专题2.40有理数及其运算 全章分层练习提升练（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.40 有理数及其运算（全章分层练习）（提升练）
一、单选题
1．我国的珠穆朗玛峰高于海平面，可记为，吐鲁番盆地大部分地面低于海平面，应记为（ ）
A． B． C． D．
2．在实数2，，0，中，最小的数是(　　)
A．2 B． C．0 D．
3．第十四届全国人大一次会议2023年3月5日－3月13日在北京召开，会议出席代表2947人，数字2947用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．数轴上表示 的点与表示 的点的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．下面算式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别为a，b，且满足，则下列选项中原点位置正确的是（ ）

A． B．
C． D．
7．如图，在数轴上从左到右依次有A，B，C三点，若，点A表示的数为a，点C表示的数为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
8．在数轴上，点A表示的数在的右边，且到的距离为3，则点A表示的数的倒数是（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．
9．与互为倒数的是（　　）
A． B． C． D．
10．2028年洛杉矶夏季奥运会将于7月14日开幕，这是洛杉矶历史第三次举办奥运会，假设开幕时间为2028年7月14日晚21时 (洛杉矶当地时间)开幕， 5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么洛杉矶时间2028年7月27日21时应是（ ）
A．北京时间2028年7月15日13时 B．巴黎时间2028年7月14日12时
C．伦敦时间2028年7月14日13时 D．汉城时间2028年7月15日6时
二、填空题
11．在有理数集合中，最小的正整数是 ，最大的负整数是 ．
12．如果，那么的取值范围是 ．
13．比较大小： （用“”“”或“”表示）．
14．把写成省略加号的和的形式是 ．
15．如图，把半径为1的圆从数轴上表示的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A到达点，则点表示的数为 ．

16．实数a在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为：
17．两个同样大小的正方体形状积木，每个正方体上相对的两个面上写的数之和都等于，现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图所示，则看不见的七个面上的数的和等于 ．
18．如图是一块花圃，花农将它分割成两块长方形和一块“L”形，分别种上三种不同的花，若三块花圃的面积都相等，则“L”形花圃的周长为 m．
三、解答题
19．把下列各数填入相应的集合里．
(1)正数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)非负整数集合：{ …}；
(4)分数集合：{ …}．
20．有理数、、在数轴上的位置如图，化简：．

21．（1）
（2）
22．小明做了如下一道有理数混合运算的题目：
(1)请把小明第一步计算中错误的地方用一部运算的方式摘抄下来，并写出错误的原因．
(2)请给出这道题的正确解答．
23．某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为．
班级 一 二 三 四 五 六
超过（不足）（kg） 0
(1)请你计算七年级六班同学收集废纸的质量；
(2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量；
(3)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，（包括）以内的2元/千克，超出的部分元/千克，求废纸卖出的总价格．
24．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与，与．并结合数轴与绝对值的知识，利用数形结合思想回答下列各题：
(1)探究归纳：数轴上表示3和5的两点之间的距离是___________；数轴上表示4和的两点之间的距离是_____________；数轴上表示数和的两点之间的距离是_________________．
(2)知识应用：若数轴上的点表示的数为，点表示的数为．并且、两点之间的距离为3，求的值．
(3)拓展提高：已知，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．点以3个单位/秒的速度向左运动，同时点以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间、两点在数轴上相距40个单位长度．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意可直接得到答案．
