专题2.35有理数的混合运算 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.35 有理数的混合运算（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】有理数加减乘除混合运算
（1）在运算时要注意“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，应先算括号里面的，在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算．
（2）能用运算律的要使用运算律，使用时注意只有加法和乘法有运算律，而减法和除法没有，运算律必须先统一运算再应用．
【知识点2】有理数的混合运算
1.有理数的混合运算包括加、减、乘、除与乘方，通常把这几种基本的代数运算分为三级：
加减为第一级运算；
乘除为第二级运算；
乘方为第三级运算．
2.有理数混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，按从左到右顺序进行；如有括号，通常先算括号里面的，，按小括号、中括号和大括号依次计算．
【考点一】有理数的混合运算 有理数加减乘除混合运算
【例1】
1．（1）；
（2）．
【举一反三】
【变式】
2．计算：
(1)；
(2)．
【例2】
3．用简便方法计算下列各题：
(1)．
(2)．
【举一反三】
【变式】
4．简便计算
(1)
(2)
【考点二】有理数的混合运算 有理数加减乘除及乘方混合运算
【例3】
5．计算题．
(1)
(2)
【举一反三】
【变式1】
6．计算：
(1)；
(2)．
【变式2】
7．计算：
(1)；
(2)．
【考点三】有理数的混合运算 解决有理数混合运算求值问题
【例4】
8．观察下列各等式：，，，……，根据你发现的规律解答下列问题：
(1)请写出第四个等式；
(2)计算的值；
(3)计算：．
【举一反三】
【变式1】
9．小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，小聪把记作，记作．
(1)直接写出计算结果______，______．
(2)计算：．
【变式2】
10．阅读下列材料：计算
解：解法一：原式，
解法二：原式，
解法三：原式的倒数为
，
．
完成以下问题：
(1)上述得出的结果不同，你认为解法______是错误的；
(2)计算：
【考点四】有理数的混合运算 解决有理数混合运算实际问题
【例5】
11．某工厂一周内，计划每天生产自行车100辆，实际每天生产量如下表（以计划量为标准，增加的车辆记为正数，减少的车辆记为负数）：
星期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
增减（辆） +3 +4 +7
(1)生产量最多的一天比最少的一天多生产多少辆？
(2)本周一共生产了多少辆自行车？
【举一反三】
【变式1】
12．列式计算：
(1)什么数加上所得的和是6？
(2)减去什么数所得的差是？
(3)2与3的差的平方，再除以，商是多少？
(4)的倒数的相反数的三次幂，结果是多少？
【变式2】
13．某天，一蔬菜经营户用84元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和黄瓜共60千克到菜市场去卖，西红柿和黄瓜这天的批发价和零售价如下表：
品名 西红柿 黄瓜
批发价（单价：元/kg） 1.5 1.2
零售价（单价：元/kg） 2 1.6
(1)此蔬菜经营户批发的西红柿和黄瓜各多少千克？
(2)卖完这些西红柿和黄瓜能赚多少元钱？
【考点五】有理数的混合运算 建模解决有理数混合运算的实际问题
【例6】
14．佳佳同学设计了几张如图写有不同运算的卡片，佳佳选择一个有理数，让她的同桌小伟选择的顺序，进行一次列式计算．

(1)当佳佳选择了4，小伟选择了的顺序，列出算式并计算结果；
(2)当佳佳选择了，小伟选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小伟选择的顺序．
【举一反三】
【变式1】
15．“点”游戏规则如下：在一副扑克牌去掉大、小王中取张，根据牌面上的数字进行混合运算每张牌限用一次，使结果为或，其中红色牌代表负数，黑色牌代表正数，，，分别代表，，，例如黑桃，，和红桃，可作如下运算：或等．
(1)现在四张牌为黑桃，，和方块，运用上述规则写出三种不同运算方法的算式，使其结果为或
①
②
③ ．
(2)若四张牌分别为黑桃、黑桃、梅花和方块，则如何运算写出一种即可
【变式2】
16．如图是一个数学游戏活动，分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号）
(1)4经过的顺序运算后，结果是多少
(2)-2经过、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是________．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．（1）；（2）
【分析】（1）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可；
（2）根据乘法分配律进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数乘除法运算法则和乘法分配律是解题的关键．
2．(1)；
(2)．
【分析】（1）原式从左到右依次计算即可求出值；
（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，再根据乘法分配律即可解答；
（2）先将，再利用乘法分配律即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算法则，有理数乘法的分配律，熟记有理数乘法的分配律是解题的关键．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数的混合运算法则、乘法分配律求解即可；
