专题2.41有理数及其运算 全章分层练习培优练（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.41 有理数及其运算（全章分层练习）（培优练）
一、单选题
1．如果规定收入为正，支出为负，收入375元记作元，那么支出235元应记作（ ）
A．-375元 B．-235元 C．235元 D．375元
2．献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（ ）
A． B． C． D．
3．如图，数轴上的A，B两点表示实数a，b，下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各数中，是负数是（ ）．
A．2023 B． C． D．
5．小丽在张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得到的和都是，，，中的一个数，并且这个数都能取到．根据以上信息，下列判断错误的是( )
A．最小的数一定是 B．最大的数可能是
C．四个数中一定有 D．四个数中一定有两个相等的数
6．手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（ ）
微信红包一来自王某某 某平台商户 扫二维码付给某店
A．收入14元 B．支出3元
C．支出18元 D．支出10元
7．若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．2或6
8．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( )
A．a b>0 B．a+b<0 C．ab>0 D．a+2>0
9．现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或涨价10％，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知和是一对互为相反数，的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在﹣1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是 ．
12．若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ．
13．如果，，且，那么的值是 ．
14．已知点、点、点是同一条数轴上的三个点，且，若点在数轴上表示的数是1，则点在数轴上表示的数是 ．
15．计算：|－1|＋|－|＋|－|＋…＋|－|＋|－|＝ ．
16．若的最小值为3，则的值为 ．
17．计算： ．
18．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是 ．
三、解答题
19．把下列各数填入相应的数集中：
+1、-5％、200、-3、6.8、0、－、0.12003407、1、-43.555、77％、-3
（1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________
（3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________
20．计算：
（1） （2）
21．计算下列各题：
（1）3.587-（-5）+（-5）+（+7）-（+3）-（+1.587）；
（2）（－1）5×{[－4÷（－2）2+（－1.25）×（－0.4）]÷（－）－32}.
22．“十一”黄金周期间，某动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化单位：（万人） +1.6 +0.8 +0.4 -0.4 -0.8 +0.2 -1.2
（1）若9月30日的游客人数记为（万人），请用含的代数式表示10月2日的游客人数为________，七天内游客人数最多的是________日．
（2）若9月30日的游客人数为2万人，门票每人15元，问黄金周期间该动物园门票总收入是多少万元？
23．如图，已知线段，点O为线段AB上一点，且．动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止．设P的运动时间为t s．
(1)OA=__________cm，OB=__________cm；
(2)当Q从O向A运动时，若，求t的值．
(3)当时，直接写出t的值．
24．已知a、b满足.请回管问题：
（1）请直接写出a、b的值，a=______，b=_______.
（2）当x的取值范围是_________时，有最小值，这个最小值是_____.
（3）数轴a、b上两个数所对应的分别为A、B，AB的中点为点C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，当A、B两点重合时，运动停止.
①经过2秒后，求出点A与点B之间的距离AB.
②经过t秒后，请问：BC+AB 的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据收入为正，支出为负，收入375元记作元，可直接得到支出235元记作．
【详解】解：∵收入375元记作 元，
∴支出235元应记元，
故选：B．
【点睛】此题考查正数和负数，解题关键在于明确题中“正”和“负”所表示的意义．
2．B
【分析】把一个数表示成的形式，其中，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答.
【详解】∵22亿元= ，
∴，
故选：B.
【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，此题正确列式计算是难点.