【详解】解：∵我国的珠穆朗玛峰高于海平面，可记为，
∴低于海平面应记为，
故选B．
【点睛】本题考查正负数的应用，解题的关键是正确理解题意．
2．D
【分析】正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，由此即可比较大小．
【详解】解：∵，
∴
∵正数都大于0，负数都小于0，
∴，
∴最小的数是．
故选：D．
【点睛】本题考查实数的大小比较，关键是掌握实数的大小比较方法．
3．B
【分析】根据科学计数法的表示，即可得出结果；
【详解】；
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学计数法的表示是解题的关键．
4．A
【分析】根据数轴上两点间距离即可解答．
【详解】解：由题可得：
数轴上表示的点与表示的点的距离为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．
5．B
【分析】根据有理数的减法法则逐项计算即可．
【详解】解：A.，原式错误；
B. ，原式正确；
C. ，原式错误；
D. ，原式错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．A
【分析】根据数轴可得，分两种情况进行讨论：当a、b同号时，当a、b异号时．
【详解】解：根据数轴可得，
当a、b同号时：
∵，
∴，故A正确，符合题意；C、D不正确，不符合题意；
当a、b异号时：
∵，，
∴，故B不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据数轴比较大小，有理数的加法法则，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数，右边>左边；同号两数相加，取它们相同的符号，异号两数相加，取绝对值较大数的符号．
7．D
【分析】根据数轴上两点的之间即可得出答案．
【详解】解：∵，点A表示的数为a，
∴点B表示的数为，
∵点C表示的数为，
∴线段的长为，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．
8．A
【分析】在数轴的右边找出与点A距离是3的点表示的数，再求出倒数即可．
【详解】解：点A表示的数在的右边，且到的距离为3，
点A表示的数为，
点A表示的数的倒数是1，
故选A．
【点睛】本题考查了数轴的性质，倒数的定义，熟练掌握相关性质是解题关键．
9．B
【分析】将每个式子计算出结果，再根据倒数的概念，逐一判断即可．
【详解】解：，
，的倒数为，故A不符合题意；
，的倒数为，故B符合题意；
，的倒数为，故C不符合题意；
，的倒数为，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，倒数的概念，熟练计算出每一个式子的结果是解题的关键．
10．A
【分析】根据数轴以及一天有24小时，分别求出北京，巴黎，伦敦，汉城的时间，然后利用排除法求解即可．
【详解】解：A、北京时间：，
一天有24小时，
，
北京时间2028年7月15日13时，故本选项正确；
B、巴黎时间：，
一天有24小时，
，
巴黎时间为2028年7月15日6时，故本选项错误；
C、伦敦时间：，
一天有24小时，
，
伦敦时间为2028年7月15日5时，故本选项错误；
D、汉城时间：，
一天有24小时，
，
汉城时间2028年7月15日14时，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，根据数轴判断出各地与伦敦的时差是解题的关键，要注意一天24小时的限制．
11． 1
【分析】根据有理数的分类，进行作答即可．
【详解】解：在有理数集合中，最小的正整数是：1，最大的负整数是：；
故答案为：1，．
【点睛】本题考查有理数的分类．熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键．
12．
【分析】根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以，即可求解；
【详解】解：根据绝对值的意义得，，
；
故答案为：；
【点睛】本题考查绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键．
13．
【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【详解】解：，，
又，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较，解题时注意：两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
14．
【分析】先把原式统一为加法运算，再省略括号与括号前面的加号，从而可得答案.
