
6．A
【分析】根据有理数乘方的逆运算将原式化为，进一步即可求出答案．
【详解】
=
=
=，
故选：A．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键．
7．
【分析】根据实数的非负性计算即可．
【详解】解：∵ ，且
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键．
8．（1）256；-256；（2）．
【分析】（1）直接运用乘方的运算法则计算即可；
（2）直接运用乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：（1）．
（2）．
【点睛】本题主要考查了乘方的运用法则，理解乘方的运算法则成为解答本题的关键．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先进行绝对值的化简计算，后比较大小
（2）先进行有理数的乘方计算，后比较大小
（3）先进行有理数的乘方计算，后比较大小
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）∵，
∴；
（3）∵，，
∴
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，有理数的大小比较，熟练掌握乘方运算法则是解题的关键
10．0
【分析】根据相反数的性质得到，再根据绝对值非负性得到，，代入求解即可；
【详解】因为与互为相反数，所以，所以，，
所以，，
因此．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用、相反数的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键．
11．当时，有最大值，的最大值是12．
【分析】根据平方的非负性得到当时，有最大值，求出最大值．
【详解】解：∵恒成立，
∴当它为零的时候，才会有最大值，
∴当时，y有最大值，最大值是12．
【点睛】本题考查平方的非负性，解题的关键是能够想到一个数的平方一定是非负数．
12．(1)正
(2)负
(3)负
(4)负
【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可．
【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数，
∴的结果为正；
（2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数，
∴的结果为负；
（3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数，
的结果为正，所以的结果为负；
（4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数，
∴的结果为负．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键．
13．(1)8
(2)
【分析】（1）根据题意可知对折3次，层数就是层；
（2）先算出层数，再乘0.1即可得出结果．
【详解】（1）解：∵23＝8，
∴对折3次时，层数是8；
（2）解：28×0.1
＝256×0.1
＝25.6（mm），
∴总厚度是25.6mm．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键．
14．米
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】根据题意可得
(米)，
答：第7次后剩下的木棒长为米．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，弄清题中的规律是解本题的关键．
15．7
【分析】第一次捏合后可拉出2根面条，第二次捏合后可拉出22根面条，第三次捏合后可拉出23根面条，依此类推．
【详解】∵128=27，
∴捏合到第7次后可拉出128根细面条.
【点睛】根据题意，找出规律是解决此类问题的关键．
答案第1页，共2页
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