3．A
【分析】根据数轴，确定，根据离原点的距离，确定比较判断即可．
【详解】如图，根据数轴，
∴， ，
∴，，，
故A符合题意；B不符合题意；C不符合题意；D不符合题意；
故A．
【点睛】本题考查了数轴上的大小比较，判断式子的符号，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键．
4．B
【分析】根据正数和负数的定义即可解答．
【详解】解：A.2023是正数，不是负数，故本选项不符合题意；
B.是负数，故本选项符合题意；
C.是正数，故本选项不符合题意；
D.是正数，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了去绝对值、负数的定义等知识点，掌握小于零的数为负数是解答本题的关键．
5．B
【分析】分别列出两数相加为，，，的所有可能性求解．
【详解】解：相加得3的两个整数可能为：，
相加得的两个整数可能为：，或，
相加得的两个整数可能为：，或，．
相加得的两个整数可能为：，或，或，．
每次所得两个整数和最小是，
最小两个数字为，，
每次所得两个整数和最大是，
最大数字为，
∴四个正整数分别为，，，．
最小的数一定是，四个正整数中一定有．四个数中一定有两个相等的数，故A,C,D正确，B错误
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．
6．B
【分析】根据题意，将当日微信账单的各项收支相加并计算结果，再根据“正数表示收入，负数表示支出”即可获得答案．
【详解】解：元，
即王老师当天微信收支的最终结果是支出3元．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用以及有理数加法运算，读懂题意，熟练掌握正负数的实际应用和有理数加法运算法则是解题关键．
7．C
【分析】求出a、b的值，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵的绝对值与相反数相等，
∴＜0，
∴，，
或，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的意义和有理数的计算，解题关键是理解绝对值的意义，确定a、b的值．
8．D
【分析】根据数轴上点的位置确定出a+b，a﹣b，ab以及a+2的正负即可．
【详解】解：由点在数轴上的位置可知： 11，|a|<|b|，
A． 由于aB． 由于 11，所以a+b>0，故本选项错误；
C． 由于a<0，b>0，所以ab<0，故本选项错误；
D． 由于 10，故本选项正确．
故选：D
【点睛】本题考查了数轴以及有理数的加减乘运算法则，熟练掌握有理数的运算法则是解本题的关键．
9．C
【分析】设6种商品最初的价格为，则天后商品的价格为，然后分别表示出6中商品的价格，然后根据题意列式计算．
【详解】解：设6种商品最初的价格为，过了n天后，这n天中假设有m天是降价的，剩余的（n－m）天是涨价的，（其中m为自然数，且0≤m≤n），
则天后商品的价格为，
∴6种商品的价格可以表示为：
①，②，③，④，⑤，⑥，其中m为不超过n的自然数，
设最高价格和最低价格的比值为，
的最小值为，
故选：．
【点睛】本题考查有理数乘方的应用，理解题意能够列出六种商品的价格是解题关键．
10．C
【分析】先用绝对值非负性求出a、b的值，代入到所求的代数式中再运用进行简便运算．
【详解】∵和是一对互为相反数
∴+=0
∴a=1，b=2
∴
=
=
=
=
=
故选：C．
【点睛】此题考查绝对值的非负性和有理数的简便运算．其关键是要发现并运用对，，等进行裂项，并两俩抵消．
11．0
【分析】根据题意，既不是正数，也不是负数的数只有0．
【详解】解：一个数既不是正数，也不是负数，这个数是0．
故答案为0．
【点睛】本题考查了正数和负数，解决本题需注意既不是正数也不是负数的数只有0．
12． ； ．
【分析】（1）依据绝对值非负性可得，求解不等式即可；
（2）依据，且，可得．
【详解】解：（1），
，
即：；
（2），且，
．
【点睛】本题考查了绝对值的意义；解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性．
13．4或2
【分析】根据题意得出和的值，然后得出结论即可．
【详解】解：，，且，
，或，，
或2，
故答案为：4或2．
【点睛】本题主要考查绝对值和有理数加法的计算，熟练掌握有理数加法的计算是解题的关键．
14．、1或
【分析】分在左侧，右侧，重合，三种情况分类讨论即可；
【详解】解：①当重合时，即表示的数是1时， 满足题意；
②当不重合时，为的中点，
在左侧时：表示的数是：；
在右侧时：表示的数是：；
综上：点在数轴上表示的数是、1或；
故答案为：、1或．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离．根据题意，正确的画图，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
15．
【分析】先根据绝对值的性质化简，再从第二项开始依次相加即可得出结果．
【详解】解：原式=
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的加法．在本题中应先化简，再计算．
16．或
【分析】根据代数式的最小值，得到关于的方程，求出的值即可．
【详解】 表示数轴上到与到 的距离之和，
且其最小值为3，
当介于与之间时，
与的距离为3，即
若，解得；
若，解得
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
17．
【详解】=，得_______
根据 除数=被除数商=（-16）（-15）=.
18．1
【分析】根据题意计算前几次结果，找到规律即可求解．
【详解】解：第一次：，
第二次：
∵其中k是使为奇数的正整数，
∴
∴第二次运算：，
第三次：
∵
∴
计算结果为
第五次：，
第六次：，
∵
∴，
计算结果为，
……
依次为与的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1，
∴第2020次“F运算”的结果是1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键．
19．（1）+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；
（2）-5％、-3、－、-43.555、-3；
（3）200、1；
（4）-5％、－、-43.555、-3.
【分析】根据有理数的分类，可得答案
【详解】解：（1）非负数集合：+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；
（2）负有理数集合：-5％、-3、－、-43.555、-3；
（3）正整数集合：200、1；
（4）负分数集合：-5％、－、-43.555、-3.
