专题2.32有理数的乘方 分层练习（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.32 有理数的乘方（分层练习）
一、单选题
1．代数式可以表示为（ ）
A． B． C． D．n2
2．平方等于16的数有( )
A．4 B．﹣4 C．4和﹣4 D．无法确定
3．下列各数，，，中，其中最大数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各数，，，，中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．一根1m长的绳子，第一次减去一半，第二次减去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）
A．m B．m C．m D．m
6．若，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．下列各数是正数的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，若，则的值（ ）
A．86.2 B． C． D．
9．下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（　　）

A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时
11．若是的倍，则的值是（　　）
A．2 B．8 C． D．
12．下列说法：①不一定是负数；②，则；③；④．其中正确的共有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
13．计算的结果是（　　）
A．9 B． C．2 D．
14．已知，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知，，那么的末位数字是（ ）．
A．3 B．5 C．7 D．无法确定
二、填空题
16．底数是，指数是的幂可写成 ．
17．计算 ．
18．立方得的数是 ．
19．若│m－2│＋(n＋1)2＝0，则nm的值为 ．
20．某种细胞每30分钟由1个分裂成2个，这种细胞由1个分裂成256个需要 小时．
21．若与互为相反数，则 ．
22．的倒数是 ．
23．如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝ ．
24．n是正整数，则（-2）2n+1+2×（-2）2n= ．
25．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一书生用此方法来记录自己读书的天数，如图1，他在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是 ．
26．的底数是 ．
27．实数a在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为：
28．已知，，，那么 ．
29．观察数列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7个数为 ．
30．为计算，可令，则，因此，根据以上解题过程，猜想：
三、解答题
31．在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”将它们连接起来：
，，0，，
32．已知a的立方等于﹣8，b的倒数为﹣，c的绝对值为2，求a+b+c2的值．
33．计算：
(1)
(2)
34．计算
(1)
(2)
35．（1）计算下面两组算式：
①与；
②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么 （直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
36．如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，与互为相反数．线段在数轴上从A点左侧（D最开始与A重合）沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M，N分别为的中点．
(1)求的长；
(2)当等于2时，判断的长度是否为定值，若是求出这个值，若不是，请说明理由；
(3)设，线段运动的速度为2个单位长度每秒，则在运动过程中，线段从开始运动到完全通过线段的时间为___________（用含m的式子表示）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.
【详解】解：代数式可以表示为；
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.
2．C
【分析】利用平方的定义计算即可求出所求.
【详解】解：平方等于16的数有4和﹣4，
故选：C.
【点睛】此题考查了有理数的乘方，注意平方等于一个正数的数有两个，它们互为相反数.
3．C
【分析】先化简各数，再比较大小即可得到答案.
【详解】解：∵，，，而，
∴最大数是，
故选C
【点睛】本题考查的是化简绝对值，乘方运算，化简多重符号，有理数的大小比较，熟练的掌握基础的运算法则是解本题的关键.