（2）根据有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则，注意运算律的运用．
5．(1)
(2)
【分析】（1）逆用乘法公式进行简算；
（2）先去括号，再从左到右依次进行运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键．
6．(1)
(2)10
【分析】（1）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数和乘法分配律计算即可．
（2）先算乘方，再算括号里面的，再计算乘除，最后算加减．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．(1)
(2)
【分析】（1）利用乘法分配律求解即可；
（2）按照有理数的运算顺序，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）把各项进行裂项，从而可求解；
（3）利用（2）中的解答的方式把原式化为：再求解即可．
【详解】（1）解：由题干信息归纳可得：第四个等式为：；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题主要考查的是有理数的混合运算的运算规律的探究，找出所给算式蕴含的规律并灵活应用是解题的关键．
9．(1)4，；
(2)．
【分析】（1）按小聪的“除方”规定计算即可；
（2）按有理数的运算顺序，先计算“除方”，再算乘法，最后算加减．
【详解】（1），
，
故答案为：4，；
（2）∵，
，
，
，
∴
．
【点睛】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．
10．(1)一
(2)
【分析】（1）根据题目中的解答过程可知解法一是错误的；
（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知：解法一是错误的，
故答案为：一；
（2）
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
11．(1)17辆；
(2)696辆．
【分析】（1）由表可知，生产最多的一天为辆，最少的一天为，两者相减即可；
（2）先用100乘以7，再将多生产或少生产的数量相加，两者相加即可．
【详解】（1）（辆）
∴生产量最多的一天比最少的一天多生产17辆；
（2）
（辆）
∴本周一共生产了696辆自行车．
【点睛】本题考查了正数和负数、有理数的四则运算在实际问题中的应用，根据表中数据正确列式，是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接用6减去即可得到答案；
（2）直接用减去即可得到答案；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到答案；
（4）先求出的倒数的相反数是，在计算的三次幂即可．
【详解】（1）解：
，
∴加上所得的和是6；
（2）解：，
∴减去所得的差是；
（3）解：
；
（4）解：的倒数为，的相反数是，
∴的倒数的相反数是，
∴的倒数的相反数的三次幂为．
【点睛】本题主要考查了有理数的减法计算，含乘方的有理数混合计算，倒数和相反数，正确理解题意列出对应的算式是解题的关键．
13．(1)西红柿40千克；黄瓜20千克；
(2)28元．
【分析】（1）假设买经营户全部批发的是西红柿，则需要元，比实际多花了元，因为1千克西红柿比1千克黄瓜多花元，故黄瓜批发了千克，根据黄瓜和西红柿的总重量，可求出西红柿的重量；
（2）当天赚的钱=（西红柿的零售价-批发价）×西红柿的重量＋（黄瓜的零售价-批发价）×黄瓜重量.
【详解】（1）解：黄瓜的质量为：
（千克）
西红柿：（千克）
答：此蔬菜经营户批发的西红柿40千克，黄瓜20千克。
（2）
（元）
答：卖完这些西红柿和黄瓜能赚28元钱.
【点睛】（1）此题属于鸡兔同笼问题，可以直接采用假设法解答。（2）本题涉及一个常识问题：单价×数量=总价，单件利润×数量=总利润.
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式，再根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）分两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：依题意，得；
（2）解：若选择，
原式；
若选择，
原式，
故选择．
【点睛】本题考查了有理数混合运算法则，分类讨论的思想方法，本题的关键是有理数混合运算的运算顺序．
15．(1)①；②；③；
(2)
【分析】(1)把数字、、、利用运算符号和括号组成算式，使运算结果为或；
(2)把数字、、和利用运算符号和括号组成算式，使运算结果为或即可．
【详解】（1）解：①；
②；
③；
故答案为： ①；
②；
③；
（2）．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的算式，从而可以求得相应的结果；
（2）依题意，最后的运算为，则前三次运算的结果为，开始的数是，则经过三次运算结果不变，据此即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：依题意，最后的运算为，
则前三次运算的结果为，开始的数是，则经过三次运算结果不变，
∵
∴运算顺序为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
答案第1页，共2页
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