【点睛】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键．
20．（1）－10；（2）－4
【分析】（1）先有理数除法运算，再利用乘法分配律简便运算，最后加减运算即可求解；
（2）先有理数的乘方运算和绝对值运算、再乘法运算，最后加减运算即可求解．
【详解】（1）解：原式＝
＝
＝
＝
＝；
（2）解：原式＝
＝
＝．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序是解答的关键．
21．（1）原式=5；（2）原式＝3.
【分析】（1）运用加法的运算律，把小数与小数相加，整数与整数相加，分数与分数相加；
（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，再按有理数的混合运算法则计算.
【详解】（1）原式=3.587+5-5+7-3-1.587
=（3.587-1.587）+（5+7）+（-5-3）
=2+12-8
=5.
（2）原式＝-1×{[-÷4+0.5]÷（-）-9}
＝-1×[（-）÷（-）-9]
＝-1×（6-9）
＝-1×（-3）
＝3.
22．（1），3；（2）总收入是408万元．
【分析】（1）根据题意，可以分别算出10月1日到7日的人数，从而可以得到哪天游客最多；
（2）根据第二问求得的每天的人数可以求出这七天的总的人数，从而可以求出这七天的总收入．
【详解】（1）由题意可得，
10月1日的人数为：a+1.6；
10月2日的人数为：a+1.6+0.8=a+2.4；
10月3日的人数为：a+2.4+0.4=a+2.8；
10月4日的人数为：a+2.8-0.4=a+2.4；
10月5日的人数为：a+2.4-0.8=a+1.6；
10月6日的人数为：a+1.6+0.2=a+1.8；
10月7日的人数为：a+1.8-1.2=a+0.6；
所以七天内游客人数最多的10月3日.
（2）由题意可得，
（2+1.6）+（2+2.4）+（2+2.8）+（2+2.4）+（2+1.6）+（2+1.8）+（2+0.6）=27.2（万人）
（万元）．
答：黄金周期间该动物园门票收入是408万元．
【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，明确正数和负数在题目中的实际意义．
23．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）直接按比例求解即可；
（2）根据数量关系列方程即可；
（3）分类讨论两点的位置关系，列方程求解即可．
【详解】（1），点O为线段AB上一点，且，
那么．
故答案为：；
（2）动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，则，
点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止，
则从到时，，
从到时，．
因为当Q从O向A运动时，若，
所以，解得．
（3）当则从到时，，
，
可得，解得，
从到时，在左侧时，．
，
可得，解得，
从到时，在右侧时，．
，
可得，解得．
综上所述：
【点睛】此题考查动点问题，解题关键是找出每段线段的长，用速度表示点的路程，然后找出等量关系列方程．
24．（1）a=5,b=-1.(2) ，为6.（3）①2.②不变.
【分析】（1）根据非负数的性质，得到a-5=0,b+1=0,从而求出a,b的值；
（2）根据绝对值的几何意义，可得当表示x的点在表示a,b的点之间，则最小；
（3）①求出2秒后，A,B表示的数；
②用含有t的代数式分别表示BC,AB,再看看BC+AB的值与t是否相关．
【详解】解：（1）∵，
∴a-5=0,b+1=0，∴a=5,b=-1.
(2) 由（1）知，a=5,b=1，
根据绝对值的几何意义，可得当表示x的点在表示-1,5的点之间时，则 最小为6，所以当-1≤x≤5 ，最小为6；
（3）①经过2秒后，点A运动的路程为1×2=2，则点A表示的数为5-2=3；
经过2秒后，点B运动的路程为1×2=2，则点B表示的数为-1+2=1；
所以AB之间的距离为3-1=2.
②运动ts后，AB=6-2t,BC=3+3t-t=3+2t,
∴AB+BC=6-2t+3+2t=9.
∴BC+AB的值与t是无关
（3）①经过2秒后，点A运动的路程为1×2=2，则点A表示的数为5-2=3；
经过2秒后，点B运动的路程为1×2=2，则点B表示的数为-1+2=1；
所以AB之间的距离为3-1=2.
②运动ts后，AB=6-2t,BC=3+3t-t=3+2t,
∴AB+BC=6-2t+3+2t=9.
∴BC+AB的值与t是无关.
【点睛】本题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离的运用，代数式表示数的运用，非负数的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时求出弄清楚数轴上任意两点间的距离公式是关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页