4．B
【分析】根据有理数乘方符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，以及相反数和绝对值去判断负数的个数．
【详解】，，，，，所以负数有3个．
故选：B
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，以及绝对值和相反数，牢记乘方的符号法则是解题的关键．
5．A
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为m，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为m．
【详解】解：，
第2次后剩下的绳子的长度为m；
依此类推第六次后剩下的绳子的长度为m．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了乘方的意义．解题的关键是正确理解题意，能够根据题意列出代数式是解题主要步骤．
6．C
【分析】根据乘方的意义列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确得出是解答本题的关键．
7．B
【分析】直接利用相反数，有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】解：∵，
∴A选项不符合题意；
∵，
∴B选项符合题意；
∵，
∴C选项不符合题意；
∵，
∴D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正数的定义以及有理数的乘方运算、相反数，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．C
【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x的值．
【详解】解：∵，，
∴，
则．
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．
9．C
【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】A、，，不相等，故A选项错误；
B、，，不相等，故B选项错误；
C、，，相等，故C选项正确；
D、，，不相等，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查有理数的乘方，解题的关键在于掌握运算法则．
10．B
【分析】根据题意30分钟由一个分裂成2个，依次计算即可．
【详解】解：第一次：30分钟变成2个；
第二次：1小时变成个；
第三次：1.5小时变成个；
第四次：2小时变成个；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点．
11．D
【分析】根据乘方的意义，可知：，即可得出答案．
【详解】解：∵，
又∵是的倍，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了乘方的意义，掌握乘方的意义是解题的关键．
12．C
【分析】根据正负数的意义、绝对值的意义、有理数的乘方，相反数的意义等知识点分别判断即可．
【详解】解：当为正数时，为负数；
当为负数时，是正数；
当为零时，为零，
故①正确；
∵，
∴，
故②错误；
当时，，，
∴不一定等于，
故③错误；
∵的相反数为，
∴和也为相反数，
∴，
故④正确；
故正确的结论有：①④，共个．
故选：C．
【点睛】本题考查了正负数的意义、绝对值的意义、有理数的乘方，相反数的意义，熟练掌握相关定义以及性质是解本题的关键．
13．B
【分析】根据乘方的逆运算进行计算．
【详解】解：原式=
故选B
【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键．
14．B
【分析】根据乘方运算、求一个数的绝对值，即可一一判定．
【详解】解：，
，， 与 大小不能确定，，
故A、C、D不成立，B成立，
故选：B．
【点睛】本题考查了乘方运算、求一个数的绝对值，熟练掌握和运用乘方运算的符号问题及求一个数的绝对值法则是解决本题的关键．
15．A
【分析】根据有理数的乘方末位数的变化规律，可快速求解
【详解】∵
∴，，，
∴的末位数字依次循环为3、9、7、1
∵
∴的末位数字是9
∵
∴，
∴的末位数字依次循环为4、6
∵
∴的末位数字是4
∴
∴的末位数字是3
故选A
【点睛】本题主要考查有理数的乘方，需重点注意的是末位数变化的周期性这一特点，即可解决此题
16．
【分析】根据幂的书写规则即可求解．
【详解】解：底数为，指数为2，
得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的概念，关键是注意分数为底时，需要把底数加括号．
17．6
【分析】分别根据有理数的乘方和有理数的绝对值计算每一项，进一步即可求出结果．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了有理数的乘方和有理数的绝对值，属于应知应会题型，熟练掌握基本知识是关键．
18．
【分析】根据立方的定义即可求解．
【详解】解：，
即的立方等于．
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的乘方；掌握立方的定义是解题的关键．
19．
【分析】根据绝对值和平方的非负性，求得，，然后根据有理数的乘方运算求解即可．
【详解】解：由可得，，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了绝对值和平方的非负性以及有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握相关性质以及运算法则．
20．4
【分析】分别求出一个细胞第一次分裂、第二次分裂、第三次分裂、第四次分裂所需的时间即可．
【详解】解：第一次：30分钟变成2个；
第二次：1小时变成22个；
第三次：1.5小时变成23个；
第四次：2小时变成24个；
…，
∵256=28，
∴这种细胞由1个分裂成256个是第八次分裂，需要4小时，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是有理数的乘方，乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
21．
【分析】利用相反数的概念可得，根据非负数的性质求得的值即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∵，，
∴且，
解得，，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了非负性，关键是能根据题意求出的值，再进行计算．
22．
【分析】先根据有理数的乘方计算法则求出的值，再根据倒数的定义进行求解即可．
【详解】解：，
∵的倒数是，
∴的倒数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，求一个数的倒数，正确求出的值是解题的关键．
23．3
【分析】根据规定可得3n＝5，9n＝m，从而得到m＝25，然后设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27，再由33＝27，即可求解．