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查的是把加减运算统一为加法运算，再写成省略“”的和的形式，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是解题的关键．
15．
【分析】由圆的周长为，再结合数轴上两点之间的距离可得答案．
【详解】解：∵圆的周长为，
∴点表示的数为，
故答案为：
【点睛】本题考查了数轴上的点运动之后所表示的数，数形结合、正确分析题意，是解题的关键．
16．
【分析】根据实数在数轴上的位置将表示在数轴上，比较大小即可．
【详解】解：，
，
又两边同时乘以，
，
，
将表示在数轴上：
综上所述：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个实数的相反数，倒数，实数大小的比较，数形结合是解题的关键．
17．
【分析】先根据“相对两个面上写的数之和都等于”求出看不见的七个面上的数（或两个相对面上的数之和），再相加即可得．
【详解】每个正方体上相对两个面上写的数之和都等于，
左边正方体：下底面上的数是，后面上的数是，左右两相对面上的数之和是，
右边正方体：下底面上的数是，后面上的数是，左面上的数是，
则看不见的七个面上所写的数之和是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方体相对面上的数、有理数加减法的实际应用，熟练掌握正方体的特征是解题关键．
18．
【分析】如图，可将原花圃补全为边长是15m的正方形，从而计算出总面积为225m2，花圃面积为180m2，每一部分为60m2，从而可得“L”形花圃的边长，进一步可得结论．
【详解】解：如图，
∵正方形的面积为：，右上角缺口的面积为
∴花圃的面积为：
∵三块花圃的面积都相等，
∴每块花圃的面积为：
图形①分为两个长方形，其中一个长方形的长为6m，宽为5m，另一个长为9m，宽为
“L”形花圃的周长为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形的面积，正确进行分割是解答本题的关键．
19．(1)
(2)
(3)0，2006
(4)
【分析】按照有理数的分类即可求出答案，其中非负整数包括正整数和0．
【详解】（1）正数包括：，
故答案为：；
（2）负数包括：，
故答案为：；
（3）非负整数包括：0，2006，
故答案为：0，2006；
（4）分数包括：，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数分类，其中大于0的数叫正数，在正数前面加“ ”的数叫负数，非负整数包括正整数和0，分数包括正分数和负分数．
20．
【分析】根据有理数、、在数轴上的位置，确定绝对值内的式子正负，即：，，，化简绝对值后合并即可．
【详解】解：由题意得，，，
∴原式
．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，根据、、在数轴上的位置，确定绝对值内的式子正负是解答本题的关键．
21．（1）
（2）
【分析】（1）利用乘法分配律计算即可；
（2）先算括号和乘方，再算乘除即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，注意利用乘法分配律进行简算是解题的关键，也需要注意有理数混合运算的运算顺序．
22．(1)，丢了负号
(2)
【分析】（1）根据有理数的乘方，即，可得答案；
（2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴原式错误的地方为，错误的原因是丢了负号；
（2）
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
23．(1)六班收集废纸的质量为
(2)获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为
(3)废纸卖出的总价格为元
【分析】（1）根据三班收集废纸最少，收集废纸最多和最少的班级的质量差为得六班收集废纸的质量最多，可得超出标准质量为，即可得六班收集废纸的质量；
（2）由（1）得六班收集废纸的质量最大，超过标准，可得本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、六班，即可得获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量；
（3）七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，可算出卖出的废纸的总质量为：
，即可算出废纸卖出的总价格．
【详解】（1）解：∵三班收集废纸最少，收集废纸最多和最少的班级的质量差为，
∴六班收集废纸的质量最多，超出标准质量为：，
∴六班收集废纸的质量为：，
答：六班收集废纸的质量为；
（2）解：由（1）得六班收集废纸的质量最大，超过标准，
∴本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、六班，
∴获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为：．
答：获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为；
（3）解：七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，卖出的废纸的总质量为：
∴废纸卖出的总价格为：（元）．
答：废纸卖出的总价格为元．
【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
24．(1)2；6；（或答）
(2)0或
(3)经过12秒或28秒，C、D两点在数轴上相距40个单位长度
【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离直接列式计算即可；
（2）利用数轴上两点间的距离公式可得，再利用绝对值的含义解方程即可；
（3）先求解，再分两种情况分别列式计算即可．
【详解】（1）解：数轴上表示3和5的两点之间的距离是，
数轴上表示4和的两点之间的距离是；
数轴上表示数和的两点之间的距离是或．
（2）解：由题意得，即，
∴
当时，解得；
当时，解得
综上所述，的值为0或．
（3）解：∵，
相遇前用时：（秒），
相遇后用时：（秒）．
答：经过12秒或28秒，C、D两点在数轴上相距40个单位长度．
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值方程的含义，数轴上的动点问题，有理数的混合运算的实际应用，理解数轴上两点之间的距离公式并灵活应用是解本题的关键．
答案第1页，共2页
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