【详解】解：∵[3，5]＝n，[9，m]＝n，
∴3n＝5，9n＝m，
∴9n＝（3n）2＝52＝25，
∴m＝25，即m+2=27，
设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27，
∴33＝27，
∴[3，m+2]＝3，
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了乘方的逆运算的应用，理解新规定是解题的关键．
24．0
【分析】先根据有理数的乘方进行计算，然后再合并即可．
【详解】解：（-2）2n+1+2×（-2）2n
=-22n+1+22n+1
=0．
故答案为：0
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，掌握负数的偶次方为正、奇次方为负是解答本题的关键．
25．92
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为，然后把它们相加即可．
【详解】解：根据题意得：
．
故图2表示的天数是92．
故答案为：92．
【点睛】本题考查了用数字表示事件，是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
26．
【分析】根据有理数的乘方的有关定义即可解答．
【详解】解：的底数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解本题的关键．求n个相同,因数的积的运算叫乘方,乘方的结果叫做幂，在a的n次方中。a叫做底数,n叫做指数．
27．
【分析】根据实数在数轴上的位置将表示在数轴上，比较大小即可．
【详解】解：，
，
又两边同时乘以，
，
，
将表示在数轴上：
综上所述：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个实数的相反数，倒数，实数大小的比较，数形结合是解题的关键．
28．
【分析】由，，可得： 再利用＜，可得：异号，再分类讨论，可得答案．
【详解】解： ，，
＜，
异号，
或
当时，
当时，
故答案为：
【点睛】本题考查的有理数的乘方的逆运算，绝对值的运算，有理数的减法运算，分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．
29．-128
【分析】第一个数﹣2＝（﹣2）1，第二个数4＝（﹣2）2，第三个数﹣8＝（﹣2）3， ，
∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128．
【详解】解：∵观察数列中的各数可以发现：
第一个数为﹣2＝（﹣2）1，
第二个数为4＝（﹣2）2，
第三个数﹣8＝（﹣2）3，
，
∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128．
故答案为：﹣128．
【点睛】本题考查了数列，解决问题的关键是探究数列的排列规律，运用排列规律解答．
30．
【分析】读懂题目中的解题过程，模仿进行即可得到结果．
【详解】令，则，
所以，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数乘方运算的应用，读懂题意并能灵活运用是关键．
31．，数轴见解析．
【分析】先将绝对值和平方数化简，再在数轴上表示出来，即可比较大小．
【详解】解：，，
在数轴上表示为：
∴，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了比较有理数的大小以及在数轴上表示有理数，解题的关键是掌握有理数大小比较的方法，正数大于负数，正数的绝对值越大则这个数越大，负数的绝对值越大这个数反而小．
32．0
【分析】根据题意，可得：a3＝﹣8，＝﹣，|c|＝2，据此分别求出a、b、c的值，再应用代入法，求出a+b+c2的值即可．
【详解】解：∵a的立方等于﹣8，b的倒数为﹣，c的绝对值为2，
∴a3＝﹣8，＝﹣，|c|＝2，
∴a＝﹣2，b＝﹣2，c＝±2，
∴c2＝4，
∴a+b+c2
＝（﹣2）+（﹣2）+4
＝﹣4+4
＝0．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
33．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则和运算顺序．有理数的混合运算，先乘方，再乘除，最后加减．
34．(1)
(2)
【分析】（1）利用乘法的分配律，可使运算简便；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可解题．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算律及运算顺序是解决本题的关键．
35．（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4）
【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；
（2）根据（1）的结果即可得到答案；
（3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想；
（4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）①，
；
②，
；
（2）；
（3），理由如下：
；
（4）
．
【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．
36．(1)
(2)的长度是定值，，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据相反数的定义得到，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后根据数轴上两点距离公式求解即可；
（2）设线段的运动速度为个单位长度每秒，运动时间为t秒，在运动t秒后，点D表示的为，点C表示的数为，再根据数轴上两点中点公式表示出M、N，再根据数轴上两点距离公式求出的值即可得到答案；
（3）同（2）求出线段的长为，再根据当线段从开始运动到完全通过线段的路程为，由此求解即可．
【详解】（1）解：∵与互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：的长度是定值，，理由如下：
设线段的运动速度为个单位长度每秒，运动时间为t秒，
∴运动t秒后，点D表示的为，点C表示的数为，
∵点M，N分别为的中点，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴；
（3）解：设线段运动到完全通过线段的时间为t，
∴运动t秒后，点D表示的为，点C表示的数为，
∵点M，N分别为的中点，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴
∵当线段从开始运动到完全通过线段的路程为，
∴当线段从开始运动到完全通过线段的时间为．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，数轴上的动点问题，用数轴表示有理数，非负数的性质，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页